2020年数学中考最值问题试题总汇含答案

初中代数、几何所有最值问题

一代数问题中的最值问题

1、从-3,-2,-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为。，最小值为6,求；的值？

b

.4

答案：？

2、若。,b,c都是大于1的自然数，且个=252b,求〃的最小值？

答案：42.

解析：252b可以分成某数基的形式。252b=6X6X7b,b=7,即a=6X7=42.

X即

3、下面是按一定规律排列的一组数：

第一个数：1-11+二fl

2<2)

1(-1Y(-1)2Y(-1户

第二个数：-11+_||1+__II1+___I

3I2W314J

I(-1V(-1)2Y卜1)3(-1)4Y(7产

第二个数：-Ii+_|i1+____||i+_____||1+||i+_____।

412A3JI4A人6J

第n个釉

if-1V(->)2V/)3r(_1产n

_-|l+_U+____II1+।.......H+।

IT/4J—(72〃J

那么在第10个数，第11个数，第12

个数中，最大数是？

答案：第10个。

1-n

解析:第〃个数是把"=10,〃=11,"=12,"=13分别代入得出答案。

2("+1)

4、已知:「说是整数，求满足条件的最小整正数"的值?

答案：5

解析.20n=4X5Xn,因为.20月是整数,20n是一个完全平方数，，n的最小值为5

4、当（m+n）z+1取最小值时，求」--+相』的值?

答案：0

解析：（m+n）?+1取最小值，m+n=0时最小。再用特值法求出答案。

5、设a=35。,6=440,c=53。,求a,6,c中最大和最小的是？

答案：最大是6,最小时°。

解析：350=35,O,440=44,O,530=53，°

v44>35>53,>a>c

二.b最大,c最小.

6^已知正整数。,方,。(其中满足a"c=M+30,求a+b+c的最大值和最小值。？

答案：最大值是33,最小值是13.

舟惭：vabc-ah=30,/.a/,(c-l)=5x6^1x30

又「为正整数，且a工b?.当a"=5且c-l=6时有最小值。，a=5,b=l,c=7

Q+b+c=3

当〃>(。_1)=以30时有最大值，ab=30,c-\=1

a=30,b=1,c=2,.,.a+b+c=32>

6x2+12x+10

7、求分式「--------的值的最小值？

x2+2x+2

统4

解析：把分子与分母看成是两个二次函数，分别求出最小值在比商得出答案。

8、已知三角形的三边a、b、c都是正整数，且[a,b,c]=60,(a.b)=4,(b.c)=3.

求a+b+c的最小值？

答案：31

解析：由[a,b,c]=6O可知，A,B,C的最小公倍数是60,60=2X2X3X5,由(a,b)=4

可知，a,b的最大公约数是4,；.a=4,b=12,由(b,c)=3可知，b,c的最大公约数是3,

c=15,且a=4>b=12,c=15能组成三角形。.,.a+b+c=31

9、2020年2月20S,全国19省市对口支援湖北的16个市，为援鄂的白衣天使骄傲。将

176名医护逆行者分成甲乙两组，因感染人的不断增加，将从甲组抽出16名医护到乙组，

这时乙组人数比甲组人数的m倍还多31人，求乙组原来至少有多少人？

答案：131

解析：这是带参数的二元一次方程组。设甲原来有x人，乙原来有y人，

卜+y=176

lv-i6=a(v+16)+31

整理得用+1Vx,y,m都是整数，.•.当m=5或29或144时此方程为整数。

•,.当m=5时，y值最小。最小值为131.

9、有两个整数的和，差，积，商的和为144,求这两个数对有几种可能？这两数和的最小

值是多少？这两数积的最大值是多少？

答案：有7对(11,11)(一13,-13),(3,27),(-5,-45),(2,32),(—4,-64)

(-2,-288)。和最大值是34,积最大值是576.

