2006-2019年江苏大学《853高等代数》历年考研真题汇总

目录

2016年江苏大学853高等代数考研样题................................................................5

2015年江苏大学853高等代数考研样题................................................................7

2014年江苏大学853高等代数考研样题................................................................9

2012年江苏大学853高等代数考研真题...............................................................11

2011年江苏大学853高等代数考研真题...............................................................13

2010年江苏大学853高等代数考研真题...............................................................15

2009年江苏大学853高等代数考研真题...............................................................17

2008年江苏大学854高等代数考研真题...............................................................19

2007年江苏大学449高等代数考研真题...............................................................21

2006年江苏大学高等代数考研真题...................................................................23

2017年江苏大学853高等代数考研样题

2018年江苏大学853高等代数考研样题

2019年江苏大学853高等代数考研样题

2016年江苏大学853高等代数考研样题

江苏大学

硕士研/主入学考试样题A>

科目代码：853

满分：150分

科目名称：高等代数

注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸

或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!

120

—（20分）、设N=020

-2—2―1

求：（1）/的特征值、初等因子：（2）N的Jordan标准形。

a+bab0•••00

1a+bab•••00

二（15分）、计算〃521）阶行列式：01a+b…000

::•:

000•••1a+b

三（20分）、假设向量夕可以由向量组四,a2,…,见线性表出，证明:表示方法唯一的充

分必要条件是四,%,线性无关。

四（20分）令力和8为两个/WX〃的矩阵，证明：

秩（4+3）4秩"）+秩（3）。

五（20分）（1）证明两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价;

（2）令上（四,。21、%）表示%,。2/：％的所有线性组合构成的子空间，

证明£（%,。2,的维数等于向量组％，。2,…，％的秩。

六（20分）、设。是线性空间/上的可逆线性变换，

（1）证明：。的特征值一定不为0；

853高等代数第1页共2页

⑵证明：如果；I是。的特征值，则J是。T的特征值。

/t

七(15分)、设力和5为〃阶正定矩阵，证明力+8也是正定矩阵。

八(20分)欧氏空间忆中的线性变换。称为反对称的，如果对任意的都有

0(a),£)=-30(0)。

⑴证明：。是反对称的当且仅当。在一组标准正交基下的矩阵是反对称的；

⑵证明：如果匕是反对称线性变换的不变子空间，则匕,也是。

853高等代数第2页共2页

2015年江苏大学853高等代数考研样题

江苏大学

硕士研究生入学考试样题

科目代码：臂等代数满分：出分

科目名称：

注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在管蹴上，写在本试题纸

或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!

‘033、

一（20分）设4=—186,

、2-14一10,

求：（1）4的不变因子、行列式因子、初等因子;

（2）4的Jordan标准形.

4.4-'EX'

二（15分）设力=是一对称矩阵，且阂|。0，证明:存在3=

_421“22_0E_

40

使得AB=其中*表示一个阶数与A22相同的矩阵.

0*

-100-

三（20分）设4=010,W=[B&Pix3\AB=BA\,求W的维数和一组基.

312_

四（20分）设b是数域P上％维线性空间P的一个线性变换，九…，刍分别是

o"的属于互不相同的特征值A,,4,...,4的特征向量（1W左W"）,则八$，…，短

线性无关.

五（20分）设厂是复数域上的“维线性空间，而线性变换b在基£”£2,一£〃下的矩

阵是一Jordan块，证明：

1.厂中包含与的o■的不变子空间只有P自身；

853高等代数第1页共2页

2.P自身任一非零的。的不变子空间都包含£,；

3.V不能分解成两个非平凡的b的不变子空间的直和.

六（20分）若实对称阵4半正定，则力的一切主子式全大于或等于零.

七（20分）设7为上三角的正交矩阵.则T必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1

和-1.

八（15分）设N为数域/上〃阶方阵且1=月.证明：〃元齐次线性方程组4X=0

与（Z—E）X=0的解空间的直和是尸“.

853高等代数第2页共2页

2014年江苏大学853高等代数考研样题

江苏大学

硕士研究生入学考试样题

科目代码：853满分.150分

科目名称：高等代数满分.—力

12

一（15分）在R2X2中，设M=,令b（x）=XW-M¥,VX€R2x2

03j

1）试证：O•是R2x2的一个线性变换。

2）求o•的核。-|（0）的维数和一组基。

"1-22'

二（20分）设4=3—36

2-24_

求：1）力的特征多项式；

2）力的不变因子、行列式因子、初等因子；

3）A的Jordan标准形.

