第9章-光学系统的像差课件

第九

章光学系统的像差轴上点像差彗差像散和像面弯曲畸变正弦差位置色差倍率色差应用光学五、单个折射球面的球差正负和物体位置的关系二、球差的性质及表达式

一、球差的定义及其计算

三、光学系统的球差分布公式

四、单个折射球面的球差分布系数，不晕点9.1轴上点像差一、球差的定义及其计算

1、轴向像差：由轴上点发出的同心光束，经光学系统各个折射面折射后，不同孔径角的交线交于不同点，相对于理想像点的位置有不同的偏离，这就是球面像差。实际像点与理想像点的沿轴距离9.1轴上点像差

2、垂轴像差：由于球差的存在，在高斯像面上的像点已不是一个点，而是一个圆形的弥散斑。二、球差的性质及表达式

9.1轴上点像差一般以（1，0.85，0.707，0.5，0.3，0）为典型光线作图，孔径边缘上的光为边光，位于某一个孔径带的光为带光，当用一个屏上所得到的像为不同大小的弥散斑，有一个最小弥散斑的位置，但无论如何在屏上任何位置都不能成为一个几何点。相对孔径例边光带光9.1轴上点像差球差是入射高度h(u)的函数球差具有对称性球差与视场无关单正透镜产生负球差，单负透镜产生正球差

从图中可以看出球差的性质如下：“消球差”：使，注意由于是不同的，因此不能使所有的孔径（带）球差为零，一般只能使一个孔径（带）球差为零，当边缘孔径的球差不为零时，光学系统有负值球差存在称为“校正不足”，有正球差存在称为“校正过头”。

9.1轴上点像差球差表达式（级数展开的方法）

初级像差二级像差三级像差高级像差球差表达式也可以采用相对孔径展开

9.1轴上点像差三、光学系统的球差分布公式

1、原理分析含义：包含了前面几个面的球差贡献及该折射面本身所产生的球差9.1轴上点像差其中：为转面倍率2、球差分布公式克莱伯公式：单个折射球面的球差表示式为：整个系统的球差表示式为：或：9.1轴上点像差四、单个折射球面的球差分布系数，不晕点经过推导，可得到单个折射球面的球差分布系数令上式为零：可以得到一下三个无球差点第一：L=0,此时L’必为零，故物点、像点和顶点重合。第二：sinI-sinI’=0,这个条件只能在I’=I=0时才能满足，相当于光线与球面法线重合，物点像点和球面中心重合，此时L=L’=r；第三：sinI’-sinU=0，则I’=U;PA校对法9.1轴上点像差此时，有得由得结论：1）由L’和L的关系可知，它们都在球心的同侧，或是实物成虚像，或是虚物成实像。9.1轴上点像差

2）由L’和L的关系可知，可得：

则表明：这一对共轭点无论U多大，比值始终保持常数，故不产生球差，这一对共轭点称为不晕点或者叫齐明点五、单个折射球面的球差正负和物体位置的关系上面对单个折射球面给出了三对无球差共轭点的位置，这样就可以把由负无穷到正无穷的整个空间分为四个以无球差点为界的区间9.1轴上点像差1）当r>0时，PA>0和n’>n时，可知：第一个因子LsinU，因为PA>0,根据PAcos(U-I)/2可知，无论物点位于哪个区间，LsinU恒为正值。第二个因子i,与符号sinI同号，其符号随物体的区间而异，在第二个区间(0<L<r)为负，其他区间为正。（根据符号规则判定）第三个因子sinI-sinI’。当sinI>sinI’,光线起会聚作用，反之sinI<sinI’,光线起发散作用9.1轴上点像差

因为n’>n,则恒为正，故sinI-sinI’的符号与i相同，即物点位于第二区间时sinI-sinI’恒为负，其他区间为正值。第四个因子sinI’-sinU可表示为9.1轴上点像差2）当r>0时，n’<n时，只有因子sinI-sinI’=sinI((n’-n)/n’)改变了符号，此时会聚面变成了发散面。其结果也可见于上表。3）当r<0，四个区间的各个因子的讨论如前述方法现将结果列于表9.59.1轴上点像差4）根据表9.4及9.5可以得到如下结论：a、正常区除由不晕点到球心这一区间（r>0,r<L<(n’+n)r/n）或（r<0,(n’+n)r/n<L<r

