自动控制系统的数学模型

自动控制系统的数学模型第一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一第一章总结1.自动控制系统定义2.开环和闭环控制区别3反馈（闭环）控制系统组成4控制系统要求及其关系第二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一第二章控制系统的数学模型本章重点掌握内容：1电路系统的微分方程和传递函数2结构图的化简3由信号流图得出系统的传递函数4典型环节及其阶跃信号响应第三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一控制系统时域：微分方程复域：传递函数频域：频率特性2.1引言知识体系描述分析时域中分析复域中分析频域中分析评价系统的性能:稳定性快速性(动态性能)准确性(稳态性能)校正系统第四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.1引言数学模型:描述系统各变量之间相互关系的数学表达式.微分方程与时域模型：描述各变量间最基本的数学工具就是微分方程。这种在时间域上建立的数学关系称为时域模型。复频域模型：对于线性定常系统，可以利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，将时域模型转换为复频域模型。无论是时域模型还是复频域模型，只要描述的是系统外部输入量和输出量之间的数学关系，就称其为输入-输出模型。本章重点：建立控制系统的微分方程模型传递函数模型结构图模型以及信号流图模型第五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.1引言几种模型间的关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=jj

=s系统第六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程线性定常系统为本书主要研究的系统。线性系统：满足线性叠加原理。直观地看：系统输入值与输出值的函数波形不变化。本节要点：线性元件的微分方程，非线性微分方程的线性化，线性系统微分方程的编写线性叠加原理输入激励：u1(t),u2(t),对应输出响应：y1(t),y2(t)有：若输入u1(t)+u2(t),则输出响应：y1(t)+y2(t)第七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程列写物理系统的微分方程步骤：(1)定义系统及其组成元件，确定各元件的输入量和输出量，确定系统的输入量、中间变量和输出量。(2)确定必要的假设条件。(3)根据系统自身的物理规律列写各组成元件的原始方程。(4)消去中间变量建立系统描述输出量与输入量之间关系的微分方程。(5)若是线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列输出量有关各项=〉方程左边输入量有关各项=〉方程右边若为非线性方程，线性化处理。第八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一输入输出例2-1列写RLC串联电路的微分方程，输入ui(t)，输出u0(t)消去i(t)，得到：RLC串联电路物理规律：基尔霍夫定律电压定律能量守恒定律第九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一弹簧-质量-阻尼器系统例2-2列写如图所示弹簧、质量、阻尼器系统的微分方程，输入F(t)

，输出y(t)。物理规律：牛顿第二定理第十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一负载的转动惯量黏性阻尼系数扭转弹性系数输出输入机械转动系统例2-3考虑右图的机械传动系统，输入为外加转矩M(t)

，输出为转角(t)。物理规律：转动系统牛顿定律第十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一液位系统例2-5考虑右图的液位系统，贮罐排放泵排放流量Q0为恒值，输入进液量Qi(t)

，输出h(t)

。物理规律：流量平衡关系流量=横截面积x高度的变化量正位移泵输出量恒定，与罐内液面高度无关。Q0为常量。第十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程

线性与非线性特性：绝大多数物理系统在某些工作范围内为线性特性。当工作范围扩大或不加限制时，系统都会呈现为非线性特性，数学模型为非线性微分方程。如：弹簧受力过大、电阻承受电压或电流过大。非线性微分方程的线性化：增量化的微分方程在工作点附近足够小的范围内考虑输入增量和输出增量间的变化关系，可用在工作点附近用过该点的小范围的切线来进行研究。2.2.3非线性微分方程的线性化第十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程线性化：泰勒级数展开，要求：工作点附近连续可微第十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程在大多数情况下，控制系统在工作点附近非线性程度是不严重，因此，这种工作点附近的小偏差线性化方法对于基于偏差产生控制作用的反馈控制系统来说是可行的。注意：工作点附近连续可微工作点的非线性严重程度影响效果工作点不同，K值不同多变量方法类似。第十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程横截面积为C的贮罐液位系统流入量：Qi(t),流出量：Q0(t)

液位高度：h(t).

