步步高选择性必修1第五章-微专题2-导数应用的经典题型突破课件

微专题2导数应用的经典题型突破第五章

一元函数的导数及其应用利用导数研究函数的单调性和极值(最值)是高考的常见题型，常将导数与函数、方程、不等式等知识交汇命题，难度偏向中高档.一、利用导数研究函数的单调性问题(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围；①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；②当a>0时，令g(x)＝ax2－2x＋a，∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a≥1.∴当a≥1时，函数f(x)单调递增.∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).(2)讨论函数f(x)的单调性.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.③当0<a<1时，由ax2－2x＋a＝0，综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.反思感悟利用导数研究函数的单调性应注意以下几点(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.二、利用导数研究函数的极值与最值问题例2

已知函数f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；解当a＝1时，f(x)＝2x－ln(2x)，(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解假设存在实数a，使f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]有最小值3，①当a≤0时，因为x∈(0，e]，所以f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单调递减，综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小值为3.反思感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.(3)将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值.三、利用导数研究恒成立问题例3

设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值.(1)求a，b的值；解f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.解由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2恒成立，所以9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).反思感悟解决不等式恒成立问题，有两种求解方法.一种是转化为求最值，另一种是分离参数.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤四、利用导数研究不等式问题√解析由f′(x)sinx>f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx>0，(2)已知定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为A.(－∞，0) B.(－∞，2)C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)√∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减.∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)<g(0).∵函数g(x)单调递减，∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞).反思感悟解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决.五、利用导数证明不等式(1)求f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