2023年等差数列的前n项和及其性质教案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐等差数列的前n项和及其性质教案5、等差数列的前n项和

等差数列的前n项和公式

(1)等差数列的前n项和公式已知量

首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝n(a1＋an)2Sn＝na1＋n(n－1)2

d(2)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系

将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)2d收拾成关于n的函数可得Sn＝d2

n2＋????a1－d2n.[基础自测]

1．推断正误

(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．()

(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．()

(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．()

[解析](1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，由于数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．

[答案](1)×(2)×(3)√

2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝()

A．－20

B．－40

C．－60

D．－80

D[由等差数列前n项和公式，S10＝10×1＋12

×10×9×(－2)＝－80.]3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.

[解析]S17＝12

×17×(2＋8)＝85.[答案]85

4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.

[解析]S8＝8×1＋12

×8×7×d＝64，解得d＝2.[答案]2

5．(2022·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()

A．－24

B．－3

C．3

D．8

解析：选A设等差数列{an}的公差为d，

由于a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，

即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.

又a1＝1，所以d2＋2d＝0.

又d≠0，则d＝－2，

所以{an}前6项的和S6＝6×1＋6×52

×(－2)＝－24.6．在等差数列{an}中，an>0，a7＝12

a4＋4，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a7＝12a4＋4，得a1＋6d＝12

(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝19(a1＋a19)2

＝19×a10＝19×8＝152.答案：152

7．(2022·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝()

A．36

B．72

C．144

D．288

解析：选B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，

∴d＝32，∴S9＝9×2＋9×82×32

＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，

∴S9＝9(a1＋a9)2

＝72.8．(2022·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是()

A．20

B．36

C．24

D．72

解析：选C由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，

得?????4a1＋4d＝4，6a1＋12d＝12，解得?????

a1＝0，

d＝1，

∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.

9．(2022·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.

∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.

∴S6＝6a1＋6×(6－1)2

d＝6×6－30＝6.答案：6

题型一与Sn有关的基本量的运算

例1已知等差数列{an}中，

(1)a1＝32，d＝－12

，Sn＝－15，求n和a12；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；

(3)a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.

[解](1)由于Sn＝n·32＋n(n－1)2

·????－12＝－15，收拾得n2－7n－60＝0.

解得n＝12或n＝－5(舍去)．

所以a12＝32

＋(12－1)×????－12＝－4.(2)由Sn＝n(a1＋an)2＝n(1－512)2

＝－1022，解得n＝4.

又由an＝a1＋(n－1)d，

即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.

(3)由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2.

故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.

[逻辑办法]等差数列中基本量计算的两个技巧：

(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，普通是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注重整体代换的思想.

(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，

常与求和公式Sn＝na1＋an2

结合使用.[跟踪训练]

1．等差数列中：

(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；

(2)an＝8n＋2，d＝5，求S20；

(3)d＝13

，n＝37，Sn＝629，求a1及an.[解](1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，

得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，

∴Sn＝n(a1＋an)2＝128×(105＋994)2

＝70336.

(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝5，

∴S20＝20a1＋20×(20－1)2

×5＝20×10＋10×19×5＝1150.(3)将d＝13

，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an)2，得???an＝a1＋12，37·(a1＋an)2

＝629，解得?????a1＝11，an＝23.题型二等差数列前n项和的性质

例2在等差数列{an}中.

(1)a4＝2，求S7；

(2)S5＝3，S10＝7，求S15；

(3)S10＝100，S100＝10，求S110.

[思路探索](1)利用a1＋a7＝2a4；(2)按照S5，S10－S5，S15－S10成等差数列求S15；(3)按照所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S20－S10，S30－S20，…，S110－S100成等差数列求解．

[解](1)S7＝12×7×(a1＋a7)＝12

×7×2a4＝7a4＝7×2＝14.(2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3,7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12.

(3)法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则

Sn＝na1＋n(n－1)2

d.由已知得???10a1＋10

×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10，②

①×10－②，收拾得d＝－1150

，代入①，得a1＝1099100.所以S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×????－1150＝110???

??1099－109×11100＝－110.

故此数列的前110项之和为－110.

法二：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10＋10×92

×D＝S100＝10?D＝－22，

所以S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)

＝－120.