）外，球差符号恒与sinI-sinI’符号相反，即折射面对光束起会聚作用(sinI-sinI’>0)产生负球差，起发散作用时(sinI-sinI’<0)产生正球差。b、反常区由球心到不晕点的这个区间内，会聚时产生正球差，发散时产生负球差，故这一区间称为反常区。c、在区间0<L<r，会聚面对光束起发散作用，产生正球差，发散面对光束起会聚作用，产生负球差，这个由顶点到球心的区域称为半反常区。9.1轴上点像差9.1轴上点像差举例讨论：n=1,n’=1.5时，r=10的半反常区和反常区间。已知会聚折射球面的一对齐明点相距30mm，球面两边介质的折射率分别为n=1.5和n’=1，求此折射球面的曲率半径及齐明点的位置和放大率。作业题一：9.1轴上点像差一、彗差及其计算轴外点宽光束的像差之一宽光束：物点发出的入瞳内与主光线对称的垂直距离最远的那对光线。细光束：当入瞳越来越小，以至于接近于零的时候，此时光线对的性质与主光线的性质完全一致。光线对：与主光线对称的一对光线称为光线对。9.2彗差细光束：T——T0，在主光线上，不在辅轴上

S——S0，在主光线与辅轴的交点上。子午彗差的示意图如下宽光束：上下光线交点T，不在主光线上，不在辅轴上前后光线交点S，不在主光线上，但在辅轴上。9.2彗差子午彗差的表达式其中：上下光线在高斯面上交点高度的平均值主光线在高斯像面上的交点高度。B'z9.2彗差子午彗差：子午光束经折射面折射后上下光线的交点在垂直于光轴方向和主光线的偏离为子午彗差。KT’子午场曲：在沿着光轴方向和高斯面之间的偏离XT’为子午场曲。从能量传输的角度来考虑。主光线和像平面交点附近光能量集中，故B’点最亮，而上下光线是边缘光线，它们的交点BT’离开了B’，能量扩散，故相对较暗，形成了彗星状的弥散斑。彗差的危害：使物面上的轴外点成像为彗星状的弥散斑，破坏了轴外视场成像的清晰度。9.2彗差注意：彗差与孔径和视场都有关。二、光学系统结构形式对彗差的影响1、彗差与光阑位置有关。

1）当上下光线的交点在主光线的下方，彗差为负。

2）当入瞳中心移到与球心重合，则主光线与辅轴重合，则彗差为零。

3）继续移动入瞳位置，则上下光线交点在主光线的上方，彗差为正。2、彗差与透镜的形状有关。

1）正弯月型透镜，产生正彗差

2）如将其反向放置，产生负彗差。故两透镜产生相反符号的彗差时可以相互抵消。9.2彗差三、弧矢彗差9.2彗差弧矢彗差：前后光线的在子午面内交点Bs’沿垂直于光轴方向主光线的距离称为弧矢彗差，用Ks’表示弧矢场曲：Bs’在沿着光轴方向和高斯面之间的偏离XT’为弧矢场曲。二、场曲（像面弯曲）

一、像散

三、宽光束的像散和场曲

9.3像散和像面弯曲一、像散-一般指细光束

入瞳光学系统光屏9.3像散和像面弯曲1、像散：两条短线之间沿着光束轴（主光线）的方向的距离Bt’Bs’是光学系统的像散。短线Bt’称为轴外物点B的子午像，短线Bs’为轴外物点B的弧矢像，像散值

A’9.3像散和像面弯曲式中，x为主光线在最后一面上投射点的矢高；Uz’是光学系统像空间主光线和光轴的夹角。像散值的正负：当子午像点Bt’比弧矢像点Bs’更远离高斯像面，即Lt’<Ls’，像散为负值，反之为正值。像散值的校正：是使某一视场（一般是0.707视场）像散为零。9.3像散和像面弯曲2、像散的观察，“十”字图案的像散像

3、像散的产生原因：

是由于通过光学系统后的光束对应的波面为非球面波，它在两个主截面中的曲率不同，所以聚焦为子午像点和弧矢像点。对于细光束，存在像散差，不存在彗差。

9.3像散和像面弯曲二、场曲（像面弯曲）

1、场曲的概念

不同视场的细光束有不同的像散值，一个平面通过有像散的光学系统必然形成两个像面，因轴上点没有像散，所以两个像面必定同时相切于理想像面与光轴的交点上。子午像面：由子午像点构成的像面称为子午像面。弧矢像面：由弧矢像点构成的像面称为弧矢像面。子午场曲：由某一视场的子午像点相对于高斯面的距离XT’。弧矢场曲：由某一视场的弧矢像点相对于高斯面的距离Xs’。对称于光轴的旋转曲面9.3像散和像面弯曲子午面主光线弧矢面B弧矢面子午面z入瞳RT9.3像散和像面弯曲计算公式

