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文档简介

第五讲三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念（一）引例（二）三重积分的定义一、三重积分的概念（一）引例（二）三重积分的定义非均匀物体的质量

分割：把Ω分为取近似：求和：取极限：一、三重积分的概念（一）引例（二）三重积分的定义一、三重积分的概念（一）引例（二）三重积分的定义

定义设是有界闭区域Ω上的有界函数.将闭区域Ω闭区域,也表示它的体积.在每个任意分成n个小闭区域当各小闭区域直径中的最大值则称此极限为函数其中表示第i个小闭上任取一点作乘积并作和如果趋于零时这和的极限总存在,在闭区域Ω上的三重积分,记作即称为体积元素,

在直角坐标系下常写作注(1)(2)三重积分的物理意义:不均匀物体的质量(f(x,y,z)≥0)(3)三重积分不再具有几何意义三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算线性性质可加性物理意义V为Ω的体积不等式估值定理中值定理在Ω上连续,则存在使得三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算一、三重积分的概念二、三重积分的性质三、三重积分在直角坐标系下的计算三、

三重积分在直角坐标系下的计算（一）先一后二（先单后重）法（二）先二后一（先重后单）法三、

三重积分在直角坐标系下的计算（一）先一后二（先单后重）法（二）先二后一（先重后单）法设

将其视为某物体的密度函数，则

该物体的质量为细长柱体微元的质量为记作若

类似可得计算公式计算步骤(以向xoy平面投影为例)(1)画出区域Ω的草图(或Ω的一部分).(2)求区域Ω在xoy面的投影Dxy.(3)定出z的上限和下限.xyzo在Dxy内作平行于z轴的直线，穿入区域时,Ω的边界曲面F(x,y,z)=0确定的z=z1(x,y)为z的下限.穿出区域时,Ω的边界曲面G(x,y,z)=0确定的z=z2(x,y)为z的下限.(4)将二重积分化为累次积分.(5)计算累次积分.例1例2其中为抛物面计算三重积分所围成的闭区域.及平面oxyz其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.计算三重积分例3其中为曲面计算三重积分所围成的闭区域.及平面三、

三重积分在直角坐标系下的计算（一）先一后二（先单后重）法（二）先二后一（先重后单）法三、

三重积分在直角坐标系下的计算（一）先一后二（先单后重）法（二）先二后一（先重后单）法为底,dz

为高的柱形薄片质量为该物体的质量为记作计算公式设类似可得适用条件f(x,y,z)是z的函数(与x和y无关)Dz的面积较易求出计算三重积分例4例5其中为计算三重积分的公共部分与xyz适用条件f(x,y,

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