专题4：导数及其应用

专题4：导数及其应用（两课时）班级姓名一、前测训练1．（1）曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为．（2）曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为．答案：（1）y＝3x＋2．（2）y＝2x或y＝－14x．解析：（1）y′＝3x2，则切线的斜率是 3×（－1）2，再利用点斜式(2)y′＝3x2－6x＋2，设切点为（x0，x03－3x02＋2x0）,则切线的斜率为 3x02－6x0＋2.切线方程为 y－（x03－3x02＋2x0）＝（3x02－6x0＋2）（x－x0），（0，0）代入，得 x0的值，从而得到切线方程2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为．（2）函数f(x)＝1x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为．3答案：（1）(0，1)．（2）a≤3．22解析：（1）定义域为（0，＋∞）；求导，f′(x)＝4x－1，令f′(x)＜0，解不等式x(2)f(x)＝1x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝x2－2ax≥0对x∈(3，＋∞)恒成立32a≤x，∴2a≤33．求下列函数极值 (或最值)：1ππ（1）f(x)＝xlnx（2）f(x)＝sinx－2x，x∈[－，]22答案：（1）当x＝1e时，f(x)取极小值－1e．ππ3π3π（2）当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．362326解析：（1）f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，则x＝1，列表格得到单调性，求出极小值e(2)f′(x)＝cosx－1π，令f′(x)＝0，则x＝±，列表格得到单调性，求出极小值极大值234．已知函数 f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．答案：当a≤12时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．2e当12＜a＜1时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝1(ln2a－1)．2e22a211当a≥2时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．解析：解：f′(x)＝2ax－1＝2ax2－1，xx当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)的最大值为f（1），最小值为f（e）＝ae2－2．当a＞0时，令f（x）＝0得2ax2＝1，①由①得x＝2a1，（1）若1≤1，即a≥1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上为增函数，2a2∴最小值为f（1）＝a－1（2）若1＜1＜e，即12＜a＜1时，f(x)在（1，1）上为减函数，在（1，e）上为增函数，2a2e22a2a∴当x＝1，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（1）＝1．2a(ln2a－1)2a2（3）若1≥e，即a≤12时，f(x)在（1，e）上为减函数，最小值为f(e)＝ae2－2．2a2e综上得：当a≤12时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．2e当12＜a＜1时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝1(ln2a－1)．2e22a2当a≥1时，f(x)在[1，e]上的最小值为 f(1)＝a－1．25．若不等式 ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数 a的取值范围．答案：a＞e2解析：ax2＞lnx＋1∴a＞lnx＋1，令f(x)＝lnx＋1x2x2，只要a＞f(x)max解答：若不等式 ax2＞lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，∵f′(x)＝－2lnx＋1，（x＞0），x3111令f′(x)=0得x＝e，易知当x∈(0，e)时，f′(x)＞0；当x∈(e，+∞)时，f′(x)＜0．11故f(x)在(0，e]上递增，在(e，+∞)上递减．所以f(x)max＝f(1ee)＝2．故要使原不等式恒成立，只需 a＞e，26．已知f(x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．答案：(0，e2)2解析：ax2＝lnx＋1有两个根，则ax2－lnx－1＝0有两解。令f(x)＝ax2－lnx－1，则f′(x)＝2ax－1＝2ax2－1，x x当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在（0，＋∞）上为减函数，不合题意当a＞0时，令f′(x)＝0得2ax2＝1，①由①得x＝1，f(x)在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，2a2a2a∴当x＝1，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（1）＝1(ln2a－1)．2a2a2∴只要1e2(ln2a－1)＜0，∴a∈(0，)2二、方法联想1．切线方程涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点， “过”表示该点不一定为切点．切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．变式1函数f x alnx bx2上一点P2,f 2 处的切线方程为 y 3x 2ln2 2，求a,b的值答案：a＝2，b＝1（已知切线方程求参数）变式2题目：在平面直角坐标系 xOy中，直线l与曲线y x2(x 0)和y x3(x 0)均相切，x1切点分别为 A(x1,y1)和B(x2,y2),则 的值是答案4．3解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x12，函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3x22x－2x23．122所以8．2＝3，解之得：x1＝32，x2＝x12x2279x1 4所以 ＝．