所以S110＝－120＋S100＝－110.

[逻辑办法]巧妙应用等差数列前n项和的性质

(1)“片段和”性质.

若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列.

(2)项数(下标)的“等和”性质.

Sn＝na1＋an2＝nam＋an－m＋12

.(3)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列，公差为d.

①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝an＋1an

.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶S奇＝nn＋1

.[跟踪训练]

3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分离为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5

的值．[解]

a5

b5＝2a52b5＝9(a1＋a9)9(b1＋b9)＝S9T9＝7×9＋29＋3

＝6512.

题型三等差数列前n项和的最值

[探索问题]

1．(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，求Sn的最小值；

(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，求Sn的最小值．

[提醒](1)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，Sn的最小值为－4.

(2)Sn＝n2－3n＝????n－322－94

，由于n∈N＋，所以当n＝2或n＝1时，Sn的最小值为S2＝S1＝－2.2．(1)在等差数列{an}中，若a5＞0，a6＜0，则其前多少项的和最大？

(2)在等差数列{an}中，若a5＜0，a6＝0，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．

[提醒](1)前5项的和S5最大．

(2)由于a5＜0，a6＝0，故其公差d＞0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5＝S6.

3．在等差数列{an}中，若d＜0，S10＝0，则其前多少项的和最大？

[提醒]S10＝12

×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝0，故a1＋a10＝a5＋a6＝0，由于d＜0，所以a5＞0，a6＜0，所以S5最大．

例3在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．

[解](1)由题意得?

????a1＋9d＝18，

5a1＋5×42×d＝－15，

得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.

(2)法一：Sn＝n(a1＋an)2＝12

(3n2－21n)＝32????n－722－1478

，∴当n＝3或4时，

前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.法二：设Sn最小，则?????an≤0，an＋1≥0，即?????

3n－12≤0，

3(n＋1)－12≥0，

解得3≤n≤4，又n∈N＋，∴当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18.

母题探索：1.(变条件)把例4中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．

[解]S5＝12×5×(a1＋a5)＝12

×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n.设Sn最大，则?????

an≥0，

an＋1≤0，

解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.母题探索：2.(变结论)在例4中，按照第(2)题的结果，若Sn＝0，求n.

[解]法一：由于S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝72

，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.

法二：由于S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝12

×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.[跟踪训练]

1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()

A．S15

B．S16

C．S15或S16

D．S17

解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192

d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋n(n－1)2

×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a70的最大自然数n的值为()

A．6

B．7

C．12

D．13

解析：选C由于a1>0，a6a70，a70，a1＋a13＝2a70，S130的最大自然数n的值为12.

[逻辑办法]等差数列前n项和的最值问题的三种解法

(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值.

(2)利用Sn：由Sn＝d2

n2＋????a1－d2n(d≠0)，利用二次函数配办法求取得最值时n的值.(3)利用二次函数的图像的对称性.

[达标训练]

1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是()

A．12

B．24

C．36

D．48

B[S10＝12

×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24.]2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()

A．2

B．3

C．6

D．7

B[S2＝a1＋a2＝4，S4－S2＝a3＋a4＝20－4，故a3＋a4＝16.

∴(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝12，∴d＝3.]

3．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝()

A．12

B．13

C．14

D．15

解析：选B设等差数列{an}的公差为d，

由S5＝5(a2＋a4)2，得5(3＋a4)2

＝25，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.

4．(2022·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()

A．1

B．2

C．4

D．8

解析：选C设等差数列{an}的公差为d，

则由?????a4＋a5＝24，

S6＝48，得?

????a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，

即?????2a1＋7d＝24，

2a1＋5d＝16，解得d＝4.5．(2022·陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于()

A．13

B．49

C．35

D．63解析：选B由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以S7＝7(a1＋a7)2＝7(a2＋a6)2

＝49.6．(2022·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝()

A．72

B．88

C．92

D．98

解析：选C法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5

＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋8×72

d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝8(a1＋a8)2＝8(a4＋a5)2

＝92.

7．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.

解析：由于S17＝a1＋a172

×17＝17a9＝51，所以a9＝3.按照等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，

所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.

答案：3

8．在等差数列{an}中，公