像散和场曲的关系为

像散为零的时候，场曲是否存在？

若某视场像散为零，则细光束交点T0与S0重合，但它们与高斯像面不重合，仍存在场曲。故像散和场曲的关系为：有像散一定有场曲，但像散为0时场曲不为零。

9.3像散和像面弯曲匹兹万像面

如下图，设球面物体Q与折射球面R同心。由分析可知，垂轴平面上的物体不可能成像在理想的垂轴像平面上，这种偏离现象随视场的增大而逐渐加大，使得垂直于光轴的平面物体经球面成像后变得弯曲。这种弯曲并没有考虑像散的影响，相当于像散为0时的情况，我们把这种没有像散时的像面弯曲称为匹兹万场曲，用P′BAB1CA'B'B'1B'09.3像散和像面弯曲9.3像散和像面弯曲前提条件：1、球面物，折射面同心；

2、有一无限小光阑，使物面上各点都以无限细光束成像，不存在球差和彗差。原因？故成像平面应以CA’为半径的一个球面。对平面AB，根据其成像特性分析可知，曲面比上述曲面更弯曲，但是能产生清晰像，故这个曲面称为匹兹万曲面。单个折射球面匹兹万像面弯曲表示式

9.3像散和像面弯曲光学系统存在场曲时的成像情况

聚焦中心聚焦边缘9.3像散和像面弯曲光学系统存在场曲时的成像情况

只校正了像散既校正了像散，又校正了场曲9.3像散和像面弯曲三、宽光束的像散和场曲

Xt’:宽光束上下光线经过光学系统折射后的交点Bt’到高斯像面的距离称之为宽光束子午场曲。

Xs’:宽光束前后光线经过光学系统折射后的交点Bs’到高斯像面的距离称之为宽光束弧矢场曲。宽光束的像散9.3像散和像面弯曲一、光学系统的畸变

畸变：由于像差的存在，使成像发生变形的缺陷称为畸变，但不影响像的清晰度。理想光学系统中，物像共轭面上的垂轴放大率为常数，所以像与物总是相似的。但在实际光学系统中，只有在近轴区域才有这样的性质。一般情况下，一对共轭面上的放大率并不是常数，随视场的增大而变化，即轴上物点与视场边缘具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，这种像对物的变形像差我们称为畸变产生畸变的原因：主光线的球差随视场角的改变而不同，因而在一对共轭的物像平面上，放大率随视场变化，不再是常数。畸变的表达式

9.4畸变Yz’表示实际像高,y’是理想像高在下图中，B点是平面物体的任一轴外点，过B点所作的辅助光轴与像面交于B0′，B0′点即为B点的理想像点。B点以细光束成像时交于辅轴上的B′点，B′B0′为B点的匹兹万场曲。当B点以主光线成像时，交辅轴于B1′点，B1′B′为B点的球差，这是因为由B点发出的主光线相对于辅轴有一定孔径角，将产生球差。所以，主光线最终经B1′点交像面于BZ′点，偏离了理想像点B0′，产生畸变。再看看位于光轴上的A点，主光线与光轴重合，主光线的像点与理想像点在像面的中心点A′重合，因此轴上点不存在畸变。

9.4畸变BA入瞳CB'y'zA'B'0y'主光线畸变

由以上分析可以看出，畸变的形成既有场曲的因素也有球差的因素。

B1’9.4畸变(a)枕形(b)桶形正畸变：枕形畸变，其主光线和高斯像面交点的高度随视场的增大而大于理想像高，即为正畸变负畸变：桶形畸变，其主光线和高斯像面交点的高度随视场的增大而小于理想像高，即为负畸变注意：畸变是垂轴（横向）像差的一种枕形和桶形畸变的示意图9.4畸变相对畸变为实际横向放大率二、对称式光学系统的畸变对称式光学系统，其放大率为β=-1，对其实际的放大率总可以证到其实际放大率为-1，故有其畸变消失。9.4畸变三、光学系统光阑对畸变的作用1、当光阑与透镜重合时，不管物体处于何处或倍率为何值，均无畸变产生。这是由于主光线通过节点，沿着理想成像的光线方向射出。（入瞳中心和薄球面的节点重合）2、当光阑放置在透镜之前主光线有负球差，故主光线和高斯像面的交点低于理想像点，即实际像点低于理想像高y’，所以产生桶形畸变。（负畸变）3、当光阑放置在透镜之后主光线有负球差，实际像点高于理想像高y’，所以产生枕形畸变。（正畸变）9.4畸变9.4畸变一、正弦差彗差的量度，小视场成像的宽光束的不对称性1、余弦定律：光学系统对无限接近的两点成完善像的条件，称为余弦定律满足余弦定律时，光线的孔径角不受限制，即两邻近点均可以以任意宽光束成完善像9.5正弦差2、正弦条件：设轴上物点A到A’能以任意宽光束完善成像，则垂轴方向的近轴轴外点B到B’也能以任意宽光束完善成像需满足的条件称为正弦条件。根据余弦定律可以推出也可写为：当物距为无穷远时，经公式变换，可将正弦条件写为：9.5正弦差正弦条件的偏离3、赫歇尔条件：当光学系统成完善像时，在沿轴方向的邻近点（沿轴微线段）成完善像应满足的条件，根据余弦条件，并且利用沿轴光线u’=u=0，可得比较正弦条件和赫歇尔条件：赫歇尔条件是光轴上一对邻近点成完善像的充分必要条件。通过比较可知，正弦条件和赫歇尔条件不能同时满足，因此如果满足正弦条件，就不能满足赫歇尔条件,故如果垂轴方向上的邻近点能成完善像，则沿轴方向上的邻近点不能成完善像，反之也成立，故不存在对一个空间成完善像的光学系统。9.5正弦差4、弧矢不变量与正弦条件的关系：只要物体垂直于光轴，用任意大的光束成像，均有在小视场情况下，可忽略像散，场曲，畸变但有球差和弧矢彗差，则如果无彗差同时又无球差，则得9.5正弦差5、在不晕点处的正弦条件：由于在不晕点处：对于齐明点，始终满足：9.5正弦差故：表明该对共轭点满足的正弦条件6、等晕条件：