液体流量变化的平衡关系得：由流体力学可知（是出料阀的节流系数，S为出料阀流通面积）第十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.2系统的微分方程非线性的部分：设工作在(S0,h0)：第十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一编写原则：分解：先从工作原理入手划分控制系统的各组成环节，并列写它们的原始微分方程；若原始方程为非线性方程，则需要线性化处理分为各个环节，先写各环节的微分方程（变复杂为简单）。合并：消去中间变量合并方程，按一定的形式（如标准形式）整理得出描述控制系统被控输出量与参考输入量和扰动输入量之间动态特性的线性微分方程。以转速自动控制系统为例。2.2系统的微分方程2.2.4控制系统的微分方程第十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一参考输入：ur输出量：扰动量：Mc测量反馈：Uf转速控制系统第十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一转速控制系统（1）比较元件（2）控制器运算放大器I：运算放大器II：（3）执行机构（功率放大器）第二十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一（4）被控对象（电动机）（5）测量装置消去中间变量，合并得：转速控制系统第二十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一转速控制系统若Mc(t)为常量：若ur(t)为常量：第二十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数

“三域”模型及其相互关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=jj

=s系统第二十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数2.3.1线性系统传递函数的概念和定义第二十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一系统传递函数定义：在零初始条件下，系统输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。2.3传递函数零初始条件下，各阶导数在零时刻都为0,有：第二十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数说明：（1）传递函数是对线性定常微分方程求拉普拉斯变换得到的，因此，传递函数表达式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的系数相对应，取决于系统的结构和参数。（2）若传递函数的分母多项式中的最高次为n，则称系统为n阶系统。实际物理系统不可避免的含有惯性元件，并受到能源功率的限制，系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大或等于分子多项式的阶数m，即nm。换句话说，实际系统的传递函数一定是真有理函数。（3）一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单输入、单输出的关系。对于多输入、多输出情况，一般需要采用传递矩阵来表示。第二十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数零、极点表示的形式

2.3.2传递函数的常用表现形式第二十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数时间常数表示的形式第二十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数若考虑有v个等于0的极点情况，并划分实数零、极点和共轭复数零、极点时，便于确定随动系统的稳态误差系数，也便于在求解系统的响应时，研究引起振荡响应的共轭极点对。第二十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数2.3.3典型输入信号及其拉普拉斯变换单位阶跃函数单位斜坡函数第三十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数单位抛物线函数单位脉冲函数，-函数-函数的强度，也称单位脉冲函数的冲量定义为:第三十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数单位脉冲响应函数:线性定常系统在单位脉冲输入信号激励下的输出响应，通常用g(t)表示。2.3.4单位脉冲响应函数第三十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数单位脉冲相应函数g(t)与传递函数的关系：用途：单位脉冲响应是线性定常系统的数学模型；基于卷积定理来描述系统输出的时域函数；第三十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一典型环节：比例环节积分环节惯性环节微分环节振荡环节延迟环节2.3传递函数2.3.6典型环节及其传递函数第三十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一特点：输出量按一定比例复现输入量，成正比。线性方程：y(t)=Ku(t)，K为比例系数或者传递系数。传递函数：比例环节K=R2/R1第三十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一特点：输出量的变化速度和输入量成正比。积分方程：传递函数：（K为比例系数，T为时间常数）积分环节第三十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。传递函数：惯性环节微分方程：第三十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一特点：含两个独立的储能元件，当输入量变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。微分方程：其中，—阻尼比0<<1，T-振荡环节的时间常数。传递函数：

