最新培优专题课全等三角形专业知识讲座课件

基本图形是最常见、最简单的几何图形，但它往往具有非常重要的性质.证几何题时，我们一要善于从较复杂的图形中分解出基本图形，二是会根据图形特征添加辅助线构造出基本图形，进而利用基本图形的性质使问题获证.下面我们介绍有关全等三角形的基本图形，供同学们复习参考.一、角平分线+翻折→全等三角形【知识点睛】如图，OZ平分∠XOY，A，B分别为射线OX，OZ上的点，将△AOB绕角平分线OZ翻折，点A落在OY上的A′点(添加辅助线时，叙述为“在OY上取A′，使OA′=OA”).在△AOB与△A′OB中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB，OB=OB，∴△AOB≌△A′OB.【培优训练】1.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B.求证：AB=AC+CD.【解题指南】发现图中△ACD与△AED全等是解题的关键.【证明】∵∠1=∠B，∴∠AED=2∠B，DE=BE，∴∠C=∠AED.在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，AD=AD，∠C=∠AED，∴△ACD≌△AED.∴AC=AE，CD=DE，∴CD=BE.∴AB=AE+EB=AC+CD.【方法技巧】发现图中的基本图形沿角平分线翻折得到全等三角形.因此，当题目条件中给出角平分线时，就可以借助角平分线构造出全等三角形，从而得到相等的线段或相等的角.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC.求证：DC=AD.【解题指南】借助角平分线这个平台，构造全等三角形.在BC上截取BE=BA，根据已知条件证明△BAD≌△BED，所以DA=DE，再证DE=DC，即可得证.【证明】在BC上截取BE=BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD.在△BAD和△BED中，BA=BE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△BAD≌△BED(S.A.S.)，∴DA=DE，∠A=∠BED.∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DC=AD.【变式训练】如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE交AP于点D.求证：AD+BC=AB.【证明】在AB上截取AF=AD，连接EF.∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE.在△DAE和△FAE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，∴△DAE≌△FAE(S.A.S.)，∴∠AFE=∠ADE.∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°.∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C.∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC.在△BEF和△BEC中，∠EFB=∠C，∠EBF=∠EBC，BE=BE，∴△BEF≌△BEC(A.A.S.)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB.二、中线+加倍延长→全等三角形【知识点睛】1.如图所示，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC.∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.在△ABD和△CED中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≌△ECD(S.A.S.).2.如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.又∵∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF.这一基本图形称为间接“中线+加倍延长→全等三角形”，在几何证明中，也相当有用.【培优训练】2.已知：如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF.【证明】如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△MBD中，AD=DM，∠ADC=∠MDB，CD=BD，∴△ACD≌△MBD(S.A.S.)，∴∠CAD=∠M，AC=BM.∵BE=AC，∴BM=BE，∴∠M=∠BEM，∴∠BEM=∠CAD.∵∠BEM=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA.求证：AE=2AD.【证明】延长AD至点M，使DM=AD.∵AD是△ABC的中线，∴DB=CD.在△ABD和△MDC中，BD=CD，∠ADB=∠MDC，AD=DM，∴△ABD≌△MCD(S.A.S.)，∴AB=MC，∠B=∠MCD.∵AB=CE，∴CM=CE.∵∠BAC=∠BCA，∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，即∠ACE=∠ACM.在△ACE和△ACM中，AC=AC，∠ACM=∠ACE，CM=CE，∴△ACM≌△ACE(S.A.S.)，∴AM=AE.∵AM=2AD，∴AE=2AD.如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DF交BC于点E.求证：DE=EF.【证明】过点D作DG∥AF交BC于点G，∴∠ECF=∠DGE，∠DGB=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠DGB，∴DG=BD.∵BD=CF，∴DG=CF.在△DGE和△FCE中，∠DGE=∠ECF，∠DEG=∠CEF，DG=CF，∴△DGE≌△FCE(A.A.S.)，∴DE=EF.三、平移、旋转→全等三角形【知识点睛】1.平移型全等三角形如图所示，∠B=∠E，AB=DE，当∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或BC=EF时，△ABC≌△DEF.这里的△DEF可以看作是△ABC平移得到的.因此，称这一基本图形为平移型全等三角形.2.旋转型全等三角形如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE(S.A.S.).这里的△ADE可以看作是△ABC绕点A旋转得到的.因此，称这一基本图形为旋转型全等三角形.【培优训练】如图，已知∠A=∠F，AB∥EF，BC=DE，求证：AD∥CF.【证明】∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=EC.∵AB∥EF，∴∠B=∠E.在△ABD与△FEC中，∠A=∠F，∠B=∠E，BD=EC，∴△ABD≌△FEC(A.A.S.)，∴∠ADB=∠FCE，∴AD∥CF.3.(2014·滨州中考)如图，已知正方形ABCD.把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.【解析】图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC.推理如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，∴DC=DC′=DA.∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形.∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠A