杨辉三角形及组合数的性质课件

一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他性质：1.递推法2.通项公式法1.对称性2.增减性3.拆并性4.可和性§109杨辉三角形及组合数的性质1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏)2.杨辉三角与纵横图3.其他概率与统计简述总体样本抽样估计推断回归分析相关分析分布列及期望概率计数计数问题总述复杂的计数问题简单的计数问题排列组合型计数原理型十大题型两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法

不同元素——公式法

⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配分组1.相同元素的分组：2.不同元素的非均匀分组：3.不同元素的均匀分组：4.不同元素的混合分组：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀参分配常规法处理分配1.不同元素的分配：2.相同元素的分配(分组)：先分组后分配将n个相同元素分成k组，共有种分法注：将n个相同元素看成是n个“0”然后将k-1个隔板“1”插入n-1个空位即可0000……00所以称为0—1法；隔板法；挡板法0—1法含与不含：在与不在：至多与至少：

特殊优先直接法正难则反间接法定

序

1.倍缩(等概率)法：本质上、是不尽相异元素的全排列已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同不尽相异元素的全排列公式则这n个元素所有的排列数为：

称其为不尽相异元素的全排列……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)含与不含：在与不在：至多与至少：

特殊优先直接法正难则反间接法定

序

1.倍缩(等概率)法：本质上、是不尽相异元素的全排列2.逐个插空法：相邻问题捆绑法1.定义：n元中有m个元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可邻成大元次变个数全排列不邻(相离)问题插空法1.定义：n元中有m个元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相间问题位置法相邻相离综合体一般解法位置法错排1.定义：某排列所有元素不在原位置的排列2.解法：①背诵法：②递推法：a2＝1；a3＝2；a4＝9；a5＝44……

参新课课件§244的内容……条型域染色,相邻…32n1区域不能同色,则共有种染法如图,用k种颜色染n块区域，给涂圆中n块区域涂色相邻的区域不同色，则环型域染色①无心环型域:①公式法：②递推法：参新课课件附录37的内容……如图，用k种不同的颜色给涂圆中n块区域涂色相邻的区域不同色，则环型域染色①无心环型域:①公式法：②递推法：参新课课件附录37的内容……如图，用k种不同的颜色②有心环型域无心环型域先染心③其他型域：两理两数四优先……传球(踢毽子)问题注1：该类问题；解法甚多，可参新课件附录37的内容……注2：该类问题等价于无心环型域的染色问题可转换成：k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次传球后，球仍回到甲手中的传球方法数复杂的计数问题简单的计数问题排列组合型计数原理型十大题型计数问题与二项式定理组合数的性质及证法二项式定理通项公式展开式两理两数四原则十大题型递推法通项公式是重点前项为1赋值法①⑧③②④⑥⑤⑦

⑩

⑨

异底幂同底幂特殊幂幂的运算性质二项式定理的展开式前项后项“＋”相连展开共有n＋1三块组成每一项前降后升和为n注1：注2：小指数(n≤6)的展开式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a4b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b51510105111121133114641注3：………………………………注2：上下前后及某项知四有一两头同(中间差)二项式定理——通项公式注1：有关概念：②系数与二项式系数：①项与项数：类似于学号与同学的关系;容斥关系称为二项式系数一、求指定项：三、整除：二、求系数：1.要灵活选用展开式与通项公式：四、证明等式(不等式)：五、近似计算：2.要灵活选用先变形后展开：1.求指定项的系数：2.求系数和(差)：赋值法、导数法……等同于求指定项……二项式定理的应用欲证An能被x整除然后将(kx±b)n

展开整理成,先构造：An＝(kx±b)n

(kx±b)n＝x(……)+x0

的形式即可一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他性质：1.递推法2.通项公式法1.对称性2.增减性3.拆并性4.可和性§109杨辉三角形及组合数的性质1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏)2.杨辉三角与纵横图3.其他

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11一、杨辉三角形的构造：1.递推法：146411211331…………………………15101051

1615201561

172135352171

每行除两端1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和2.通项公式法中的上下标，类似于点的坐标……横看，斜看……如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第___行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3(1)(2004年上海春考）析：第n行从左到右的数分别为则解得n＝34即即二、杨辉三角形与组合数的性质：1.对称性2.增减性3.拆并性4.可和性左右对称抛物线左增右减中间大拆并要连同上大下＋1②①系数求和赋值法方法要熟正负1

②①2.将三角形内的某些数或“挖去”……如何利用杨辉三角形来推断有关性质？1.有横看，纵看，斜看；有连续看，隔行看，用其他数代换等手段变形后再观察其性质有局部看，整体看；立体看……

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1………………………………

1520101064①对称性114②增减性11左右对称抛物线左增右减中间大

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1520101064①对称性114②增减性11③拆并性拆并要连同上大下＋1③拆并性(2)(3)证明：法1：用阶乘式展开……法2：从n＋1个不同元素中取出r＋1个元素的其中含A元素的组合数是不含A元素的组合数是所以组合数是

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1………………………………

152010106411411拆并性的推广：

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1615201561172135352171

18285670562881193684126126843691………………

++++++④可和性(4)证明：系数求和赋值法方法要熟正负1

①②证明①：令a=b=1,代入即得证明②：令a=－b=1,代入得即可和性：(5)《选修2-3》课本P：35

练习1

②①解①：原式＝解②：原式＝一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他应用：1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏)①杨辉三角与高尔顿钉板(《选修2-3》P：70)高尔顿1822－1911，英国科学家，达尔文的表弟他是一位医生和人类学家……一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他应用：1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏)2.杨辉三角与纵横图AB(6)某城市的部分街道如图，纵横各有三条路从A走到B有多少种不同的走法？(只能由左到右，由上向下行走)析1：将上图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方然后在交叉点标上相应的杨辉三角数AB111112336析2：有趣的是B点所标的杨辉三角数6，正好是答案6析3：可见杨辉三角与纵横路线图有着天然的联系如图，纵横各分别为m、n条路AB杨辉三角与纵横图从A走到B的最短不同路径(只能由左到右，由上向下行走)有