（已知两曲线的公共切线，求切点）变式3曲线y 1(x0)与曲线ylnx公切线（切线相同）的条数为 .x答案：13（求两曲线的公切线条数）变式4已知函数fx2x33x，若过点P1,t存在3条直线与曲线yfx相切，求t的取值范围答案：t3,1解：设切点坐标x0,y0，切线斜率为k，则有y02x033x0切线方程为：y2x033x06x023xx0kf'x06x023因为切线过P1,t，所以将P1,t代入直线方程可得：t2x033x06x0231x0t6x0231x02x033x06x0236x033x02x033x04x036x023所以问题等价于方程t4x036x023，令gx4x36x23即直线yt与gx4x36x23有三个不同交点g'x12x212x12xx1令g'x0解得0x1所以gx在,0,1,单调递减，在0,1单调递增gx极大值g11,gx极小值g03所以若有三个交点，则t3,1所以当t3,1时，过点P1,t存在3条直线与曲线yfx相切（已知公切线条数，研究参数的范围）2．函数单调性(1)如果在某个区间上 f′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某个区间上 f′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f′(x)≥0；如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f′(x)≤0．注意求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．1变式1、已知f(x)＝2ax－x－(2＋a)lnx(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．112ax2－2＋ax＋12x－1ax－1.答案：f′(x)＝2a＋2－(2＋a)＝2＝x2xxx1111①当0＜a＜2时，f(x)在0，2和a，＋∞上是增函数，在2，a上是减函数；4②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；1111③当a＞2时，f(x)在0，a和2，＋∞上是增函数，在a，2上是减函数．（已知导数等于0的两个根，求单调性）变式2、若函数fxx21lnx1在其定义域内的一个子区间k1,k1内不是单调函数，则实数k2的取值范围_______________3答案：1,2（不单调，求参数的范围）变式3、定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1,f(0)4,则不等式exf(x)ex3（其中e为自然对数的底数）的解集为．答案：(0,)(确定函数单调性)3．函数极值(或最值)①求函数的定义域； ②求f′(x)＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．变式1、已知函数 f(x)的导函数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是 _____．答案：(－1,0)解答：因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且

x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．（已知极大（小）值点，求参数范围）变式2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．答案(3，2)解答：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，＝2a2－4×3×1>0，－1<－2a6<1，又a>0，解得3<a<2.所以根据导函数图象可f′－1 ＝3－2a＋1>0，f′1 ＝3＋2a＋1>0，（已知极值点范围求参数范围）变式3、已知函数f(x)alnx,g(x)1x22x3，对任意的x1,,都有f(x)g(x)恒成立,22则实数a的最小值是______．答案：15(要注意到f(1) g(1))4．极值(或最值)的分类讨论（1）分类讨论根据f′(x)＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)；优先用十字相乘法求解方程无解 f’(x)恒正或恒负，利用单调性求最值极值（最值或f′(x)=0有解在开区间内，列表求最值单调性问题）（通分）方程有解区间左侧（先舍掉解，再比较所有解在开区间外解的大小）区间右侧（2）注意数形结合．变式1、设函数 f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋a－1－3（a∈R）．求函数 φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间。x答案：因为φ(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋ax＋a－1－3(x＞0)，x所以φ'(x)＝1＋a－a－1＝ax2＋x－(a－1)＝(ax－(a－1))(x＋1)xx2x2x2（x＞0）．6分①当a＝0时，由φ'(x)＞0，解得x＞0；②当a＞1时，由φ'(x)＞0，解得x＞a－1；a③当0＜a＜1时，由φ'(x)＞0，解得x＞0；④当a＝1时，由φ'(x)＞0，解得x＞0；⑤当a＜0时，由φ'(x)＞0，解得0＜x＜a－1．a所以，当a＜0时，函数φ(x)的单调增区间为(0，a－1a)；当0≤a≤1时，函数φ(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞1时，函数φ(x)的单调增区间为(a－1，＋∞)．a（已知导数等于 0的根，求原函数单调区间）5．不等式恒成立问题（1）若不等式的左右都是相同的变量 x，如：对 x∈D，f(x)≤g(x)恒成立．6方法1分离变量法(优先)．方法2设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的最值问题．方法3构造两个函数的图象判断位置关系．方法4转化为二次函数图象问题．方法5转化为一次函数图象问题．技巧可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对x1∈D1，x2∈D2，f(x1)≤g(x2)恒成立，则f(x)max≤g(x)min．说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反．变式1、已知函数 f(x)＝xx对任意的 x∈(0,2)，都有f(x)＜ 1 2成立，求 k的取值范围.e k＋2x－xx1对任意x(0,2)都成立，答案：f(x)k2xx2ex所以k2xx20，即kx22x对任意x(0,2)都成立，从而k0.又不等式整理可得kexx22x，令g(x)exx22x，xxex(x1)2(x1)(x1)(所以g(x)x2当x(1,2)时，g(x)0，函数g(x)在同理，函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以综上所述，实数k的取值范围是[0,e1).

