正交试验设计(方差分析)课件

第6讲（5）

正交试验设计

（方差分析）正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方案.下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验方案的步骤.例1某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距三个因素进行试验，因素及水平如下表：因子水平101.5013×14×13381.6711×12×1026（原工艺）1.80（原工艺）10×11×10（原工艺）1C后区隔距B后区牵伸A罗拉加压返回

首先要选择一个合适的正交表,选来制定试验方案.

其次，将A、B、C三个因素随机地填在表的三列上，如A、B、C依次放在1，2，3列，第4列为空列，这个过程叫表头设计.

列号试验号123393123823137213261322532124333132221211111空列CBA正交试验的数据分析（一）极差分析法下面仍以例1试验方案为例，回顾极差分析法的思想方法.依照上表安排的试验方案，进行9次试验（一般不要按序号顺序来做这9个试验，而应随机地挑选试验号来完成这些试验.），并将试验数据填写在上表的数据列中.(该数据是将原始数据减20而得到的，这并不影响分析结果.)分别计算第j列的第i水平数据之和以及其平均值、极差并填入表中.

1．数据计算

例1试验结果分析表列号试验号0123390.4312382.823137－0.3213261.4132252.632124－0.2333131.3222121.511111简化数据xi－20误差列CBA返回返回31返回4列号各数据0.340.802.470.360.931.33－0.171.071.271.301.031.230.970.532.300.872.84.0－0.53.23.83.93.13.72.91.66.92.6误差列CBA各数据说明其中：为第j列的第i水平数据之和为其平均值为第j列的极差＝9.5

例1试验结果分析表续返回2．分析因素的影响根据极差的数据知，第2列和第3列的极差较大，这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因素B、C对指标影响较大；第1列的极差较小,说明因素A的水平变动时,指标变动较小，说明因素A对指标影响较小；而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略地认为因素A对指标影响不显著由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：主次

B、C、A由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.3．选出最优工艺参数（1）直接看：直接比较已做的9次试验得到的条子条干不匀率，容易看出第6号试验条干不匀率最小,第6号试验的水平组合A2B3C1称为“直接看”的好条件.它是通过试验的实践直接得到的,比较可靠.（2）算一算：通过比较的大小可选出排在第j列的因素的最好水平，

如第1列的因素A：，，

分别表示因素A的三个水平的平均条干不匀率,经比较可知当因素A取A1水平时，条干不匀率最小，所以A1的效果最好.同理可选出因素B和因素C的最好条件分别为B3、C1。于是通过“算一算”得到一个较优的水平组合A1B3C1.称为“算一算”的好条件.比较“直接看”的好条件A2B3C1与“算一算”的好条件A1B3C1，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著,为方便操作选取原工艺A1.最后确定最优工艺为A1B3C1.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。下一张

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6.5正交试验结果的方差分析

6.5.1正交试验结果的方差分析

方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。正交试验结果的方差分析思想、步骤同前！！方差分析的基本步骤与格式

设：用正交表Ln(rm)来安排试验试验结果为yi（i=1,2,…n）（1）计算离差平方和

①总离差平方和

设：②各因素引起的离差平方和

第j列所引起的离差平方和：因此：③交互作用的离差平方和

若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离差平方和SSj

若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平方和之和，

例：r=3时

④试验误差的离差平方和

方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差列

误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和：（2）计算自由度①总自由度：dfT＝n－1②任一列离差平方和对应的自由度：

dfj＝r－1③交互作用的自由度：（以A×B为例）dfA×B＝dfA

×dfBdfA×B＝(r－1)dfj若r＝2，dfA×B＝dfj若r＝3，dfA×B＝2dfj=dfA

＋dfB④误差的自由度：

dfe＝空白列自由度之和（3）计算均方以A因素为例：以A×B为例：误差的均方：注意：若某因素或交互作用的均方≤MSe，则应将它们归入误差列计算新的误差、均方

例：若MSA

≤MSe

则：（4）计算F值各均方除以误差的均方，例如：或或（5）显著性检验例如：若，则因素A对试验结果有显著影响若，则交互作用A×B对试验结果有显著影响（6）列方差分析表