振荡环节另一种常见形式：第三十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一振荡环节第三十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一振荡环节消去中间变量i(t)得到运动方程传递函数：第四十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一特点:输出量与输入量的导数成正比微分环节在实际系统或元件中的惯性是普遍存在的，理想的纯微分关系是很难实现的。在实际工作中，微分环节可采用近似的实现方法。第四十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一特点：输出量经一段延时后，完全复现输入信号，即:微分方程：延时环节y(t)=u(t)，为常延迟时间(2-124)系统中的信号传递和物流输送等都需要花时间，因此，时延是普遍存在的。流体输送常时延效果第四十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数例2-12，分别求理想和实际的传递函数1）对于理想情况下，设运算放大器的放大倍数K为无穷大2）实际情况下，K不为无穷大，B点的电压不为零，第四十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.3传递函数反相单位阶跃响应：说明：电路中，利用复数阻抗可直接写出传递函数：R,Ls,1/Cs第四十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一方块图+传递函数=函数方块图或动态结构图，简称结构图结构图：组成系统的各环节用方块表示，方块内标出其传递函数，输入输出量用拉氏变换后的量表示。组成：四要素等效变换：表2-1结构图是一种图形化了的数学模型。它不但能清楚地表明系统的结构组成和信号的传递方向，而且能清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系，是控制理论中得到广泛应用的数学模型。2.4结构图第四十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一1.结构图组成的四要素

(1)函数方块

(2)信号线

(3)分支点

(4)相加点(a)函数方块(b)信号线(c)分支点(d)相加点2.4结构图2.4.1结构图的组成与建立第四十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图2.函数方块的三种连接结构(1)串联；(2)并联；(3)反馈第四十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图3、系统结构图的建立

（1）建立系统各组成元件或环节的函数方块；（2）按照信号传递顺序依次将各元件或环节的函数方块连接起来，并将信号变量的拉普拉斯变换标在信号线附近；（3）按需要添加相加点和形成分支点，最后，完成整个系统的结构图。例2-9：求转速控制系统的结构图第四十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一

第四十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一说明：1)结构图变换相当于在结构图上进行数学方程的代数运算。2)结构图变换必须遵循的原则是：

变换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变（信号守恒）。因此，结构图变换是一种等效变换。3）结构图等效变换的最大好处是不必关注数学运算关系，而只是根据直观的图形关系在图上操作即可。为了做到这一点，必须熟悉常用的结构图基本变换，见表2-1所示。2.4结构图2.4.2结构图的等效变换第五十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一法则一和法则二：2.4结构图（表2-1）法则三和法则四：相加点的移动第五十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一法则五和法则六：信号分支点的移动（信号Y不变化）2.4结构图（表2-1）法则七：相邻分支点与相加点的移动（信号Z不变化）第五十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图（表2-1）法则八：并联（信号Y不变化）：法则九：反馈1（信号Y不变化）：法则十：反馈2（信号Y不变化）：第五十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图总结下列几条结构图变换规则（信号不变化原理）：1）各支路信号相加或相减与加减的次序无关；2）在信号线路上引出支路时，与引出的次序无关；3）信号线路中的负号可在线路上前后移动，并可越过函数方块，但不能越过相加点和分支点；4）在环节前面加入信号，可变换成在环节后面加入；5）在环节后面加入信号，可变换成在环节前面送入。第五十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图例2-14利用结构图变换求解传递函数Y(s)/R(s)。第五十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.4结构图第五十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一结构图简化需注意以下两点：①结构图简化的关健是解除环路与环路的交叉,应设法使其分开,或形成大环套小环的形式;②解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，相邻的相加点可交换，相邻的分支点也可交换。但当分支点和相加点相邻时，它们不能简单交换。2.4结构图第五十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一信号流图的定义：由若干节点以及连接这些节点的有向线段构成的图形，是一组信号（变量）线性关系的图解表示。与结构图一样，信号流图也是用图形表示的系统数学模型。信号流图的优点：既能方便地进行代数运算，又能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。（对复杂系统而言尤为突出）

2.5信号流图第五十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图节点：节点代表系统中的一个信号（变量），其符号为“o”。支路：支路是连接两个节点的有向线段，其中的箭头表示信号的传送方向，用符号“”表示。传输：两个节点之间的增益叫传输，增益即为两个节点所代表的两个信号之比，支路的传输标在支路旁边。GXY单元结构图2.5.1信号流图及有关术语第五十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图除了基本三要素外，信号流图的有关术语还有：1）输入节点或源点：只有输出支路的节点，叫输入节点或源点，一般置于信号流图的左面，图中的x1、x4。2）输出节点或阱点：只有输入支路的节点，叫输出节点或阱点。一般放在信号流图的右面，x5

