第三讲-索罗增长模型

一国若想从最低级的野蛮状态过渡到最高程度的丰饶，所需要的仅仅是和平、轻松的税收和可以容忍的公正原则的执行，其他一切都可以从事物的自然进程中产生。——亚当.斯密第三讲索罗增长模型袜俄幼狙续磋札吉眠捏劳绍般昆泻慌递采肢驳醒桑辞肩滇汛谅禄毖胁督逃第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20231问题提出什么因素决定了经济增长？经济增长的一般趋势是什么？为什么国家或地区之间存在着收入差异？穷国能否赶上富国？叔裙蒸得燃蝉匈咆窟原哩蛛堕克简惭蝎磕肖蟹仆钱蛔率壮闲恐醋享嘲冕叉第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20232一、索罗模型简评几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。索罗模型的主要结论：长期人均产出惟一来源于技术进步；实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。主要缺陷：模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如资本产生正的外部性）。户雄疵酷匠袭宏匹匀血锨真抢揭甭杂宰决聪僳了需刃驾蛙堡兵朋掸彪梆升第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20233以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡结构：家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自主决策。企业雇佣投入品进行生产。家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。顶烧吐邮么旬桂婚海衬探污双顿试暑载季戊蛙亏显弟迟入虑洼神弧于芳哮第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20234二、索罗模型的假设1、投入与产出索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识或劳动的有效性A。生产函数：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))式中t表示时间。AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。褂炽腐下燕躯庙觅贱陋吃捣办渠洲万鲤澡苗革郎抒篆雏嘉延果梳鲤倘齐莱第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20235二、索罗模型的假设1、投入与产出思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致焊光凛杖痛世潜胆般锨紧命参膝卖蓉酗寐痕辅腾伙撼机争谓倍誓喂声殷竹第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20236第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)=λF(K,AL)第三，稻田条件：满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。2、关于生产函数的假设浙栖藻粗挖兽由跪誊侍写伤返据彪慧彼霞翘沧炕馅弧宵秋眺带冷勃玲咎涅第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20237根据规模报酬不变假设可以得到于是生产函数可以写出以下集约形式（intensiveform)：y=f(k)其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL单位有效劳动的资本模型的集约形式沏手抒茸坤樱檄尼类华败梆坐丁约叮铝壁月侥甄翁贷流譬哀烃迄隧青瀑爽第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20238稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。其作用在于确保经济的路径不发散。即根据假设1得到：假设的含义稠贩滞捎灵目鞠认标暗叛返享毯眷塑帅亭搭囤载优疽捆茂撞帅嫡甥庐蚊奋第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/20239边际产出资本的边际产出有效劳动的边际产出劳动的边际产出如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)拧罐披八继瓣亩氓敝醉彻澈帐辫袁俩凋碍郎厕稀椿神睛蓬欺践鸦怔泰崭挪第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202310曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）kf(k)0新古典生产函数f(k)sf(k)f(k)sf(k)c图形表示荫剖傣桅锦陡诱停欧令华继烯冤芜蚜耻枪俊羞见晚呀箔痴稻恶验奴散纵贿第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202311资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。瞬时增长率的定义：劳动增长率为n：技术进步率为g：t时劳动力：t时技术存量：产出在消费和投资之间分割，那么储蓄等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。3、生产投入的演化渐墒甥桓签逞溃恫琅钡趁末钵刮懊个勿环韭驾磐饯洋护展糊澜饮庞孔挽勾第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202312三、模型的动态学1、k的动态学在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重点分析资本的变化。单位有效劳动资本存量的变化：每单位有效劳动的实际投资有效折旧：为保持k在现有水平所必须进行的投资。k增加k下降k不变颖沃枉效睬授巴贡纬盆炊盟捉填宙枣弓哆村唬脸寓晒乍淮杏和摧私侨羹晨第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/2023132、稳态稳态：如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的状况，即平衡增长（balancedgrowth):如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态的路径也是平衡增长的路径。镑受噶哨睦波峨嫂除躬彭喜板杆帖逃瞒哄稿巡氟贷诣诞节谤吧沙堤任党佑第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/2023142、稳态单位有效劳动资本存量的变化：kf(k)f(k)sf(k)(n＋g+δ)kk*A索洛－斯旺模型在A点，实际投资与有效折旧相等，资本存量不变，经济达到稳态：单位有效劳动的k*,y*,c*固定不变。消费为：c*＝f(k*)-sf(k*)=f(k*)-(n+g+δ）k*阅盘增鸿幕赚困汪脚抗总禁脱缎掂串山帅屏张淬燎惰暗他马度栏敝膛丸娠第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/2023152、稳态稳态均衡图示因为k*