总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和（1）偏差平方和分解：（2）自由度分解：（3）方差：（4）构造F统计量：（5）列方差分析表，作F检验若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。（6）正交试验方差分析说明由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因（MS交）<2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。表

L9(34)正交表处理号第1列（A）第2列第3列第4列试验结果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。因素A第1水平3次重复测定值因素A第2水平3次重复测定值因素A第3水平3次重复测定值因素重复1重复2重复3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9单因素试验数据资料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K3表头设计AB……试验数据列号12…kxixi2试验号11………x1x1221………x2x22…………………nm………xnxn2K1jK11K12…K1kK2jK21K22…K2k……………KmjKm1Km2…KmkK1j2K112K122…K1k2K2j2K212K222K2k2……………Kmj2Km12Km22…Kmk2SSjSS1SS2…SSk表

Ln（mk）正交表及计算表格总偏差平方和：列偏差平方和：试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复r＝n/m。当m＝2时，总自由度：因素自由度：例2（例1续）方差分析法首先计算各列的离差平方和以因素A所在的第一列为例，给出的计算公式.A因素的水平A1A2A3各水平所在的试验号1、2、3、4、5、67、8、9各水平所在试验号的试验数据1.5、1.3、－0.22.6、1.4、－0.32.8、0.4、0在因素A每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平都分别各出现一次，因此,可以理解为因素A有三个水平，每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析:因素A的离差平方和同理可计算出因素B、C及误差列的离差平方和分别为：返回原数据一般的，

其中：N____正交表的试验号数（试验次数）；

p_____第j列的水平数；____N次试验数据之和;

____为第j列的第i水平数据之和.其次，计算各列自由度＝p－1,得：,将离差平方和与自由度填入下表：列号各数据22220.2021.2299.1290.2020.340.802.470.360.931.33－0.171.071.271.301.031.230.970.532.300.872.84.0－0.53.23.83.93.13.72.91.66.92.6误差列CBA各数据说明

其中：为第j列的第i水平数据之和为其平均值为第j列的极差为第j列的离差平方和，为第j列的自由度＝9.5

例2试验结果分析表续返回3637最后进行误差估计和显著性检验:1.误差估计

因，所以,认为是由误差引起的，将它与合并，最后求得误差的离差平方和为：其自由度为：方差为：一般的，将所有空列的离差平方和，以及方差不大于空列方差的那些列的离差平方和加在一起作为误差的离差平方和，将这些列的自由度求和作为误差的自由度.2．显著性检验

H0:排在第j列的因素对所考察的指标影响不显著H1:排在第j列的因素对所考察的指标影响显著可以证明，当H0为真时，在满足试验结果来自于相互独立且服从同方差的正态分布总体时,统计量服从分布，即于是，对给定的显著水平著水平下拒绝H0，

,则在显推断该因素对指标影响显著；否则影响不显著.例2中因素B、C的F值分别计算如下：例2方差分析表810.798总和40.404误差E6.946.0890.61521.229因子C*6.9445.1934.56529.129因子B显著性F值方差自由度离差平方和误差来源05.01-F链接33由方差分析得知，因素B显著，因素A、C都不显著.又因为因素B的各水平数据之和有不等式：不匀率越小越好,故选B3；因素A、C都不显著可任选，为方便取原工艺A1和C1.综合起来，最后确定最优工艺为A1B3C1.链接33

6.5.2不考虑交互作用等水平正交试验方差分析

例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平表见表6-22，试验方案及结果分析见表6-23。试对试验结果进行方差分析。水平试验因素温度（℃）ApH值B加酶量（％）C1506.52.02557.02.43587.52.8表6-22因素水平表处理号ABC空列试验结果yi11（50）1（6.5）1（2.0）16.25212（7.0）2（2.4）24.97313（7.5）3（2.834.5442（55）1237.53522315.54623125.573（58）13211.48321310.9933218.95K1j15.7625.1822.6520.74K2j18.5721.4121.4521.87K3j31.2518.9921.4822.97K1j2248.386