考点59-数学归纳法课件

59数学归纳法数学归纳法证题的步骤用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题时，其步骤为：(1)归纳奠基：证明当n取自然数①_________时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝②_____时命题成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对③_____________________都成立．n0(n0∈N*)k＋1从n0开始的所有正整数n考向1用数学归纳法证明等式

数学归纳法在高考中很少单独考查，一般作为一种解题方法出现．复习时要注意掌握数学归纳法的适用条件及解题步骤．例1(2018·江苏苏州模拟，23，10分)设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π)．(1)用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ；【解析】

(1)证明：①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；②假设当n＝k时，命题成立，即(cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ，则当n＝k＋1时，(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，∴当n＝k＋1时，命题成立．综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.

利用数学归纳法证明等式时应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0；(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx①当n＝1时，由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即因此当n＝k＋1时，等式也成立．思路点拨：(1)利用导数运算法则求出f1(x)，f2(x)，将自变量的值代入求解；考向2用数学归纳法证明不等式

利用数学归纳法证明不等式问题常与数列问题相结合，题目难度较大．

在复习中，注意由“n＝k”向“n＝k＋1”证明，既可以用综合法，也可以用分析法、反证法、放缩法等．【解析】

(1)把n＝2，n＝3代入已知式得a1＋2a2＝4－2＝2. ①∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增．∴g(x)＞g(0)＝0(x＞0)，即(**)成立．

应用数学归纳法证明不等式时应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．①当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2a)上是增函数；若x∈(a2－2a，0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a，0)上是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0成立，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．③当a>2时，若x∈(－1，0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，0)上是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)上是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)上是增函数．(2)证明：由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，根据①②知对任何n∈N*结论都成立．思路点拨：