静定结构影响线

静定结构影响线第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期二§8.1移动荷载和影响线的概念移动荷载结构内力随荷载的移动而变化,为此需要研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。研究方法：先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律，再根据叠加原理解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。影响线的定义：当P=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线。在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置；竖标表示的是量值Z的值。如在RB影响线中的竖标yD表示的是：当P=1移动到

点时，产生的

支座反力。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。DB作用下内力计算特点：第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期二P=1xy=RB1P=1RB＋RB影响线DyD返回第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期二以自变量x表示P=1的作用位置，通过平衡方程，建立反力和内力的影响线函数并作影响线。1、支座反力影响线1＋1＋RB.影响线RA.影响线2、剪力影响线当P=1在AC上移时取CBa/l—当P=1在CB上移时取ACRAb/l+QC.影响线§8.2静力法作单跨静定梁的影响线CabRAARB.BxP=1l,弯矩影响线CBbACaab/l＋MC.影响线MCQCRB

QCMC第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期二

单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；剪力影响线是两条平行线；弯矩影响线是两条直线组成的折线。a/l—b/l+QC.I.Lab/l＋MC.I.LRB.B1＋1＋RB.I.LRA.I.LCabxP=1lRAA第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期二CabxP=1lab/lM图(kN.m)P=1kNCabLab/l＋MC.I.L(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置

yDDyDD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期二当P=1在EC上时：QC=－RB=－x/l

[－l1，a）当P=1在CF上时：QC=RA=（l－x）/l

（a，l+l2]RB=x/l[－l1，l+l2]伸臂梁的影响线由平衡条件可得:故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。l1abll2P=1xABCRARBEF伸臂梁支座反力及支座间内力影响线方程与简支梁对应量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。RB=x/l[0,l]当P=1在AC上移动QC=－x/l[0，a）当P=1在CB上移动QC=（l－x）/l

(a,l]

CabxP=1lRAABRB.第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期二+1－RB.I.La/lb/l－++－QC.I.Lab/l+__Mc.I.LD当P=1在D以里移动时D截面内力等于零，故伸臂上截面内力影响线在该截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移动时D截面才有内力d+1QD.I.Ll1abll2P=1xABCRARBEF伸臂梁的影响线故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。+－１第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期二d

8

5d

4

3d1615横梁纵梁主梁AB

CEFRARB

l=4dd/2d/2DP=1MD影响线P=1P=1DxP=1P=1结点荷载下影响线特点

1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同.2、相邻结点之间影响线为一直线。结点荷载下影响线作法

1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。

2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.L＋QCE.I.L1/21/4＋－§8-3结点荷载作用下梁的影响线(Influencelineunderjointload)第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6dACBDEFGh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。§8-4静力法(staticmethod)作桁架的影响线桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期二4d/(3h)d/h4d/h2d/h§8-4静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefgh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。11NbcRARGNbc=－RA×2d/h(P=1在Ｄ以右时）NCD同理：NCD=+Mc0/h平行弦桁架弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。＋4d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/h－P=1或：Nbc=－MC0/hNbc=－RＧ×4d/h(P=1在C以左时）第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期二§8-4静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC1/62/3＋－NbC平行弦桁架斜杆轴力的YbC影响线就是±梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。P=1在C以右时

YbC=RAP=1在B以左时

YbC=－RＧ可概括为一个式子第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=1NcC111/21/3＋－I.L.NcC1/6竖杆轴力NcC影响线就是负的梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。下承上承2/3－＋I.L.NcCP=1在D以右时

NcC＝－RAP=1在C以左时

NcC＝RG可概括为一个式子在CD之间为直线第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD－1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。单跨梁式平行弦桁架①弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。

②斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是±梁的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。③静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。

第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期二作图示桁架指定杆的内力影响线解：①求N1需取截面Ⅰ-Ⅰ，建立矩方程∑Me=0先作出简支梁的Me影响线如图(a)，再将其竖标除以桁架高度a即得N1影响线如图(b)。下承上承P=1l=6aACBDEFacdefba12345P=1ⅠⅠI.L.Me4a/3+(a)I.L.N1+4/3(b)第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6aACBDEFacdefba12345②求N2需取截面Ⅰ-Ⅰ，建立投影方程∑Y=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而

Y2=QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N2影响线如图(b)。P=1I.L.QE右－+1/62/31/3(a)下承上承I.L.N2－+(b)P=1当桁架上下弦节点上下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分上承和下承。ⅠⅠ第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6aACBDEFacdefba12345③求N3需取截面Ⅱ-Ⅱ，建立投影方程∑Y=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而

:N3=－QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N3影响线如图(b)。P=1I.L.QE右－+1/62/31/3(a)上承I.L.N3－+(b)P=1下承如为上承，被截载重弦节间是de，影响线如图(b)中的虚线所示。ⅡⅡ第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6aACBDEFacdefba12345④求N4需取截面Ⅲ-Ⅲ，建立投影方程∑Y=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QC右影响线，而