解析：设两数分别是x,y,由题意可知：(x+1)+(x->)+孙+L=144

y

整理得;±3+1)2=1X32x42

y

分类讨论"=1,3+1)2=144；

y

当t=9时3+1)2=16

y

当士=16时(y+l)2=9

y

当「=144时3+1)2=1,解出四种情况得出答案。

Y

10^如果两个数x,歹满足x+y+3=10-7-工一歹,求x+y的最小值。答案：一3

解析：设、+>=加，任根据缉对值地几何意R可得出答案。

11>已知非负数x,yfz满足与^=231=设卬=3x+4y+5z,求卬的最大值和最小值？

答案：最小值：19；最大值：35，

3

解析：题目中w含三个未知数，但这三个未知数满足一个等式，因此用换元法得出一个新的方程,

将题目简化。

12、已知实数x,yf求〃7=5/一4切+/—4工+6的最小值和当它取最小值时工与»的值？

答案：x=2,y=4f最小值：2

解析：把右边进行配方成完全平方，利用非负数的性质来求最小值。

13、已知a,b,c是三个非负数，并满足3Q+26+C=5,2Q+6-3c=1,设机=3a+b-7c,

记x为根的最大值，y为〃?的最小值。求中的值。

a=7c-3

解析：由条件组成方程组，解得a,6的值,代入m=3a+b-7c,

/=7-llc

37

zn=3c-2.又a,b,c为非负数，故一一

711

当c=Z时，x---当c=2时，y=-—：

111177

平面几何中的最值问题：几何模型(代数几何化；两点之间线段最短；三角形三边关系)；函

数模型。

几何模型：

【几何数化求最值】

代

1、如图，是由9个等边三角形组成的装饰图，已知中间最小的三角形的边长为1cm,现在

要此图的外围镶一条彩带，问彩带最少要多长？

答案:30

解析：AG=x转化成方程来解。

【两点之间线段最短】

1、如图，在一条船笔直的公路MN的同旁有两个新开发区A,B,已知AB=10千米，直线

AB与公路MN的夹角/AON=30°,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。

⑴求新开发区A到公路MN的距离。

⑵现从MN上某一点P处向新开发区A,B修两条公PA,PBo使点P到新开发区A,B的距

离和最短，请用尺规作图找出P的位置（保留作图痕迹，不写画法），并求出此时的最小值？

答案：⑴8千米⑵将军饮马模型求p点。PA+PB的最小值是14千米。

解析：⑴作AD_LMN与D点，利用Rt△中30°所对的直角边等于斜边的一半求出答案

⑵

过B作HB'_LMN,连接AB'交MN与点P,P点即为所求。PA+PB的最小值就是AB

过A作AH_LHB',垂足为H,根据三角函数可知HB=5,HB'=11,

AH=5KAB,=dAH2+HB，=+11?=\4=PA+PB

【三角形三边关系】：

1、如图、在△ABC中，AC=BC=2,/ACB=90°,P为BC边上一定点，(不与点B,C重合)，Q为AB边

上一动点，设BP=a,(0<a<2),请写出CQ+PQ的最小值？并说明理由。

答案:^4+a2

解析：找Q点有两种方法：图2是作P点关于AB的对称点P',连接cp'交AB于Q点；图3是作C关

于AB的对称点，连接C'P,交AB于点Q。

在图2中，放yBP，中，CP'=>/CB2+BP,2=V4+a2

/.CQ+PQ=V4+a2

2、在AABC中，ZA=15°,AB是定长，点D,E分别在AB,AC上运动，连接BE,ED,若BE+ED的值最

小值是2,求AB的长。

图1

答案：AB=4

解析：作B关于AC的对称点B',过B'作B'D±AB,交AC于E。连接AB'

由对称性可知AB=AB',DB'=DE+BE性,/BAB'=30°

AB=AB'=---=4

sin30°

3、如图，平行四边形ABCD中，NBAD=60°,AB=6,BC=2,P为CD边上的一动点,

则*争。的最小值?

答案；：3右

解析：过作BH_LAD的延长线与H点。•.,AB〃DC；./HDC=NA=60°,

.,.BH=sin60°X6=3^

HP=sin60°xDP=—xDP,

2

BH=HP+BP=—OP+PS=3V3

2

4、BM=6.P西】如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于0点，N是0A的中点，点M在BC上，且

B\I=6.P为对角线上一点，贝UPM-PN的最大值是____.

图1

答案：2

解析：找N关于BD的对称点N',连接MN'交BD于P点。

根据题意易得;AN=ON=ON'=N'C=2V2

CNCM2V2

=-,ZNCM=NACB

BC'8尤8

.“NCMiACB,

NMIAB,PM_LBC

PM=tan45°xMB=6

NNCM=CN'M=ZPN'N=ZPNC=45°

NP==PN'=4

PM-PN=6-4=2

【几何中面积最值】：本质是各种图形的面积公式，方法：转化成1、总面积等于部分面积和;

2、转化成函数问题。

1、如图，RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=3,动点P从A以2个单位每秒的速度向B运动，动点Q