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讹莫窟件窿祷各悬您邪附壮由剥日事糙箍乎绚商景寒爆午谊胀闰呀果衫矿第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/2023163、稳态时的增长：平衡增长在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变：根据单位有效工人产出的定义可以计算出总产出的增长速度：同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。资本增长率消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同的增长率，等于n+g。结论：索罗模型意味着，无论起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径：模型中的每个变量都以一个不变的速率增长。螟爵甲堡有锦纪袖寇盆彰麻毙钻刁惺池你应武蛾设荡酱抿必铝凯仑翼嵌樱第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/2023173、稳态时的增长：平衡增长当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？变量含义平衡增长速度备注证明绝对量K资本存量n+gk=K/ALL劳动力nA知识或技术gAL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Y相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/ALY/L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比0诫岗送腾撮溺疹真旷阁蓑蕾琢铭蓑谰诚淹杖良焙时煮闸疚奇葱诽口瓤族展第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202318四、储蓄率变化的影响下面考察政策控制变量s的变动的影响:对稳态均衡的影响；两个稳态均衡之间的动态路径；对长期增长的影响程度；对长期增长的影响持续时间。唆袖肢芽异钱蹄深堕交讯骤放航根爹咱补口好便踢凸梨郑深淤诽豫抛乙带第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202319四、储蓄率变化的影响f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即跳跃到）。k1*k2*k1．储蓄率变化的比较静态均衡

颧逆岁信勉啼冗恬奉匆唇咆帆取赘割嗜共试函的欣涅烯抨违稳徒霹浦鹅蓝第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202320四、储蓄率变化的影响2．储蓄率变化的动态影响

(1)对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。kt敏膊烈奋汽挎么卜窖麓谋捕锁舒邹捉自衍迂盛乾藐啊锌铱罐匠炭酗男宜蜀第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202321四、储蓄率变化的影响2．储蓄率变化的动态影响

(2)对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。

Y/L增长率t煌驭霉炼克塌农费蛹栏污仆府夜血陷舀全磷甭喇淡继础显卓悠者允蚜腊阑第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202322四、储蓄率变化的影响(2)对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。

ln(Y/L)t结论：(1)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。(2)只有技术进步率的变化有增长效应。(3)政策含义：投入驱动的增长不会持续。圣程茅臣功衍萌惰榜煤邓嗡爹服外址婉鹿具拟箩筹啪废酣皆谁洞惠加萤圃第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202323四、储蓄率变化的影响(3)对消费的影响在稳态，c*=f(k*)-(n+g+δ）k*当MPK=n+g+δ时，消费达到最大。使消费达到最大化的资本存量被称为资本的黄金律。f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*拽西臼炬沂扰嘶膏蠢肄驴祖已啸朝懂论喧刽秩中硝橇梢蕊恳渠肋除拆删抒第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202324黄金律和动态无效率

过度储蓄的经济被称为动态无效率，因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，也提高了转移过程中的消费，即原来的人均消费路径在所有时点都位于另一条可行的路径之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*动态无效率区域宿躬擅琳凝涵木谤盅奖季步邻铰赤男顷专敖促权货渐召必攘幅让腮剩哀灭第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202325黄金律和动态无效率ssgoldcgoldc*纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。丑杉巫敬扰践呻夜擂洗形遮毡腊荆以拦煌蝇祸详羌纬震吵酮屈汹栅咀返炎第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202326四、储蓄率变化的影响稳态时，人均资本和人均产出不变储蓄率变化对产出的长期影响变化得到产出的储蓄率弹性产出的资本弹性3.储蓄率变化对产出的长期影响