:Y4=－QC右，且在相邻节点之间为一直线，得N4影响线如图(b)。P=1I.L.QC右－+1/22/31/3(a)上承－+I.L.N4(b)P=1下承如为上承，被截载重弦节间是cd，影响线如图(b)中的虚线所示。ⅢⅢ第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期二l=6aACBDEFacdefba12345④求N5需取截面Ⅲ-Ⅲ，建立矩方程∑MC=0ⅢⅢ先作出简支梁MC影响线如图(a)所示，再将其竖标除以桁架高度a即得N5影响线如图(b)。P=1P=1如为上承，cd节间影响线要为直线，如图(b)中的虚线所示。I.L.N2(b)+上承下承4/3绘制竖杆内力影响线，和当桁架上下弦节点上下不对齐时，绘制各杆内力影响线，需区分上承和下承。I.L.MC4a/3(a)+第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期二绘制影响线的方法静力法:由平衡条件列影响线方程,作影响线.机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。从而确 定荷载的最不利位置。也可用它来校核静力 法绘制的影响线。§8-5机动法(kinematicmethod)作影响线第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期二P=1xP=1xailCZ(x)

1＋－

1δP(x)要求量值Z（支座反力RA）影响线，将与Z相应的约束解除，代以未知力Z，得到有一个自由度的机构。然后让机构沿Z的正方向发生单位虚位移。列出刚体虚功方程，力与位移同向时虚功为正。Z的影响线，基线以上的竖标为正P=1作用点的竖向虚位移图，向下为正（与P=1同向）。于是得到：所得虚位移图即Z的影响线。基线以上的虚位移图是正影响线，基线以下的虚位移图是负影响线。第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期二b/la/lI.L.QCP=1CQCP=1xablC＋－－P=1CP=1xablC1b＋－ab/lI.L.MC所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行。11第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期二1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG11m1/43/49/49/29/4作I.L.MK＋＋－－－I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/4用机动法作图示多跨静定梁的影响线。第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期二Qk11/43/41/43/43/23/4＋＋＋－－－I.L.QKMC11作I.L.QK作I.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)＋－1第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期二121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG作I.L.QE作I.L.RDI.L.QE＋＋－121＋I.L.RD1.5QE第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期二多跨静定梁的影响线绘制要点：①附属部分上的量值影响线，在附属部分上与相应单跨静定梁的影响线相同；在基本部分上竖标为零。②基本部分上的量值影响线，在基本部分上与相应单跨静定梁的影响线相同；在附属部分上以结点为界按直线规律变化。③静定结构的影响线相应于机构的虚位移图，由直线段组成。在截面所在杆为折线（M）或平行线（Q）在其它杆上为直线。以此确定控制点，利用影响线竖标含义求出各控制点的影响量，再连线。第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期二

1）求影响量b/la/l＋－I.L.QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷载QC=P1y1+P2y2+P3y3一般说来：Z=∑PiyiablCa

bl↓↓↓↓↓↓↓↓qABqdxb）均布荷载dω=ydxQC=qω正的影响线取正面积ydxqBA=òyqdxQBAC=òwdqBA=òb/la/l＋－yxdxQC=ydxqBA=òβξ

=0yqc×

=0qc×tgxb

×ò=qdtgxxbxò=dtgqbxξ0定理：当一组平行力作用在影响线的同一直线段上时，这组平行力产生的影响等于其合力产生的影响。I.L.QCy0c§8-6影响线的应用第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期二

1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量一般说来：Z=∑Piyi+∑qiωi+∑mitgθi集中力偶影响梁计算式中，yi为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标，在基线以上yi取正，Pi向下为正；

ωi为均布荷载qi分布范围内Z影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正；

θi为集中力偶mi所在段的影响线的倾角，上升段影响线倾角取正，mi顺时针为正。6m3m6m6m3m3m3m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓P1

PiqiKmq1I.L.Zy1

ylθωiω1第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期二mbm/bm/bZ=m/b×a－m/b×c=m(a－c)/b=mtgβacβZ的影响线集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。上升段影响线倾角取正。返回第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期二例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。6454I.L.MK(m)MK=P1y1+P2y2+q1ω1+q2ω2－q3ω3－mtgθ=100×4＋100×5＋50×12ω3ω2ω16－30×1.518＋30×＝1925kN.m6m3m6m6m3m3m3m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓100kN100kN50kN/m30kN/mK30kN.m－30×1/3第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期二