ex2)0，得x1，x2(1,2)上单调递增，kg(x)ming(1)e1，（已知f(x)＜g(x)恒成立，首选参变分离）变式2、已知函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx．证明：f(x)≥g(x).2e答案：设h(x)f(x)g(x)x2x1x2e2elnx，则h'(x)xex．e令h'(x)0，得xe，列表如下：x(0,e)e(e,)h'(x)0h(x)↘极小值↗所以函数h(x)的最小值为h(e)0，所以h(x)x2，即f(x)≥g(x)．lnx≥02e（要证f(x)≥g(x)，转化为求 h(x)＝f(x)－g(x)的最小值）|x3－2x2＋x|，x＜1，变式3、已知函数 f(x)＝ ，若对于 t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数 k的取值范围是lnx， x≥1_1答案：[ ,1]（已知f(x)≤g(x)恒成立，构造两个函数的图象判断位置关系）变式4、设过曲线 f(x)＝－ex－x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 l1，总存在过曲线 g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线 l2，使得l1⊥l2，则实数 a的取值范围为 ___________答案: －1≤a≤27解析:由题意得：x1R,x2R,使得(ex11)(a2sinx2)1，即函数y1的值域为函数ex11ya2sinx2的值域的子集，从而(0,1)[a2,a2]，即a20,a211a2（已知x1R,x2R,使得f(x1)＝g(x2)，利用f(x)的值域为函数g(x)的值域的子集）6．方程有解（或解的个数）问题方法1分离变量法(优先)．方法2构造F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)零点问题．方法3构造两个函数的图象判断交点个数．方法4转化为二次函数零点问题．方法5转化为一次函数零点问题．说明：考虑数形结合．变式1、已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.,则a的取值范围是.答案：a 0(导函数零点分类讨论 )2变式2、设函数f(x)＝(x＋1)lnx，g(x)＝xx，是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)错误!未找到引用源。在e（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.【答案】k12【解析】设h(x)f(x)g(x)(x1)lnxxx,e当x(0,1]时，h(x)0.又h(2)3ln24ln84110,e2e2所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.因为h'(x)lnx11x(x2)(1,2)时，h'(x)11，当x(2,)时，h'(x)0，xex,所以当x0e所以当x(1,)时，h(x)单调递增.所以k1时，方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在唯一的根.（判断方程是否有根及根的个数）三、例题分析例1已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．（1）求函数f(x)的解析式；1g(x)取得极值时对（2）设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3应的自变量x的值．答案：（1）函数的解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2．8（2）实数m的取值范围是：m∈（－∞，1）．当x＝2－1－m时，g(x)有极大值；当x＝2＋1－m时，g(x)有极小值．33解析：由已知，切点为（ 2，0），故有f（2）=0，即4b＋c＋3=0．①′(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知，f′(2)＝12＋8b＋c＝5．得8b＋c＋7＝0．②联立①、②，解得c=1，b=－1，于是函数解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2．2）g(x)=x3－2x2＋x－2＋1mx，g′(x)＝3x2－4x＋1＋1m，令g′(x)＝0．33当函数有极值时，△≥0，方程3x2－4x＋1＋13m＝0有实根，由△＝4（1－m）≥0，得m≤1．22①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝3，在x＝3左右两侧均有g′(x)＞0，故函数g(x)无极值．②当m＜1时，g′(x)＝02－1－m2＋1－m有两个实根，x1=，x2=33当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：故在m∈（-∞，1）时，函数 g(x)有极值；当x＝2－1－m时g(x)有极大值；3当x＝2＋1－m时g(x)有极小值．3〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．切点在x轴上又在曲线上，还在切线上．2．函数存在极值，则导函数的值可正可负．3．二次函数的值可正可负，则有对应的二次方程有两个不相等的实数根，所以判别式要大于零．4．求函数的极值，应先由导函数值等于 0求出极值点，再通过列表判断函数的单调性，从而求出函数的极值以及取得极值时对应的自变量 x的值．