三（20分）若■，匕是线性空间P的两个子空间，

试证：维（匕）+维（％）=维（匕+匕）+维（匕八匕）

四（20分）已知向量组4：4,。2,…,见与向量组B：4,夕2,…，自具有相同的秩，

且4组可被B组线性表示，证明：力组与3组等价.

五（20分）设A是〃x〃矩阵（〃22）,Z•是4的伴随矩阵.

，

试证明：当/?（♦）=〃时，R（A）=ni而当一1时，R（/）=0或1.

853高等代数第1页共2页

六（20分）设4是〃级实对称矩阵，证明：存在一正实数C,使得对任一实〃维向量X

都有

\XTAX\<CXTX.

七（20分）设匕K是欧氏空间P的两个子空间.证明：

化4，

化n%）=4+4・

八（15分）设〃阶方阵力的特征多项式为了（外，且（/（%）,r（4））=d（；l）,

=/（2）/tZ（2）,证明：4相似于对角阵的充要条件是6（Z）=0.

853高等代数第2页共2页

2012年江苏大学853高等代数考研真题

江苏大学

2012年硕士研究生入学考试初试试题（A卷）

科目代码：853

满分：150分

科目名称：高等代数

注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在修题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无

效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！

'100'

-（20分）设4=110

232

求：1）4的特征多项式

2）A的不变因子、行列式因子、初等因子；

3）4的Jordan标准形.

--211

二（15分）设尸是数域，A=GP2x2,/（X）=X2+3X+2,

0-2_

对DY。、，r：Xf“4）X

1）证明：7是数域P上线性空间p22的线性变换；

「1oo[「oio]roor

2）求T在基？=[oooj,昂=[o°o]，&3=[o°op

000000

E=下的矩阵3.

-23

01023001

三（20分）设邛是数域P上〃维线性空间/的一个m维子空间，％,a2,…,a.是%的一组基•则这组

向量必定可扩充为整个空间的一组基。即在0中必定可找到“-加个向量a”，使得

四,。2,…。时，%>*1，是%的一组基.

四（20分）证明：如果彷,小,…,7是一线性方程组的解，那么小7+%%+…+（其中

M]+u2+...+U,=1）也是一个解.

科目代码：853科目名称：高等代数第1页共2页

五（20分）加x〃矩阵N的秩为一，则有加xr的列满秩矩阵尸和rx〃的行满秩矩阵0,使4=尸0.

六（20分）设2=（为）为一实对称阵，若Z

其中

%。科…%

4=a咽av2…%其中］4彳4•一4（4〃，

•••••••••・・•

_%%…%_

则4是半正定的.

七（20分）证明：第二类正交变换一定以-1为它的一个特征值.

八（15分）设ZePmx",BePnx,,试证：

R⑷+R(B)-n<R(AB)<,min{&(，),H(3)}.

科目代码：853科目名称：高等代数第2页共2页

2011年江苏大学853高等代数考研真题

机密★启用前

叶/江苏大学2011年硕士研究生入学考试试题A卷

考试科目、*等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效

一(20分)

'111'

设4=010

001

求：(1)4的特征多项式和全部特征根；

(2)Z的不变因子、行列式因子、初等因子；

(3)4的Jordan标准形.

二(15分)

设。是由4=(1,3,-2,2,3),%=(1,4,-3,4,2),a3=(2,3,-1,-2,9)生成的〃

的子空间，印是由自=(1,3,0,2,1),仅2=。，5,-6,6,3),自=(2,5,3,2,1)生成的相

的子空间，求

(1)U+W

(2)Uc%的维数和基.

三(20分)

设向量力可经向量组%,%，…，%线性表示，

证明:表示法是唯一的充分必要条件是四,%,…,见线性无关.

四(20分)

设.=好+芯+…+左=0,1,2,…；atj=si+j_2,z,j=1,2,•••,«.

2

证明：|«/,|=n(x,.-xy)

五(20分)

设4是一个〃级实对称矩阵，且|4<0,证明：必存在实〃维向量XHO,

使XTAX<0.