以1个单位速度每秒从B向C运动，当时间为多少时，四边形APQC的面积最小？

答案：1

解析：此题所求面积是总面积（不变）-apeQ的面积。要使此面积最小，只有三角形的面积

最大。

设时间为，，&BPQ=^SPxBQ=-r2+2z

2

当仁一=1时，面积最大，此时四边形4PQC的面积最小。

2x(-1)

2,如图，平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120°,E为BC上一动点，（不与B重合），

作EF_LAB与点F,设BE=x,ADEF的面积为S,当E运动到何处时，$有最大面积，最大值为多

少？

答案：E与C重合时（x=3）,最大值为34

解析：由题可知，s与x是函数关系，故延长FE,DC交于点G

.".FG1DGVZBAD-12O0,由三角函数可求得EF,DG的长。

S=-EFXDG=-—X2+^-X

288

其中0<xM3

11V3

..Yb_k_H牝

•X-----7=­，-----Y0

2a"行］28

2x-

I8J

.,.当x=3时s的值最大，最大值=3VJ

3、如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD的中点，N是AB边上的一动点，将AAMN

沿MN所在的直线翻折得到△△'MN,连接A'C,则A'C的长度的最小值是多少？

解析：核心方法：求一条线段的最值问题一般是将这条线段转化到顶点所在线段线段上，线段

共线，最小值用减法，最大值用加法。

此题要求A'C的最小值，故把A'C转化到线段CM上,用CM-MA'.过M作MHLCD的延长线与H点。

VZA=60°Z1=.60°,,Z2=30

是中点，...AM=MD=1,...HD=l/2,""=当

HC=-

2

MC=\IMH2+HC2=V7

由翻折性质可知：AM=MA=\

：.AC=V7-1

【圆中的最值问题】1、圆中最大弦是直径，2、圆外点与圆上点的最短距血和最长距离，3、

动点定角对定线段作辅助圆。

1、在aABC中，ZA=60°,a=2,求aABC的面积的最大值？

答案：内

解析：ZA=60°（定角）对的边a=2（定线段），点是动点，作辅助圆--------以a为弦，圆周

角为60°作圆，要使三角形面积最大，底边不变，高必须最大，故4ABC为等边时a边上的高最

大。有等边三角形的面积=彳“。得出答案。

2、如图，RSABC中,ABXBC,AB=6,BC=4,P是AABC内部一动点，且满足NPAB=NPBC,求线

段CP的长的最小值？

解析：由题意可知NAPB=90°（定角），所对的边AB=6（定线段），P是动点，，作以AB为直径

的。。，CP的最小值转化成圆外点与圆上点的最短距离，就是圆外点P与圆心0连线交。。于P点。

.♦.0B=6+2=3,BC=4,，0C=5,0P=0B=3,

：.CP=2

3、在RtZkABC中,NACB=90°,AC=8,BC=3,点D是BC边上一动点,连接AD,交以CD为直径的圆与

点E，求线段BE的长度的最小值。

c

c

01

图

图12

答案：1

解析：图2由题意易知/CEA=90°（定角），所对的边AC=8（定线段），E点是动点，...以三点

C,E,A作圆,

BE=B0j

ZACB=90°

CO|=g/C=gx8=4=EO],3c=3

BO】=5,

BE=BOj-EO1=5-4=1

4、如图，△ABC为等边三角形，AB=2,若P为AABC内一动点，且满足NPAB=/ACP,求线段PB长

度的最小值？

图2

2拒

答案：3

解析：图2,由题意易知：NAPC=120"（定角），AC=AB=2（定线段），点为动点，

P

述

...过三点A,C,P作圆，易知AOPA为等边三角形，由垂径定理知0A=AE+sin60°==3=0P

4Ji

4=2+COS30°=—

3

.PRnRcp4行2百2VI

••rr>=OB-Or=-----------------=--------

333

【解析几何中的最值问题】：1、二次函数图像的最值；解题方法：在区间取两端；

2、函数图像与几何图形中的最问题：

值

解题的核心：用解剖法各个击破（题中告诉啥就干啥）

1、已知二次函数y=x?—2x+2在tWxWt+1时有最小值是t,求t的值？

答案：1或2

解析1：有题意可知：对称轴x=l,开口向上，

当*丸+1时，函数有最小值t.

可得方程：t=(t+l)2—2(t+1)+2此方程无解

当对称轴x=l在t与t+1之间时，最小值t=l;

当x在对称轴的右边时，y随x的增大而增大，止匕时x=t有最小值t,即t=t?-2t+2

解得：t=l或2

综合上述：t的值为1或2.

解析2：在区间取两端。

当x=t是函数值最小为t,代入得t=t2