例2已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx．1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；1（3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[e，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，1）和（1，＋∞）．2（2）当a≤1时，[f(x)]min＝－2a；当1＜a＜e时，[f(x)]min＝a(lna－a－1)；9当a≥e时，[f(x)]min＝e2－(2a＋1)e＋a．3）实数a的取值范围为(－∞，e(e－2)]．1e解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，2－3x＋1(2x－1)(x－1)f′(x)＝2x－3＋xxx.1令f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.x(0，1)1(1，1)1(1，＋∞)222f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调增区间为(0，1)，(1，＋∞)．2a＝2x2－(2a＋1)x＋a＝(2x－1)(x－a)1(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋xxx，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝2.11当a≤2时，f(x)在[2，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；11当2<a≤1时，f(x)在(0，2]，[a，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增．综上，当 a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a；当1＜a＜e时，x(1，a)a(a，e)f′(x)－0＋f(x)a(lna－a－1)所以f(x)min＝f(a)＝a(lna－a－1)；当a≥e时，f′(x)≤0对x∈[1，e]恒成立，则 f(x)在[1，e]上单调递减，则[f(x)]min＝f(e)＝e2－(2a＋1)e＋a．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小．3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想．1014．帮助学生理解题意，得出不等式 f(x)≥g(x)在[e，e]上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围．5．在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化．本题可以适当变式帮助学生理解题意．例3已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]．1）若m＜1，求证：函数f(x)是增函数；2）如果函数f(x)的值域是[0，2]，试求m的取值范围；3）如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．答案：（1）略．2）m的取值范围是[1，2]．3）实数λ的最小值是1，且此时m＝2．2解析：（Ⅰ）当m＜1时，f（x）＝x（3－x2）＝3x－x3，2 2因为f′(x)＝3－3x＝3（1－x）＞0，（Ⅱ）令 g（x）＝x|x2－3|，x≥0，则，当2得x=1，时，由g′（x）=3-3x=0所以g（x）在[0，1]上是增函数，在上是减函数；当时，由g′（x）=3x2-3＞0，所以g（x）在上是增函数，所以当时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=，从而0＜m＜1均不符合题意，且均符合题意；当x≥0时，在时，f（x）∈[0，2]；在时，f（x）∈[0，f（m）]；这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，即m3-3m≤2，（m-2）（m+1）2≤0，解得 ，综上所述，m的取值范围是[1，2]。11（Ⅲ）据（Ⅱ）知，当 0＜m＜1时，函数 f（x）的最大值是 f（m）=3m-m3，由题意知，3m-m3=λm2，即 -m是减函数，故λ的取值范围是（ 2，+∞）；当1≤m≤2时，函数 f（x）的最大值是 f（1）=2，由题意知，2=λm2，即是减函数，故λ的取值范围是[1,2]；2当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m3-3m，由题意知，m3-3m=λm2，即λ=m- 是增函数，故λ的取值范围是 (12,＋∞)；综上所述，λ的最小值是1，且此时m=2。2〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．含绝对值的函数通常要讨论绝对值里面式子的正负设法去掉绝对值，最终变为分段函数之后进行研究．2．证明一个三次函数是单调增函数，只要证明它的导函数恒大于 0或大于等于 0（原函数不能是常函数）．3．利用导数求出函数的单调区间和极值画出分段函数（即函数f(x)）简图，结合函数图象通过动态的研究，求出m的取值范围．4．结合函数的简图利用函数的单调性来研究函数的值域，凸显分类讨论思想．5．本题还可以利用函数是奇函数对问题进行适当的变式训练．解决函数问题要突出数形结合的数学思想，要充分利用导数这个工具，通过研究函数的单调性和极值画出函数的简图．