1）等晕成像：轴上点和其邻近点具有相同的成像缺陷，称为等晕成像，欲达到这样的要求，光学系统必须满足等晕条件。2）等晕条件：轴上点和轴外点具有相同的球差值，且轴外光束不失对称性，即不存在彗差，这就是等晕条件的系统。9.5正弦差描述等晕条件的偏离，称为正弦差或相对弧矢彗差等晕成像示意图9.5正弦差由弧矢不变量可以得到弧矢彗差示意图9.5正弦差A’Q’可以由相似三角形求得则可以得到利用垂轴放大率，可得9.5正弦差当物体位于无限远时候，sinu和u相消，则有为把系统的球差联系起来，可以将上面的式子写为正弦差注意，当SC’为零的时候，δL’不一定为零，这正好说明了等晕条件9.5正弦差当SC’=0时候，可以得到等晕条件为当物体在有限远时当物体在无限远时利用等晕条件和正弦差的形式可改写为SC’=0即可得到等晕条件需计算第一近轴光（理想像点位置），第二近轴光（确定l’z）及轴上点A发出的实际光线。9.5正弦差二、正弦差的性质：

1）只与孔径有关，与视场无关。

2）正弦差与孔径光阑的位置有关。注意，当SC’=0，δL’=0，等晕条件变成了正弦条件，故等晕条件是正弦条件的推广，正弦条件是等晕条件的特殊情形。9.5正弦差大多数情况下，物体都以复色光（例如白光）成像，白光包含了各种不同波长的单色光，光学材料对不同波长的谱线有不同的折射率。第三章给出的透镜计算表明，透镜的焦距取决于两表面的曲率半径和材料的折射率，当半径确定后，焦距随折射率而变化。当白光经过光学系统时，系统对不同波长有不同的焦距，各谱线将形成各自的像点，导致一个物点对应有许许多多不同波长的像点位置和放大率，这种成像的色差异我们统称为色差。

色差是描述两种波长成像点的差异，对任意两个波长谱线都可以计算色差，但一般情况下，都是根据接收器光谱响应范围的来选择计算色差的光谱谱线。如果接收器用于可见光（例如以人眼或普通感光材料作为接收器），通常选择可见光谱范围的两端谱线中的F光（紫光）和C光（红光）来计算色差，用它们之间的像点差异来表示白光光学系统的色差。色差的几何描述有两种：描述两种波长像点位置差异的称位置色差或轴向色差，通常对轴上点计算；描述两种波长像点高度（或放大率）差异的称倍率色差或垂轴色差，通常对轴外点计算。9.6位置色差和倍率色差一、位置色差（轴向色差）定义：当透镜对一定物距l的物体成像的时候，由于各色光焦距不同，用可知，由高斯公式可以求出不同的像距l’的值，按色光的波长由短到长，它们的像点离透镜由近到远地排列在光轴上，这种现象叫做位置色差。二、色差值的确定：为确定色差值，首先应规定对那种色光来考虑色差，即所谓消色差谱线。一般以波长较长的谱线的像点位置色差，设λ1和λ2为消色差谱的波长，且λ1<λ2，则有像方截距之差。

9.6位置色差和倍率色差9.6位置色差和倍率色差与其他单色像差不同的是，理想光学系统或光学系统近轴区也存在着位置色差近轴像方截距之差对于目视光学系统其中和表示红光的像方截距，和表示蓝光的像方截距AA'l'DCl'A'l'FFCDA'9.6位置色差和倍率色差三、倍率色差（轴向色差）概念：即使光学系统校正了位置色差，使得两种色光经过光学系统之后交于轴上