非线性回归模型的线性化经济

非线性回归模型的线性化经济第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二2023/6/71在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。2023/6/72第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期二线性模型的含义线性模型的基本形式是:

线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性变量以其原型出现在模型之中，而不是以或之类的函数形式出现在模型中。（2）参数的线性因变量Y是各参数βi的线性函数。这种模型称为标准的线性回归模型．3第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期二非线性回归模型的分类：1虽然被解释变量Y与解释变量之间不存在线性关系，但与未知参数之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。

其一般形式为：其中是关于的p个已知的非线性函数，是（p+1）个未知参数．

4第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期二2虽然被解释变量Y与解释变量和未知参数之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型．如柯布－道格拉斯生产函数模型：

3如果被解释变量Y与解释变量和未知参数之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型．5第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期二4.2线性化方法1、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。

非标准线性回归模型的一般形式为：2023/6/76第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期二1、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。

非标准线性回归模型的一般形式为：

＋u令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型7第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期二下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型（1）多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型

8第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例：

Yt=b0+b1Xt+b2Xt2+b3Xt3+ut

令X1t=Xt，X2t=Xt2，X3t=Xt3，上式变为

Yt=b0+b1X1t+b2X2t+b3X3t+ut

这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。(b1>0,b2>0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页例4.1）yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期二例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）Ｃ＾t=2434.7+85.7

Xt-0.028Xt2+0.00004Xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二(b1>0,b2>0)

(b1<0,b2<0另一种多项式方程的表达形式是Yt=b0+b1Xt+b2Xt2+ut

令X1t=Xt，X2t=Xt2，上式线性化为，Yt=b0+b1X1t+b2X2t+ut

如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（2）双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型双曲线函数还有另一种表达方式:Yt=a+b(1/Xt)+ut

令xt*=1/xt，得

Yt=a+bXt*+ut

上式已变换成线性回归模型。1/yt=a+b/xt

+ut

yt=a+b/xt+ut

13第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期二yt=1/(a+b/xt+ut)思考：下面的模型是属于哪类，如何化为线性模型？第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期二案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系（file:5nonli7）建立线性模型并估计建立对数模型并估计y^=7.85+0.27xy^=6.16+1.83Lnx(19.6)(5.7)(16.0)(10.1)

R2=0.71,N=15R2=0.89,N=15第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期二案例2：炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系（file:5nonli7）建立双倒数模型估计，1/y=0.081+0.1339(1/x)(42.1)(14.1)R2=0.94,

N=15双倒数模型的估计结果最好。第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（3）对数函数模型(双对数和半对数)半对数函数模型的一般形式为：Y=b0+b1lnx+u令x*=lnx则可将原模型化为标准的线性回归模型Y=b0+b1x*+u

yt=a+bLnxt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)17第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期二双对数模型的一般形式为:lnY=b0+b1lnx+u令Y*=lnY,X*=lnX得到标准线性回归模型:Y*=b0+b1x*+u这个模型中解释变量的系数就是弹性.双对数模型也可扩展到多元双对数模型.对于多元双对数模型,bi称为偏弹性.它度量了在其他变量保持不变的条件下,解释变量Xi对被解释变量Y的弹性影响.第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（4）S-型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令则可将原模型化为标准的线性回归模型19第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期二2可线性化的非线性回归模型的线性化方法

下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型（1）指数函数模型

第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期二指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令则可将原模型化为标准的线性回归模型；2023/6/721第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期二（2）幂函数模型（全对数模型）幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：令则可将原模型化为标准的线性回归模型：2023/6/722第二十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期二对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、和为未知参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。