2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．若一个等差数列的前7项和为21，则该等差数列的第4项为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用等差中项的性质求解即可.【详解】因为第4项为该等差数列前7项的中间项，所以，故选：B.2．若，则（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由二项分布的方差公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：C.3．已知点P在圆上，则点P到x轴的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根据圆的一般方程求出圆心半径，再结合问题计算即可.【详解】圆,即圆

圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为.故选：B.4．某地区内猫的寿命超过12岁的概率为p，超过16岁的概率为0.15，且一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率为，从该地区内任选两只猫，则至少有一只寿命超过12岁的概率为（

）A．0.88 B．0.9 C．0.96 D．0.99【答案】D【分析】设A:猫的寿命超过12岁，B:猫的寿命超过16岁，根据一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率为，由求得p，再利用对立事件的概率求解.【详解】设A:猫的寿命超过12岁，B:猫的寿命超过16岁.依题意有，则一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率则.从该地区内任选两只猫，则至少有一只寿命超过12岁的概率为.故选：D5．如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】相邻问题利用捆绑法解决即可.【详解】将10颗小珠子看成一个整体,不同的串法有种.故选:B.6．

的展开式的常数项为（

）A．1 B．121 C．-119 D．-120【答案】C【分析】利用展开式的来源分析，有两种情况，由于有个括号，个括号中全提供常数，或个括号提供常数，剩下个括号各提供.【详解】因为所以的展开式的常数项为.故选：C7．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则，因为所以.是增函数，因为是奇函数，所以，，所以的解集为，即≥的解集为；故选：D.8．已知抛物线直线与交于，两点，直线与交于，两点，则||+2||的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设A，联立根据直线经过C的焦点，利用抛物线的定义分别得到和再利用基本不等式求解.【详解】解：设A，联立

得x²-4kx-4=0，则，因为直线经过C的焦点，所以，同理可得所以

+12，当且仅当时，等号成立.故选：A二、多选题9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷.该讲座结束后，共收回问卷100份.据统计，这100份问卷的得分X（满分为100分）服从正态分布，下列说法正确的是（

）附：若，则，，A．这100份问卷得分数据的平均数是80，标准差是5B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份C．D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】ABC【分析】根据正态分布的概念、性质、法则，即可判断各选项.【详解】由题意得，这100份问卷得分数据的平均数是80，标准差是5，A正确；，，所以这100份问卷中得分超过85分的约有16份，B正确；，C正确；同一份问卷发到不同社区，得到的数据不一定相同，D错误.故选：ABC.10．在三棱锥A-BCD中，，，两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（

）A． B．C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设，则，且，，所以，因为，且，所以，则，所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为故选：BC11．已知等比数列的前n项积为,且，则下列结论正确的是（

）A． B．的公比为C． D．【答案】ABD【分析】A选项，根据可求出；B选项，结合A选项和题干条件可得公比；C选项，注意到的前项大于，第项后均在中，，故取到最大值；D选项，利用等比数列的基本量进行证明.【详解】因为，所以，A正确；因为，解得，B正确；注意到，故时，；时，，所以或时，取到最大值，C错误；因，左边等于右边成立，D正确.故选：ABD12．已知函数，下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．的最大值为1C．当时，D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为【答案】BCD【分析】对于选项AB，通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正误；对选项C，通过构造函数，利用的单调性即可判断出选项C的正误；对于选项D，令，从而得到，再利用的单调性即可判断出选项D的正误.【详解】选项AB，易知的定义域为，，所以，当时，，即在区间上单调递增，当时，，即在区间上单调递减，则，故选项A错误，选项B正确；选项C，令，则，因为，所以，即在区间上单调递增，则，即，故选项C正确；选项D，令，由，得到，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，，当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于0，所以时，恒有，所以，如图1，当或时，无解，则无零点，不合题意；当时，时，，由，得到，即时，则有且只有一个零点，不合题意；当时，有两个解，因为，如图2，有且仅有两解，，无解，则有且两个零点，符合题意；所以恰有两个零点时，，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．三、填空题13．双曲线的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________.【答案】

