自动控制原理第二章数模

自动控制原理第二章数模1第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.1引言

定义：描述系统中输入变量、输出变量以及内部变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。

建立数学模型的意义：数学模型是分析、设计自动控制系统的基础，因此建立合理的数学模型是控制系统分析中最重要的一项工作。什么是数学模型?第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

2.1.1数学模型的特点

1)相似性，不同原理的系统可能具有相同的运动规律，相似系统可以采用相同的研究方法。

2)简化性和准确性

2.1.2数学模型的分类

静态模型——描述静态条件（平衡状态）下变量之间的代数方程。动态模型——描述动态条件下，各变量之间关系的数学模型。例如：微分方程、传递函数、结构图等等。（包含导数项）

第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

自动控制理论中用到的数学模型时域：微分方程、差分方程、状态空间表达式；复数域：传递函数、结构图；频率域：频率特性。第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.1.3建模途径和原则建立数学模型的两大途径

(1)机理分析法，通过对系统各部分所遵循的规律进行分析，确定模型的结构和参数。所得模型称为机理模型（解析模型）。

(2)测试法（辨识法），人为给系统施加某种测试信号并记录其输出响应，根据大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。所得模型称为经验模型。第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一建立数学模型的几点要求：

(1)全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化。

(2)根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。

(3)在建立数学模型时，必须在模型的简化性与分析结果的精确性之间做出折中考虑。第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.2系统微分方程的建立2.2.1列写微分方程式的一般步骤(1)确定系统的输入量和输出量；(2)根据物理或化学定律，列写出各元件的原始方程。(3)

列出原始方程式中各中间变量与其它因素的关系式。(4)将上述关系式代入原始方程式，消去中间变量，就得系统的输入-输出关系方程式，并将方程式化成标准形。

第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

2.2.2机械系统举例

例2-1

弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。

KmfF(t)y(t)令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.2.3电路系统举例

例2-2

电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。

解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。

RCur(t)

uc(t)Li(t)第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一（6）整理成标准形，令T1

=L/R，T2=RC，则方程化为第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

列写微分方程式时，一般应注意：

(1)输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

(2)左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；

(3)方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

(4)系统中独立储能元件的个数=微分方程的阶数。第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

2.2.4线性系统线性定常系统的微分方程一般具有以下形式：式中，y(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.2.5

电枢控制的直流电动机MRauaLaiaif=常数Ea

直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia

，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD

，从而使电枢旋转，拖动负载运动。

第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一（3）列写原始方程式

电枢回路方程：电动机轴上机械运动方程：（4）列写辅助方程

Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。

MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一消去中间变量，得第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.2.6复杂系统微分方程的列写画出系统的方框图，标定各方框的输入量和输出量，确定系统给输入量和被控量。列写各方框内元件的微分方程，并按相互连接关系补充关系方程，最终使方程的个数与所选变量数相等。消去中间变量，得到系统的微分方程式。第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一定义：相似系统—任何系统，只要具有相同的微分方程形式，就称为相似系统。相似系统的概念不仅为理论研究提供了依据，而且在实践中也是很有用的，例如模拟技术。第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.3非线性特性的线性化控制系统可分为三种：1.线性系统：输入—输出特性为直线；有成熟理论。2.拟（近似）线性系统：在一定条件（在某工作点附近），可近似线性化，两种方法：

(1)小偏差法（增量法）：△x→△y；即在工作点处用斜率直线代替非直线；

(2)用代数方法：Taylor（泰勒）级数展开法，去掉2次以上项，近似。3.非线性系统第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。所以常常利用线性化方法来简化所研究的系统。切线法（小偏差法），该方法适用于具有连续变化的非线性特性函数（非本质非线性特性），其实质是在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。2.3.1小偏差线性化的概念第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.3.2线性化的意义和方法（1）单变量系统

对连续的非线性系统y=f(x),在工作点y0=f(x0)附近展成Talor级数:线性化的增量式方程:第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一注意:

(1)线性化方程中的系数k与工作点有关。

(2)线性化模型在小偏差情况下成立。

(3)非线性函数需满足连续可导条件。

(4)线性化后得到的是增量化的线性方程。

第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一小结微分方程的建立

(1)根据物理或化学定律，列写出各元件的原始方程。

(2)列出原始方程式中各中间变量与其它因素的关系式。

(3)将上述关系式代入原始方程式，消去中间变量，就得系统的输入-输出关系方程式。

(4)若存在非线性特性，则可根据小偏差法进行近似线性化，最后得到整个系统以偏量表示的线性化方程式。第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一微分方程的特点