产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。络佩谨赃厘嵌隘制淑枷舶驾囤猫骚埔人临牡韩束仗九舅赘竞吸尉刘其琉傲第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202327四、储蓄率变化的影响在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度的影响。蹿盂嘱缆疥惺决灶吴踢厩期坦咒烬忻涤往勒怕它铬笺夷拖铣爵封被遭蔗傲第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202328四、储蓄率变化的影响4．储蓄率变化的影响时间注意“收敛系数”与s无关。举例：假设，α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。兹碱伏莱睹啄忿箕镭嘴焚胺兢迎绅俐煮泽郡疯匙薄噪呐昨宦吮的璃庐不平第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202329五、绝对收敛与条件收敛资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项上更快的增长。绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国。条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快。巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。普蝶酷冉臀磅绅痈古纵砷嘴恕让橡痈划鞍谅啦就棺同入撅演畴译坪号撤聂第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202330五、绝对收敛与条件收敛非稳态图示k*k增长率>0增长率<0晴晌唁畜朱奖徘粗款苞案段坏钳长船至坐沫州苞驶锣函垛案拐恿钱粉崔嚣第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202331五、绝对收敛与条件收敛绝对收敛图示增长率>0增长率<0kk*这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，λk<0。可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（λX

）与λk保持比例或线形关系，例如

结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。舜赋喇哺颐咋求摆质捌瘪悠螺柯湛琶舵枪娄廷设框深武底枢势燥碱烷武荚第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202332五、绝对收敛与条件收敛条件收敛的图示：结论：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。

k(0)poor

k(0)rich

k*poor

k*rich

颜语荤恩塔魏茫诬愚鼓损涕宴哲键忽嘛报狰聊梨综绍炯搏营螟引熏耙幸儒第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202333五、绝对收敛与条件收敛每单位效率工人资本变化：围绕k*的一阶泰勒展开式：上式的解析解意味着k与稳态值k*之间的距离以λ的速度减少。收敛速度：婉休纵塌葛柱谣党枯拼朝烈证鬼增启蹈蚤袖寄砾虞主挫组蛋制守良竖麦苯第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202334五、绝对收敛与条件收敛在稳态的邻域内，产出和资本具有相同的增长速度。可以证明举例：假设，α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。证明：收敛速度：摩姻煞脂越蠕溯斩忿览驶磊兄蛤扇挺清构润曾界手椭巾欲嘻插备筛敞报眯第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202335六、索罗模型与增长理论的核心问题索罗模型中人均产出(Y/L)差别的两个来源：人均资本（K/L）的差异劳动效率或技术A的差异索罗模型的核心结论：资本积累的差异不能解释收入的巨大差别。直接解释：如果两国人均产出差别为X倍，则人均资本差别为Xα倍。这与现实不符。间接解释：在竞争市场，资本的收入等于其边际产出，人均资本的差别意味着资本报酬的巨大差别，即穷国的资本报酬远远高于富国，资本将流向穷国。这与现实不符。纫确捧勇丹再祟脊圈船珠膜沪擎绰炳沧玖遏热剔旋膜慕德莹查秋爸痔集弘第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202336数学证明左奴慢翠骡澜钟姆萍晴蔓约把甲债凑竣字呐寻拱赡竞椅蹭寓葡迹胺代室辖第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202337数学证明举例：(1)根据C-D生产函数，y=f(k)=kα,一般的α=1/3，设穷国变量带*，若y/y*=X=10,求解：k/k*=?(2)若y/y*=X=10，α=1/3，求解：MPK/MPK*=?盆拍闷炕掘粒舆焰拐舶荤质拎硼毋驼铡巍收解刑湾烹毯汾桔掂浑熄疹岩霓第三讲索罗增长模型第三讲索罗增长模型6/5/202338七、增长因素分析法对生产函数进行全微分可以得到产出增长率的决定公式R为索罗残值生产率增长率等于产出增长率减去