【高1数学】002四种命题的形式充分条件与必要条件

四种命题的形式、充分条件与必需条件基础看法一、基础知识概括本周主要学习了四种命题的形式，充分条件与必需条件等有关看法，及反证法的思想．充分条件、必需条件和充要条件是重要的数学看法，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．本节主假如经过不一样的知识点来分析充分必需条件的意义，让考生能正确判断给定的两个命题的充要关系．二、要点知识概括及解说1、命题的看法：能够判断真假的语句叫做命题．2、简单命题与复合命题：简单命题：不含逻辑联络词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，简单命题一般不可以分解出其余的命题，往常简单命题难以区分条件和结论，所以简单命题的真假判断不能依赖命题逻辑推理，其真假只好依照客观事实或生活经验自行判断。以下命题均是简单命题。1+1=2,5>3,雪是白色的，今日没有下雨。复合命题：由简单命题与逻辑联络词构成的命题叫复合命题。简单命题经过"非"、“或”、“与”、“包含”以及“等值”这些命题连结词（亦称逻辑连接词）而构成的命题称为复合命题。平时生活中的“假如那么"、”只有才“、”不但并且“、”固然可是“、”当且仅当"、“只有”等连结词语均可符号化为最基本的五种命题连结词。以下例子都是复合命题：5≥3，假如x是整数，那么x+3也是整数。3、判断复合命题的真假：（1）“非p”形式复合命题的真假能够用下表表示：p非p真假假真即一个命题的否认与原命题的真假相反．（2）“p且q”形式复合命题的真假能够用下表表示：pqp且q真真真1真假假假真假假假假即当p、q为真时，p且q为真；当p、q中起码有一个为假时，p且q为假．（3）“p或q”形式复合命题的真假能够用下表表示：pqp或q真真真真假真假真真假假假即当p、q中起码有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假．4、原命题：若p则q（p是原命题的条件，q是原命题的结论）；抗命题：若q则p（互换原命题的题设和结论）；否命题：若非p则非q（同时否认原命题的条件与结论）；逆否命题：若非q则非p（互换原命题的题设和结论后同时否认之）．四种命题及相互关系用图表表示为：说明：①原命题、否命题、抗命题和逆否命题是相互的．②写原命题的否命题、抗命题和逆否命题的要点是：找出所给原命题的条件p与结论q．5、反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否认其结论“非p”出发，经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而“非p”为假，即原命题为真，这样的方法叫反证法．2证题的步骤：1）假定数题的结论不建立，即假定结论的反面建立；2）从假定出发，经过推理论证，得出矛盾；3）由矛盾判断假定不正确，从而必定数题的结论正确．说明：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，假如运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想：经过证明命题的否认是假命题，从而说明原命题是真命题．6、推测符号“”的含义：由p经过推理能够得出q，即假如p建立，那么q必定建立，此时可记作“pq”；由p经过推理得不出q，即假如p建立，推不出q建立，此时可记作“pq”．7、充分条件与必需条件：一般地，假如已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必需条件．8、充要条件：一般地，假如既有pq，又有qp，就记作：pq．“”叫做等价符号．pq表示pq且qp．这时p既是q的充分条件，又是q的必需条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．9、充分条件与必需条件的分类：命题按条件和结论的充分性和必需性可分为四类：若pq但qp，则p是q的充分不用要条件；若qp但pq，则p是q的必需不充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件；若pq且qp，则p是q的既不充分也不用要条件．10、从会合角度理解：3①pq，相当于PQ，即或即：要使xQ建立，只需xP就足够了——有它就行．②qp，相当于PQ，即或4即：为使xQ建立，一定要使xP——缺它不可以．qp等价于pq．③pq，相当于PQ，即即：互为充要的两个条件刻划的是同一事物．三、难点知识分析本节的难点主假如充要条件的判断，其解决方法主要有：1、要理解“充分条件”“必需条件”的看法，当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必需条件，所以判断充分条件或必需条件就归纳为判断命题的真假．2、要理解“充要条件”的看法，对于符号“”要熟习它的各样同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“一定并且只需”，“，反之也真”等．3、数学看法的定义拥有相当性，即数学看法的定义都能够当作是充要条件，既是看法的判断依照，又是看法所拥有的性质．54、从会合看法看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必需条件；若AB，则A、互为充要条件．5、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题建立（即条件的充分性），又要证明它的抗命题建立（即条件的必需性）．典型例题例1、（1）“ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为（）A．ABC中，若C90B．ABC中，若C90C．ABC中，若C90