二、方法选择与优化建议：1．结合函数简图，突出数形结合的数学思想．四、反馈练习11．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋2，则f(1)＋f’(1)＝．答案：3说明：本题考查导数的几何意义11解析：f(1)＝×1＋2，f′(x)＝222．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点 A(1，2)，则ab＝_________．答案：－8说明：本题考查导数的几何意义解析：A(1，2)代入y＝kx＋1，则k＝1；又y′＝3x2＋a，则3＋a＝1，则a＝－2；A(1，2)代入y＝x3＋ax＋b，则b＝3123．已知函数fxax3x1的图像在点1,f1的处的切线过点2,7，则a.答案：1说明：本题考查导数的几何意义试题分析：∵f(x)3ax21，∴f(1)3a1，即切线斜率k3a1，又∵f(1)a2，∴切点为（1，a2），∵切线过（2,7），∴a273a1，解得a1.124．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ___________．答案：(2，＋∞)说明：本题考查求函数单调区间解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝（x－2）ex＞0，则x＞212b的取值范围是．5．若f(x)＝－x＋blnx在(0,＋∞)上是减函数，则2答案：b≤0说明：本题考查导数与单调性解析：f′(x)＝－x＋b1≤0恒成立，则b≤x2，∴b≤0x6．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－9，已知f(x)在x＝－3时取得极大值0，则a＋b＝________．答案：8说明：考查函数的极值解析：f(－3)＝0，f′(－3)＝07．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则a的取值范围为．答案：a＞2或a＜－1说明：本题考查函数的极值解析：f′(x)的△＞08．函数y＝x＋2cosx，x∈[0，2]的值域是．答案：[，＋3]26说明：考查函数的值域解析：f(x)＝x＋2cosx，则f′(x)＝1－2sinxππππ令f′(x)＝0，则x＝，列表格说明单调性，（0，）上f(x)单调递增，（，）单调递减，6662ππππ则x＝时f(x)取得最大值是＋3；又f()＝，f(0)＝2，则f(x)的最小值是266229．已知函数f(x)＝x3＋6x2＋2a＋3，若方程f(x)＝0有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是 ___________．353答案：－2＜a＜－2说明：本题考查函数的单调性、函数的极值、函数的图象解析：f′(x)＝3x2＋12x＝3x（x＋4），令f′(x)＝0，则x＝－4或0列表格说明单调性，得到f(x)的极大值为f(－4)，f(x)的极小值是f(0)由题意得，f(－4)＞0且f(0)＜02a，若存在x0∈[－1,a10．已知f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋x－](a＞0)，使得f(x0)＜g(x0)，则实数a的取值范围9313是 ．－3＋ 21答案：0＜a＜2说明：本题考查不等式有解的问题，分类讨论存在xa），使得f（x）＜g（x），转化为存在x∈[-1，a），使解析：33000得（f（x）-g（x））max＜0即可．令h（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-x+29a，则h′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）11令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞，即h（x）在区间（-∞，-1）与（，+∞）上是增函数，在331（-1， ）上是减函数3又xa）＞0，∴h（a－3＋2101a＋1f′(x)的图象过原点．11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数31）当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；2）若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值．答案：（1）3x－y－8＝0；（2）a的最大值为－ 7说明：（1）考查导数的几何意义；（2）考查方程有解的问题解析：求导数，可得 f′(x)＝x2-（a+1）x+b，由f′(0)=0得b=0，f′(x)＝x（x－a－1）（Ⅰ）当a=1时，f(x)=1x3-x2+1，f′(x)＝x（x－2），3∴f（3）=1，f′（3）=3∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3）即3x-y-8=0．（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，99∴-a-1=-x-x=≥2(－x)(－x)=6，∴a≤－7当且仅当x=-3时，a=-7．∴a的最大值为-7．1412．已知函数f(x)＝lnx－(x－1)22．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x＞1时，f(x)＜x－1；答案：(Ⅰ)0,15；（Ⅱ）详见解析．2说明：（1）考查函数的单调性；（2）考查不等式证明1xx2x1，x0,．解析：（I）fx1xx由fx0得x0解得0x15．x2x102故fx的单调递增区间是0,15．2（II）令