城或第1页

六（20分）

若V},V2是线性空间P的两个子空间，

试证：维（匕）+维（匕）=维（匕+匕）+维（匕c匕）

七（20分）

证明：上三角的正交矩阵必为对角阵，且对角阵上的元素为+1或-1.

八（15分）

设/（x）=，_5x+6是有理数域。上的二次多项式，o•是。上线性空间P的一个非

数乘的线性变换，且满足/（b）=0.

（D证明并求出o■有两个不同的特征值4,否.

（2）证明：P可分解成cr的属于4,乙的特征子空间的直和.

夬型悌2页

2010年江苏大学853高等代数考研真题

机密★启用前

江苏大学2010年硕士研究生入学考试试题A卷

考试科目：高等代数8匕；

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效

-（20分）设Z=0-10,

865_

求：1）4的不变因子，行列式因子和初等因子；

2）4的Jordan标准形。

ah

二（18分）设/是全体实2x2矩阵所构成的实线性空间，A=,eP,定

义P的变换：7X=AX,VXeP

1）证明：T是线性的；

'12'

2）当4=时，求T的值域Im（T）及它的一组基。

-2-4

三（20分）设向量组％,%，…，。$；夕”夕2,…，夕;%，。2,…，％，£1，62,…，月的秩分别

为乙,乙2，々，证明：max（r!，r2）<r3<rf+r2

四（18分）设4瓦。,0都是矩阵，且»上0,2。=。，证明:

五（20分）证明：二次型/（和…,x〃）半正定o其正惯性指数与秩相等。

共2页悌1页

六(18分)叙述并证明哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理。

七(18分)证明：第二类正交变换一定以T作为它的一个特征值。

八(18分)

1)设P为数域F上〃维线性空间，证明：P有无穷多个r维子空

间。

2)V是数域P上〃维线性空间,％,V?是P的两个子空间，

若dim(V1+V?)=dim(\cV2)+l,则V〜V2是忆的子空间。

共四，第2页

2009年江苏大学853高等代数考研真题

机密★启用前

江苏大学2009年硕士研究生入学考试试题

科目代码：853科目名称：高等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷、草稿纸上无效！

r033'

一（20分）设Z=-186

2-14-10

求：1）A的不变因子、行列式因子、初等因子；

2）A的Jordan标准形.

ax1.+x2,+X,=4

二（20分）设线性方程组L3c

xy+bx2+x3=3

［再+

2bx2+X3=4

试讨论：当a,b分别取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时

求其一般解.

三（18分）设A是〃处阵（"22）,"是力的伴随矩阵.

试证明：当K（Z）=〃时，/?（1）=〃；而当火—1时，火（4）=0或1.

四（20分）设%,火，是〃维欧氏空间产中的一组向量，

（%吗）（/㈤...（«!，«„,）

记力=其中（%,%）为内积.

•••・・・・・・・・・

’（仁山，）（«„,,«2）...（am,aw）

证明:1,。2,…,％，线性无关u>|/|w0.

第I页，共2页

J4

五(20分)设4="12是一对称矩阵，且|4||二O.

_“21，22_

「EX]7,「4O

证明：存在3=o后，使得"45=J*,

其中*表示一个阶数与力22相同的矩阵.

六(20分)设/A是线性空间V上的一个线性变换，若/A可逆，且；I是/A的一个特征值,

则,是/A”的特征值.

七(18分)设S(4)={3eP"x148=0,/eP""}

(1)证明：SQ)是尸"X"的一个子空间；

(2)若R(4)=r,问dimS(4)=?

八(14分)设b"是复数域。上的n维线性空间P的两个非零线性变换.

cr(crr-ra)=(or-ra)a,T(ar-ra)=(or-T(T)T,且dimIm(crT-rcr)=1.

试证：o■与7有公共非平凡不变子空间.

第2页,共2页

2008年江苏大学854高等代数考研真题

机密★启用前

江苏大学2008年硕士研究生入学考试试题

科目代码：854科目名称：高等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷、草稿纸上无效!

