高考数学总复习-第七章-第九节抛物线(一)课件-文

第九节抛物线(一)第七章平面(píngmiàn)解析几何第一页，共50页。考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单(jiǎndān)性质．2．理解数形结合的思想.第二页，共50页。课前自修知识(zhīshi)梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直(chuízhí)的一条直线．第三页，共50页。二、抛物线的类型(lèixíng)、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦点FFFF准线x=-x=y=-y=第四页，共50页。标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1焦半径=+x1=+=+y1=+第五页，共50页。三、圆锥曲线的统一定义(dìngyì)(属知识拓展)平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．第六页，共50页。基础(jīchǔ)自测1．(2012·东莞市一模)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线(zhíxiàn)y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 () A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x解析：依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线(zhíxiàn)y＝x与抛物线C交于A，B两点，则点A在原点，因为P(2,2)为AB的中点，所以点B的坐标为(4,4)，代入抛物线方程得p＝2.故选A.答案：A第七页，共50页。2.(2012·西安市月考)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离(jùlí)是4，则点P到该抛物线焦点的距离(jùlí)是()A．4B．6C．8D．12解析：据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于(děngyú)其到准线的距离，即|PF|＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.故选B.答案：B第八页，共50页。3．若动点P到点F(2,0)的距离(jùlí)与它到直线x+2=0的距离(jùlí)相等，则点P的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以(suǒyǐ)p＝4，所以(suǒyǐ)其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x第九页，共50页。4．(2011·厦门市模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆(tuǒyuán)=1的右焦点重合，则p的值为______．解析(jiěxī)：椭圆＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.答案：4第十页，共50页。考点探究考点(kǎodiǎn)一求抛物线的标准(biāozhǔn)方程及准线方程【例1】求满足下列条件的抛物线的标准(biāozhǔn)方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0上；(3)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)．第十一页，共50页。思路点拨：对于(1)与(2)从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口(kāikǒu)方向两个条件，否则，应展开相应的讨论；对于(3)由已知“抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上”，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，利用抛物线的定义可解决．第十二页，共50页。解析(jiěxī)：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.第十三页，共50页。(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x.焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应(duìyìng)的准线方程分别是x＝－4，y＝2.(3)设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.第十四页，共50页。∵Q(6,0)在线段(xiànduàn)AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2，故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.第十五页，共50页。点评：(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，再由条件确定参数p的值．这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去(shīqù)一解．(2)应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个．如本题第(3)小题根据抛物线的顶点在原点及顶点在x轴设出方程，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行，难度不大，但基础性较强．第十六页，共50页。变式探究(tànjiū)1.(1)设斜率为2的直线(zhíxiàn)l过抛物线y2=ax(a¹0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2=±4xB．y2=±8xC．y2=4xD．y2=8x(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线过点(4，-2)，则抛物线的标准方程是____________.第十七页，共50页。解析：(1)抛物线焦点F坐标为，故直线(zhíxiàn)l的方程为y＝2，它与y轴交点坐标为A，∴S△OAF＝××＝4，得a2＝64，a＝±8，即抛物线方程为y2＝±8x.故选B.(2)设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，因抛物线过点(4，－2)，∴42＝－2p×(－2)，p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.答案：(1)B(2)x2＝－8y第十八页，共50页。考点(kǎodiǎn)二求以非标准方程(fāngchéng)形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程(fāngchéng)【例2】设a¹0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为()A．(a,0)B．(0，a)C.D．随a符号而定思路点拨(diǎnbo)：将抛物线方程化为标准形式，对照标准方程即可求得．解析：由y＝4ax2得x2＝y，所以焦点F的坐标是.故选C.答案：C第十九页，共50页。变式探究(tànjiū)2．抛物线x=ay2的焦点(jiāodiǎn)F是椭圆=1的左焦点(jiāodiǎn)，则a的值为______________．第二十页，共50页。考点(kǎodiǎn)三利用抛物线的定义(dìngyì)求距离和的最小值【例3】设P是抛物线y2=4x上的一动点．(1)求点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值．思路点拨：由抛物线方程(fāngchéng)为y2=4x知此抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-2,1)与到点F(1,0)的距离最小的问题，从而获得问题的解答．第二十一页，共50页。解析：(1)由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，则|AP|+|PF|≥|AF|==，从而(cóngér)知点P到点A(-2,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到点A(-2,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线(zhǔnxiàn)于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|=|P1F|，那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为4.第二十二页，共50页。点评：与抛物线有关(yǒuguān)的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关(yǒuguān)，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度．本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解．第二十三页，共50页。变式探究(tànjiū)3．(2012·泰安市月考)已知点M是抛物线y2=4x上的一点(yīdiǎn)，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为____________.解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线x＝－1的准线的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此(yīncǐ)所求的最小值为4.答案：4第二十四页，共50页。考点(kǎodiǎn)四与焦点(jiāodiǎn)弦有关的问题【例4】(2012·安徽卷)过抛物线y2=4x的焦点F的直线(zhíxiàn)交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为()A.B.C.D．2第二十五页，共50页。点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义(dìngyì)来解决，因此正确理解和掌握抛物线的定义(dìngyì)和性质，将会给解题带来方便．第二十六页，共50页。4．(2011·江西(jiānɡxī)卷)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且=9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求l的值．解析：(1)直线(zhíxiàn)AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.变式探究(tànjiū)第二十七页，共50页。(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而(cóngér)x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而(cóngér)A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.第二十八页，共50页。考点(kǎodiǎn)五抛物线与其他知识(zhīshi)的综合【例5】(2011·广州市一模)已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标(zuòbiāo)原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．第二十九页，共50页。第三十页，共50页。第三十一页，共50页。第三十二页，共50页。第三十三页，共50页。第三十四页，共50页。变式探究(tànjiū)5．(2012·肇庆市一模)已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程． (2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程． (3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1，y1)，使得(shǐde)过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．第三十五页，共50页。解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意(tíyì)得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.第三十六页，共50页。第三十七页，共50页。易错警示(jǐnɡshì)忽略(hūlüè)多解性致误求到y轴的距离比到点的距离小2的动点P的轨迹方程．学生错解：即为动点到点(2,0)的距离等于(děngyú)到直线x=-2的距离，由抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线，其方程为y2=8x.错因分析：上述解法忽略了当动点“在过定点且与定直线垂直的射线上”也符合题意这一情形，因而产生漏解，因此要注意正确理解和掌握抛物线的定义和性质和注意问题的多解性，养成严密思考问题的习惯．第三十八页，共50页。正解：依题意可知，动点P的轨迹需分类讨论：(1)当动点P在过定点(2,0)且与定直线(y轴)垂直的射线(即x轴的非正半轴)上时，其轨迹为一条射线，故其方程为y=0.(2)当动点P不在过定点(2,0)且与定直线(y轴)垂直的射线(即x轴的非正半轴)上时，动点P到点(2,0)的距离(jùlí)等于到直线x=-2的距离(jùlí)，其轨迹是一条抛物线，故其方程为y2=8x.综上可得动点P的轨迹方程为y2=8x或y=0.第三十九页，共50页。课时升华本课时重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质，难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用．在复习过程中注意以下几点：1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．3．由于抛物线的离心率(xīnlǜ)e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的．第四十页，共50页。4．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题(jiětí)非常有益．5．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．6．在解题(jiětí)中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．第四十一页，共50页。7．焦半径：抛物线上的点M到焦点F的距离叫焦半径．8．抛物线中与焦点弦有关(yǒuguān)的一些性质