3）混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点称为混合节点，x2，x3第六十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图通路：沿支路箭头的方向穿过各相连支路的途径叫通路，如图中x1x2x3x5。开通路：如果通路与任一节点相交不多于一次就叫开通路，如图中x4x3x5

。回路：如果通路的起点就是通路的终点，且与其它节点相交不多于一次的闭合通路，叫回路，如图中x2x3x2

。第六十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图前向通路：输入节点到输出节点且通过其他节点不多于一次的通路，称为前向通路，如图中x1x2x3x5

。不接触回路：没有任何公共节点的回路，称为不接触回路或互不接触回路，图中只有一个回路x2x3x2

，是不接触回路的一个特例。第六十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图（表2-2）1．串联支路的合并运算2．并联支路的合并运算3．回路的消除运算2.5.2信号流图的运算第六十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图（表2-2）4．混合节点的消除运算第六十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图（表2-3）信号流图的节点：传递函数中的信号传输：传递函数。2.5.3信号流图与结构图的对应关系第六十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图（表2-3）第六十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图Pk—从输入节点与输出节点的第k条前向通道的传输；

—信号流图的特征式。k—在中除去所有与第k条前向通路相接触的回路增益项后剩下的余因子。

—对输入节点与输出节点间所有可能的k条通路求和。2.5.4梅逊公式及其应用第六十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图最常遇见的情况是系统的所有反馈回路都互相接触，而所有前向通路也都与所有反馈回路接触,常用公式:第六十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.5信号流图例2-15用梅逊公式证明例2-14中简化后得到的系统传递函数。该系统有1条前向通路和3个回路，它们的增益分别为第六十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期一例2-16:求总增益P解:

2.5信号流图注意到前向通路P1和P2与所有回路都接触，而前向通路P3除了不与L1接触外，与其他两个回路都接触。因此有第七十页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真2.7.1输入传递函数和化简结构图输入传递函数：conv(),tf(),zpk()；

用于传递函数输出：printsys().

用于结构图化简：series(),parallel(),feedback()例2-17对传递函数：

（1）输入两个传递函数，求零极点形式；

（2）分别串联和并联两个传递函数；

（3）将串联和并联获得的两个传函分别放在前向通络和反馈通路形成负反馈。第七十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真>>num1=[7,1];%输入G1分子系数>>den1=[1,3,5];%输入G1分母系数>>num2=[1];%输入G2分子系数>>den2=conv([1,2,3],[1,1]);

%输入两个多项式因子的乘积作为G2分母系数>>G1=tf(num1,den1);>>G2=tf(num2,den2);%输入两个传递函数第七十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真>>Gzp1=zpk(G1);Gzp2=zpk(G2);

%求零极点形式>>[nums,dens]=series(num1,den1,num2,den2);

%将两个传递函数串联方法一>>Gs=G1*G2;

%将两个传递函数串联方法二第七十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真>>[nump,denp]=parallel(num1,den1,num2,den2);

%将两个传递函数并联方法一>>Gp=G1+G2;

%将两个传递函数并联方法二>>Gf=feedack(G1,G2,-1);

%反馈连接,负反馈为-1，正反馈为+1第七十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真2.7.2求解系统的输出响应（1）根据系统输出响应函数方程直接计算响应值，然后调用绘图指令绘制响应结果曲线；（2）可直接调用求解相应输入激励下的系统输出响应的函数，如：impulse(),step()和lsim()。绘图的目的就是显示计算和分析结果。第七十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真例2-18考虑二阶系统的拉普拉斯变换为：其中，n=1。求：系统分别在=0,0.2,0.6,1.2时的单位脉冲响应和单位阶跃响应。1）在求解系统的单位脉冲响应时，先求得单位脉冲响应表达式，然后调用绘图指令绘制响应结果曲线。第七十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真根据（2.156）建立一个M文件ex2_18.m。运行结果如图2-39所示：第七十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期一2.7利用MATLAB的建模和仿真2）直接调用求解系统单位阶跃响的函数step()在屏幕上直接输入代码：clear %清除变量clc %清屏t=0:0.02:30; %给出绘图时刻zeta=[0,0.2,0.6,1