100

一（18分）设4=110

232_

求：1）A的特征多项式

2）A的不变因子、行列式因子、初等因子；

3）A的Jordan标准形

二（18分）计算n阶行列式

abb•••bb

cabbb

cca•••bb

D“=:::..

ccc…ab

ccc•••ca

三（24分）

1.已知％与％,。2,…有相同的秩，

证明：%,。2，・“，％与%，。2，一・%，%+1，,一，％等价・

2.设a=（%吗2「一，M），，=1,2,…,s；夕=（6也,…也）

+al2x2+---+alnx„=0

J的内+a22x2+--+a2nxn=0

证明：若线性方程组

UdX,+as2x2+--+amxn=0

的解全是6内+&X2+…+2乙=0的解，则夕可由四,。2,…,线性表示.

第1页,共2页

四（16分）设A,B,C,D均为数域P上〃阶矩阵，且卜|。0,AC=CA.

AB..

贝'CD=\AD~CB\

五（18分）设A为加阶实矩阵，试证：R（4Z）=做⑷

六（16分）设T为上三角的正交矩阵.则T必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1和-1.

七（20分）设W是数域P上n维线性空间V的一个机维子空间，叫,。2,…,%，是W的

一组基.则这组向量必定可扩充为整个空间的一组基。即在V中必定可找到〃-机个向法

%»+”".•以”，使得%，。加+”…,a”是V的一组基。

A（20分）设A为数域C上〃阶矩阵，4为A的任一特征值，而

{aAa,---,An勿}为线性无关的n维向量组.试证：A的属于特征值4的线性无关的特

征向量只有一个。

第2页,共2页

2007年江苏大学449高等代数考研真题

机密★启用前

江苏大学2007年硕士研究生入学考试试题

科目代码：449科目名称：高等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷、草稿纸上无效！

ri-22'

—（18分）设4=3-36

L2-24」

求：1）A的不变因子、行列式因子、初等因子：

2）A的Jordan标准形。

二（16分）计算n+1阶行列式

彳为埼%；...%邛邛一

G42收...嫂明

三（20分）

（1）设有一向量组a],a2,...,as,从中任取m个向量4,a、（1<w<s）.若

秩（a,,a2,...,a5）=r,则秩（4,％,…,％“）>r+m-s

（2）设A是mxr矩阵，若A是列满秩矩阵（即A的列向量组是线性无关的），则必存在m阶可

国

逆矩阵P,使A=P1

0

'100一

四（18分）设力=010,w={B&PM\AB=BA\,求W的维数和一组基。

312

第I页,共跳

五(16分)设/A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，/…，媒、分别是伏的属

下互不相同的特征值4,4,…，4的特征向量则/。42,…，或、线性无关。

六(16分)设/A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，/(x),g(x)GP[X],d(x)是f(x)

与g(x)的最大公因式，f(/A)=O,g(/A)=0,试证：d(/A)=0

七(16分)设4=(为)…为一实对称阵，若A是半正定的，则A的一切主子式|4|20

其中

^'2"""也

4=%…%*其中]…

八(15分)若/A是正交变换，则/A的不变子空间的正交补也是/A的不变子空间。

九(15分)设〃匕)表示数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的集合。若b€£(匕),

且V中有一个由b的特征向量构成的基，证明：V的任一非零的b的不变子空间W都存在由＜r

的特征向量构成的基。

第2页，共去虫

2006年江苏大学高等代数考研真题

机密★启用前

江苏大学2006年硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效

一（11分）计算n阶行列式

111

二（18分）设A=010

001

求：（1）A的特征多项式和全部特征根

（2）A的不变因子、行列式因子、初等因子。

（3）A的Jordan标准形。

三（16分）设A是nxn阶非零矩阵。证明：存在一个nxn阶非零矩阵B,使AB=0的充分必

要条件是阂=0。

「12一

四（18分）在R2x2中，设〃■=,令=XM—MXNX三心0

03_

（1）试证：o■是R2x2的一个线性变换。

（2）求o■的核crT（O）的维数和一组基。

五（18分）设向量组…,％；4,夕2,…M；%,%，…，％，A血，…血的秩分别为

证明:max（r|5r2）^^<r+r2

六（24分）设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换b在基与,4，…%下的矩阵是一

Jordan块，证明:

1.V中包含与的。的不变子空间只有V自身

2.V中任一非零的。的不变子空间都包含

共2页，第1页

3.V不能分解成两个非平凡的＜r的不变子空间的直和

七(14分)设工(工)=4(%)+68(工),8[(》)=1/(》)+%(%)且。"一6。。0

试证：(/(x),g(x))="(x),g2(x))

八(16分)试证：

1.如果4=(%)四是正定矩阵,则小”"山这里2T是A的n-1阶顺序主子式。

2.如果A是正定矩阵，则|4£为同22…为”

A-Y

提示：可利用结论-XTA'Y.

