一元线性回归模型参数的最小二乘估计 学案 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型学案一、学习目标1.结合具体实例，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.基础梳理1.一元线性回归模型：将称为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与之间的随机误差.2.经验回归方程：将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.3.误差分析：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4.用比较模型的拟合效果：用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为.越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.三、巩固练习1.2021年高考成绩揭晓在即,某学生高考前8次数学模拟考试成绩如表所示,模拟次数(x)12345678考试成绩(y)90105110110100110110105根据考试成绩y与考试次数x的散点图可知,满足回归直线方程.若将2021年的高考看作第10次模拟考试,根据回归直线方程预测今年的数学高考成绩为()A.100 B.102 C.112 D.1302.某校课题小组为了研究高一学生数学成绩和物理成绩的线性相关关系，在高一第二学期期中考试后随机抽取了5名同学(记为1，2，3，4，5)数学成绩和物理成绩(满分均为100分)如表所示：学生代号12345数学成绩x7476767678物理成绩y7575767777则y关于x的线性回归方程为()A. B. C. D.3.某产品的宣传费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：宣传费用x/万元2345销售额y/万元24304250根据上表可得回归方程，则宣传费用为6万元时，销售额最接近()A.55万元 B.60万元 C.62万元 D.65万元4.两个相关变量满足如下关系：x23456y25●505664根据表格已得经验回归方程为，表中有一数据模糊不清，推算该数据是()A.37 B.38.5 C.39 D.40.55.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用经验回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强，的值为3.25 B.线性相关关系较强，的值为0.83C.线性相关关系较强，的值为-0.87 D.线性相关关系太弱，无研究价值6.设两个变量和之间具有线性相关关系,它们的相关系数为关于的回归直线方程为,则()A.与的符号相同 B.与的符号相同 C.与的符号相反 D.与的符号相反7.（多选）某调查小组对某种农作物的每亩施肥量(单位:千克)与每亩增产量(单位:千克)进行调查,得到如下数据:每亩施肥量/千克2345每亩增产量/千克26394954根据上表得到线性回归方程,为,下列结论正确的是()A.B.当每亩施肥量为6千克时,每亩增产量约为65.5千克C.对应的偏差为3D.对应的残差是2.38.（多选）已知变量x,y之间的经验回归方程为,且变量x,y的数据如表所示，则下列说法正确的是()x681012y6m32A.变量x,y之间呈正相关关系 B.m的值等于5C.变量x,y之间的相关系数 D.该回归直线必过点

答案以及解析1.答案：C解析：,,∴回归直线过点,代入回归直线方程得,则回归直线的方程为,当时,得,故选C.2.答案：C解析：由表格中的数据，可得，，即数据的样本中心，因为满足回归直线方程，结合选项可得，即y关于x的线性回归方程为：，故选：C.3.答案：B解析：，，由回归直线过样本点的中心，得，得，所以.当时，，所以销售额最接近60万元，故选B.4.答案：C解析：.设模糊不清的数据为a，则，解得.故选C.5.答案：B解析：由散点图可知，点的分布集中在某个带状区域内，所以语文成绩和英语成绩之间具有正的线性相关关系，且线性相关关系较强，又绝大部分的点都在直线的下方，所以经验回归直线的斜率大于0且小于1，所以结论最有可能成立的是B，故选B.6.答案：A解析：若样本相关系数r为正，则两个变量呈现正相关，经验回归直线呈上升趋势；若样本相关系数r为负，则两个变量呈现负相关，经验回归直线呈下降趋势，与的符号相同.故选A.7.答案：ABD解析：由题意可得,将代入回归方程,得,故A正确;当时,,选项B正确;对应的偏差是,故C错误;对应的残差是,选项