2）利用影响线求荷载的最不利位置如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置称为荷载最不利位置。判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。a）单个移动集中荷载：abl－＋Pb）可移动均布荷载：－＋＋I.L.Z求Z的最大值↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓求Z的最小值

c）行列荷载（间距不变的一组移动荷载）下确定某量值Z的最不利位置，分两步进行。求出使Z达到极值的荷载临界位置并求出极值；从各个极值中选出最大、最小值，从而确定荷载的最不利位置。第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期二2m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKx10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P1×5/3+P2×1=11P/311P/32P/3xMK的综合影响线1)当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。2)MK的极值表现为尖点值。其特点是：a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点,MK的值均减少。满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期二Z影响线P1P2P3P4P5P6R1R2R3临界荷载的判断条件3y2y1y1yD2yD3yDα1>0α2>0α3<0≤0当Δx＞0时(右移)∑Ritgαi≤0当Δx＜0时(左移)∑Ritgαi

≥0Z成为极大值条件：荷载左、右稍移≥0当Δx＞0时(右移)∑Ritgαi

≥0当Δx＜0时(左移)∑Ritgαi

≤0Z成为极小值条件：荷载左、右稍移R1R2R3DxDxDx1)Z达极值时，荷载稍向左、右偏移，∑Ritanαi必变号。2)有一集中力Pcr位于影响线顶点上。第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期二Z达极值(极大或极小)的临界荷载的判别条件:

a）有一集中力位于影响线的顶点；b）行列荷载稍向左、右移动时，∑Ritgαi必须变号。确定荷载最不利位置的步骤：1）选一集中力Pcr将它放在影响线的顶点;2）当Pcr在影响线顶点稍左或稍右时分别求∑Ritgαi的值。如果∑Ritgαi变号（或由零变为非零），Pcr为临界荷载。如果∑Ritgαi不变号，该集中力不是临界荷载。3）对每个临界位置可求出Z的一个极值，然后从各极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的荷载最不利位置。第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期二∑Ritgαi=360×1/8+127.8×(－0.25/4)+226.8×(－0.75/6)=+8.7>0P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1P5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75α1α3α2Z影响线P2P3P4P1P5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtgα1=1/8tgα2=－0.25/4tgα3=－0.75/6荷载稍向右移:R1=270kNR2=90×2＋37.8×1=217.8kNR3=37.8×6=226.8kN∑Ritgαi=270×1/8+217.8×(－0.25/4)+226.8×(－0.75/6)=－8.2＜0荷载稍向左移:R1=360kNR2=90＋37.8×1=127.8kNR3=37.8×6=226.8kN所以P4是个临界荷载。（中—活载）0.9060.81第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期二当影响线为三角形时：PcrR左R右tgα=c/atgβ=c/b荷载右移：αβcab荷载左移：当影响线为三角形时，临界位置的特点是：有一集中力Pcr在影响线的顶点，将Pcr计入那边那边荷载的平均集度就大。如Z的达极大值åiitgRa=R左tgα－(Pcr＋R右)tgβ≤0=(R左＋

Pcr)

tgα－R右tgβ≥0åiitgRa第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期二αβcablR左R右yayb一段可移动的均布荷载的最不利位置判断，当影响线为三角形时，满足下式的荷载位置即为最不利荷载位置。 第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期二15m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m2520015130701570>+25200130+<MC=70×6.88+130×9.38+50×7.50

+100×6.00+50×0.38＝2694kN.m9.386.887.506.000.38MC影响线(m)求C截面的最大弯矩。(汽－15级）∴130kN是临界荷载70kN13050100501004m5m4m15m4m第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期二100kN5013070100504m5m4m15m4m2522013015150>15150+25220130+<15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=100×3.75+50×6.25+130×9.38

+70×7.88+100×2.25+50×0.75＝2720kN.mMcmax=2720kN.m∴130kN是临界荷载第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期二1）简支梁的包络图：将移动荷载作用下简支梁中各个截面产生的最大（小）内力值用曲线连接起来，得到的图形称为简支梁的内力包络图。Px=ξMCmax=ξ(l-ξ)P/l0.25Pl0.21Pl0.09PlM包络图Cξ12mξ(l-ξ)/l＋MC影响线①单个集中力§8-7简支梁的包络图和绝对最大弯矩第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期二ξ12mξ(l-ξ)/l＋M4影响线P3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN123456789100M4max=559kN.m559M包络图（kN.m)Q包络图（kN)21215394.341.7574578弯矩包络图×动力系数+M静

=据以设计的弯矩包络图②行列荷载第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期二弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载移作用下,产生的D截面的弯矩弯矩包络图变变截面位置在实际移动荷载作用下,D截面可能产生的最大弯矩与弯矩包络图的比较第四十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期二2）简支梁的绝对最大弯矩：移动荷载作用下简支梁各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生的最大弯矩。绝对最大弯矩与两个未知因素有关：（1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？（2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。计算途径：任取一个集中力Pcr求行列荷载移动过程中Pcr作用点产生的弯矩最大值Mmax计算公式，利用这个公式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中最大的，就是绝对最大弯矩。经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截面弯矩取得最大值的临界荷载下面。第四十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期二P1PcrPn-1PnxRa推导Pcr弯矩最大值的算式由∑MB＝0