（或）【分析】写出双曲线的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可.【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为，因为双曲线的焦点到渐近线的距离为5，所以，解得所以该双曲线的渐近线方程为y=故答案为：

（或）14．现有A，B两艘轮船同时到达码头等待卸货，A轮船至少需要3名卸货工人，B轮船至少需要4名卸货工人.若码头有8名工人可以挑选，且每名工人只能去一艘轮船卸货，则这两艘轮船卸货的人选共有__________种不同的选法.【答案】406【分析】若A轮船选择3名工人卸货，则B轮船分选择4名或5名，若A轮船选择4名工人卸货，则B轮船选择4名求解.【详解】解：若A轮船选择3名工人卸货，则有

种选法；若A轮船选择4名工人卸货，则有种选法.故这两艘轮船卸货的人选共有336+70=406种不同的选法.故答案为：40615．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为__________cm/s.【答案】4【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度.【详解】杯中水的体积为设在该过程中水面高度为h，则即令函数

则故在时刻，水面上升的瞬时速度为4cm/s.故答案为：4.16．已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为_____________.【答案】4【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，所以，由累加法得：所以因为，所以，令函数，则.当时，，而，所以在上单调递减.，故面积的最大值为4.故答案为：4.四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.男女合计喜爱看世界杯602080不喜爱看世界杯4080120合计100100200试根据小概率值=0.001的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附

其中【答案】认为喜爱观看世界杯与性别有关联【分析】由列联表，求得的值，再与临界值表对照下结论.【详解】解：假设为:喜爱观看世界杯与性别无关联.根据列表中的数据，经计算得到，因为

，根据小概率值=0.001的独立性检验，推断不成立，即认为喜爱观看世界杯与性别有关联.18．已知等差数列满足

.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为.证明.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列通项公式计算即可；（2）应用裂项相消法结合函数单调性证明可得.【详解】（1）设数列的公差为d，则

所以

故（2）

因为函数

在(0，+∞)上单调递增，所以

故19．国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%）.某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，.(1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，3【分析】（1）根据题意，利用独立事件的概率计算即可求解；（2）由题意可得X的可能取值为0，2，4，6，利用独立事件的概率计算求出对应的概率，列出X的分布列，求出即可.【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，则，所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；（2）X的可能取值为0，2，4，6，，，，，则X的分布列为X0246P所以.20．如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，.(1)若证明:DE⊥平面A₁B₁E；(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为求λ的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明A₁B₁⊥平面DCC₁F，得到DE⊥A₁B，再证明DE⊥平面A₁B₁E即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解.【详解】（1）证明：取A₁B₁的中点F，连接EF，DF，DC，FC₁.由题意，得所以DE²+EF²=DF²，则DE⊥EF.因为A₁B₁⊥C₁F，A₁B₁⊥DF，平面DCC₁F，所以A₁B₁⊥平面DCC₁F，又平面DCC₁F，所以DE⊥A₁B，因为A₁B₁∩EF=F，平面A₁B₁E，所以DE⊥平面A₁B₁E.（2）以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设设平面A₁B₁E的法向量为，则.取则设直线BC₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，则，化简得，解得或当时，点E与点C₁重合，此时λ=0，不符合题意.所以，即λ的值为21．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．(1)求椭圆C的方程．(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)定值为【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出；（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.【详解】（1）由题可知，

，解得，，故椭圆C的方程为；（2）直线l的方程为，联立方程组整理得，则，由题意，必须有，即必须满足，此时，．，整理得，因为l不经过点A，所以，所以，即，故k为定值，且该定值为；综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.【点睛】在计算过程中，是对直线l的k和m的一个约束，因为l必须经过椭圆C内部的点；对的因式分解比较难，不容易看出.22．已知函数.(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.【答案】(1)y=2x(2){1}【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【详解】（1）当时，，所以，又，所以，故的图像在点处的切线方程为，即.（2）解法一：因为恒成立，恒成立，令函数，则

①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，②当时，由可得

即令，则在区间上恒成立所以在区间上单调递增，又因为，所