XTO

其中Z•是A的伴随矩阵

九a分)设n阶方阵A的特征多项式为，(4)且(/(4),/'(；l))=d(；l),

/㈤=/(%)/"(4)。证明：A相似于对角阵的充要条件是h(A)=O.

共1贝，第2页

江苏大学

硕士研最生入学考试样题人看

科目代码:等等代数满分：—分

科目名称:

注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在图邈上，写在本试题纸

或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！

■308'

-（15分）设4=3-16

-20-5

求：（1）Z的不变因子、初等因子；

（2）N的Jordan标准形。

aa­•■ax

aaxa

二（15分）计算〃2）阶行列式：：工

axaa

xa•••aa

三（20分）设4,a2，…，心的秩是〃，用=q+。2，£2=&2+%，…，尸"=%+/

（1）证明：4,a2,…,%，与夕I血，…，尸"等价。〃为奇数；

（2）当〃为偶数时，求秩｛4外

O

四（20分）一个矩阵Z称为反对称的如果4'=-4。证明任何一个％阶矩阵都可以唯

一地表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.

五（20分）若2和8都为正定矩阵，证明：

（1）方程|立4-31=0的所有根都大于0：

（2）方程|四-81=0的所有根都为1当且仅当A=B.

六（20分）设。和/是线性空间少的两个子空间。判断下面三个命题是否成立。

如果成立，请给出证明。如果不成立,请给出反例。

853高等代数第1页共2页

(1)。和/的交={aIae。且aeQ一定是水的子空间；

(2)U和/的并U|J忆=mIaeU^aeV}一定是用的子空间；

(3)。和/的和。+/={。=%+%1%6〃，a?w/}一定是少的子空间。

七(20分)设月是数域产上的〃阶方阵，又设向量空间尸"的两个子空间为

%={x[(Z—E)x=0},%={x|(4+E)x=0},

其中E为单位矩阵。证明：P"=%㊉％(即P"表示为％和%的直和)的充分必

要条件是4?=七。

八(20分)设%,a2,是数域尸上的线性空间/的一组基，。是％的一个线性变

换。证明：。可逆的充分必要条件是。(四),。(。2)，线性无关。

853高等代数第2页共2页

刈8年江苏大学

硕士研究生入学考试样题

科目代码：853A卷

科目名称高等代数满分：150分

注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题

纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！

一.Cg)计算下列行列式:

730…00

273…00

027…00

D=

n・・・

000…73

000…27

--4210

二"设矩阵4=-437,求/的所有不变因子，初等因子，若当标准

-317

形及最小多项式。

r-i3-3'

三.(勿设矩阵力=3-1-3,求正交矩阵尸，使尸-/尸为对角阵，并计算:

-3-35

+4Z+E.

四•(为夕)设%是非齐次线性方程组的一个解，7,…是它导出组的一个基础

解系，%=%,为=7+%，…，％+i=7+%，证明：

(1)…力,线性无关;(2)一,“，…，K+i线性无关;

(3)该方程组的任一解y都可表示成：

/♦I

/=uly1+u2/2+-+u,+I/,tl,其中»,=1。

第1页共2页

五.设力是sx〃矩阵，8,C均为〃x用矩阵，其中〃为列满秩矩阵即：秩幺=〃，

一E*

证明：（1）存在s级可逆矩阵P,使尸/="。

0

⑵若N3=ZC,则：3=C.今）

六.设%是数域尸上“维线性空间，四乌,…,％是%的基，

阳=A（tz,+a2+-•■+«„）,W2=<左乌+k2a2+---+knank,sP/k,=Q>

证明：⑴名是忆的子空间；⑵P=%㊉%（次分

七.设48是实对称矩阵且8为正定矩阵，证明：存在可逆阵P,使P/尸与

P'Z尸同时化为对角阵。，/'、

（以））

八.设P是数域尸上维线