，则A、B都不是锐角，则A、B不都是锐角，则A、B都不必定是锐角D．以上都不对（2）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中起码有一个是偶数，以下假定中正确的选项是（）A．假定a、b、c都是偶数B．假定a、b、c都不是偶数C．假定a、b、c至多有一个是偶数D．假定a、b、c至多有两个是偶数3）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加竞赛，此中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”；乙说：“甲、丙未获奖”；丙说：“是甲或乙获奖”；丁说：“是乙获奖”．四位歌手的话只有两句是对了，则是_______获奖了．分析：1）由命题之间的关系易选B；（2）“起码有一个”的反面是“一个都没有”，应选B；（3）设获奖用“1”表示，未获奖用“0”表示，则挨次四人的话列表以下：甲乙丙丁甲：甲获奖1000乙：甲、丙未获奖0101丙：甲或乙获奖1100丁：乙获奖0100由表可知，只有第一列切合四位歌手的话只有两句是对的，故是甲获奖了．答案：（1）B；（2）B；（3）甲例2、（上海）（1）a1,b1,c1,a2,b2,c2均为非零实数，不等式a1x2b1xc10和6a2x2b2xc20的解集分别为会合M和N，那么“a1b1c1”是“MN”的（）a2b2c2A．充分非必需条件B．必需非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必需条件（2）已知p:|3x4|2，q:10，则p是q的（）2x2xA．充分非必需条件B．必需非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必需条件分析：（1）假如“a1b1c10”，则“MN”，假如“a1b1c10”，则“MN”，a2b2c2a2b2c2所以“a1b1c1”“MN”，反之若“MN”，即说明二次不等式的解a2b2c2集为空集，与它们的系数比无任何关系，只需求鉴别式小于零．所以“MN”“a1b1c1”，所以“a1b1c1”是“MN”的既不充分也不用要条件．a2b2c2a2b2c2（2）解法一：∵p:{x|x2或x2}，q:{x|x2或x1}．23∴p:{x|2}，q:{x|1x2}．x3∴pq，qp．∴p是q的充分不用要条件．解法二：由法一知，∴qp，pq．∴pq，qp．即：p是q的充分不必需条件．答案：（1）D（2）A例3、已知命题p:方程x2mx10有两个不相等的实负根．命题q:方程4x24(m2)x10无实根；若p或q为真，p且q为假，务实数m的取值范围．分析：先分别求知足条件p和q的m的取值范围，再利用复合命题的真假进行转变与议论．分析：7由命题p能够获得：m240，∴m2．m0由命题q能够获得：[4(m2)]2160，∴1m3．∵p或q为真，p且q为假，∴p、q有且仅有一个为真．m2m3，当p为真，q为假时，或m3m1m21m2，当p为假，q为真时，m31所以，m的取值范围为{m|m3或1m2}．例4、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的充分而不用要3条件，务实数m的取值范围．分析：利用等价命题先进行命题的等价转变，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包括关系，从而使问题解决．分析：x12x10，则p:A{x|x2或x10}．由12解得：3又当m0时，由x22x1m20得：1mx1m，则q:B{x|x1m或x1m,m0}．p是q的充分非必需条件，m0∴AB，联合数轴应有1m2，解得：0m3为所求．1m10例5、若p0，q0，p3q32．试用反证法证明：pq2．分析：本题直接由条件推证pq2是较难的，由此用反证法证之．证明：假定pq2，∵p0，q0．∴(pq)3p33p2q3pq2q38．8又∵p3q32．∴代入上式得：3pq(pq)6，即：pq(pq)2(1)．又由p3q32，即(pq)(p2pqq2)2代入(1)得：pq(pq)(pq)(p2pqq2)．∵p0，q0．∴pq0．pqp2pqq2，但这与(pq)20矛盾，∴假定pq2不建立，故pq2．说明：反证法：是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明顶用反证法特别简短，但其实不是每一题用反证都恰倒利处．那么，对于哪些题目适适用反证法呢？1）从这些条件推出所知的也极少或没法用已知条件进行直接证明的；2）当问题中能用来作为推理依照的公义、定理极少，没法直接证明或证明无从下手的；3）结论以否认的形式出现，没法引用定理来证明否定形式的结论；4）对要证明的命题，已知它的抗命题是正确的；5）要求证明的命题合适某种条件的结论独一存在．对反证法的掌握，还有待于跟着学习的深入，逐渐提升．9基础练习一、选择题1、有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）全部男生都不爱踢足球；（3）起码有一个男生不爱踢足球；（4）全部女生都爱踢足球；（5）全部男生都爱踢足球．此中命题（5）的否认是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）2、某个命题与正整数n有关，假如当nk(kN)时，该命题建立，那么可适当nk1时命题也建立，现已知当n5时，该命题不建立，则可推出（）．当C．当

n6时，该命题不建立B．当n4时，该命题不建立D．当

6时，该命题建立4时，该命题建立3、设会合A{x|x2x60}，B{x|mx10}，则B是A的真子集的一个充分不必需的条件是（）A．m{1,3}B．m1C．m{0,1,1}D．m{0,2}2224、（湖北）有限会合S中元素个数记作card(S)，设A、B都为有限会合，给出以下命题：①AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)；②AB的必需条件是card(A)card(B)；③AB（真包括）的充分条件是card(A)card(B)；④AB的充要条件是card(A)card(B)．此中真命题的序号是（）A．③④B．①②C．①④D．②③二、填空题5、有以下命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy0，则|x||y|0”的逆命题；③“若ab，则acbc”的否命题；④“矩形的对角线相互垂直”的逆否命题．其中真命题共有_________个．6、在原命题及其抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数能够是_________．7、命题p:{2}{1,2,3}，q:{2}{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p或q为真；p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．此中判断正确的序号是_________（填上你以为正确的全部序号）．8、假如x、y是实数，那么xy0是|xy||x||y|的________条件．109、若三条抛物线yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中起码有一条与x轴有公共点，则a的取值范围是________．10、设会合U{(x,y)|xR,yR}，A{(x,y)|2xym0}，B{(x,y)|xyn0}，那么点P(2,3)ACUB的充要条件是________．三、解答题：11、已知p:1x12，q:x22x1m20(m0)，若p是q的必需而不充分3条件，务实数m的取值范围．12、p:2m0，0n1；q:对于x的方程x2mxn0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件．13、已知对于x的实系数二次方程x2axb0有两个实数根、，证明：||2且||2是2|a|4b且|b|4的充要条件．11答案：1-4：CCBB○○6：0或2或4.○○○⑥5：237：1458：充分非必需条件9：a≥0或a≤-3/210：m>-1,n>511、m>9,12、p是q的必需不充分条件对于X的方程x^2+mx+n=0有两个小于1的正根依据韦达定理x1+x2=-mx1*x2=n由于0<x1<10<x2<1所以能够推出:-2<m<0,0<n<1可是还需要一个条件：△=m^2-4n>0所以p不可以推出q,q能够推出p即p是q的必