(1)是在时域描述系统动态性能的数学模型。

(2)在给定输入作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

(3)系统结构改变或某个参数变化时，需要重新列写并求解微分方程，十分复杂费时，不便于对系统的分析、设计。第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2-4线性系统的传递函数2.4.1.线性常系数微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。写出电路运动方程

电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换RC

uruc

例2-7

图2-16所示的RC电路，当开关S突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。S第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，

得式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)=0时的响应，故称零状态响应；第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称零输入响应。第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.4.1.线性常系数微分方程的求解

用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：

1)对微分方程两边进行拉氏变换。

2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。优点:1)求解简单，并且可得到完整解；

2)可以在S域研究解的特征、终值等问题。第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.4.2传递函数的定义

定义：在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++bm1s

+

bm

)R(s)求出传递函数为2.4.3传递函数的性质

(1)传递函数是一种数模，与系统的微分方程相对应。

(2)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

(3)传递函数只适用于线性定常系统。

第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一(4)零初始条件有两方面的含义：

(5)非零初始条件下的解，可用叠加原理处理。

(6)传递函数一般为复变量s的有理分式，分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n

m。并且所有的系数均为实数。

(7)传递函数与脉冲响应函数一一对应。第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一G(s)的两种标准形式①零、极点表达式

第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一②时间常数表达式③不同形式间的变换Ti=-1/pi,τj=-1/zj

第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.4.4传递函数求取方法（1）首先求出系统的微分方程，在零初始条件下对微分方程两边进行拉氏变换，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比就是系统的传递函数；（2）列写控制系统输入输出及内部各中间变量的微分方程组，将微分方程组经拉氏变换化为代数方程组，消去中间变量得到系统的传递函数；（3）对于电网络系统，可以直接利用阻抗法，根据电网络的约束关系列写代数方程，消去中间变量得到系统的传递函数。

第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一例图示为两级RC电路串联组成的无源滤波网络，试列写以u(t)为输入，uc(t)为输出的网络传递函数Uc(s)/U(s)。解：根据基尔霍夫定律和电容自身的约束关系可得在零初始条件下，对上面四个方程进行拉氏变换，得到一组代数方程第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一消去中间变量I1(s)、I2(s)和U1(s)可得系统的输入输出关系为系统传递函数为

例有源网络（比例积分PI）如图(a)所示，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。

(a)时域模型(b)s域模型第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一解：首先将有源PI网络的时域模型如图(a)所示化为s域模型如图(b)所示，根据s域模型可知系统的传递函数为2.对于复杂的系统，可以把其看作是由若干基本部件组合构成的，这些基本部件又称为典型环节。掌握了典型环节的传递函数，就可以方便地组合成复杂的控制系统第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

自动控制系统是由若干元件组成的，从结构及作用原理上来看，有各种不同的元件。但从动态性能或数学模型来看，却可以分成为数不多的基本环节，这就是典型环节。一般认为典型环节有6种，分述如下：

1.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）运动方程式c(t)=K

r(t)

传递函数G(s)=K

单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。

2-5典型环节及其传递函数r(t)1c(t)t0K第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2.惯性环节微分方程式：传递函数：式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=1/T，无零点。

j

01/T单位阶跃响应:第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一0tc(t)3.积分环节微分方程式：0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T传递函数：阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t01T

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。

第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

c(t)=T(t)故微分环节的阶跃响应为一个脉冲信号。

理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性：传递函数为：G(s)=Ts单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T4.微分环节微分方程式为：第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一传递函数为：或式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，ξ

为阻尼比，n为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：5.振荡环节微分方程式为：第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01ns1s2

jd

ξn

j

0第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期一6.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：G(s)=es单位阶跃响应：c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2-6系统的结构图2.6.1结构图的定义及基本组成

1.结构图的定义定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图来描述其结构和作用原理，如下图放大器电动机测速机urufuae+-第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期一Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+

把各元件的传递函数代入方框中去，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

2.结构图的基本组成

1）画图的4种基本元素如下：

信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。r(t),R(s)

分支点

表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

方框表示对信号进行的数学运算。方框中写入元部件的传递函数。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，可省略不写，“”号表示相减。第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期一2）结构图的基本作用：

(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。

(b)信号的传递严格遵照单向性原则，输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

(c)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。2.6.2结构图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方程，要考虑相互间负载效应。

(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并将每个变换后的方程，分别以一个方框的形式将因果关系第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期一表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。

例2-10

画出下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2

解：(1)列写各元件的原始方程式

i第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期一(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)…1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)U2(s)1Cs第五十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期一G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得

C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)

2.6.3结构图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)串联环节的等效传递函数为各串联环节传递函数的乘积。第五十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期一

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s