高考数学总复习(整合考点典例精析+深化理解)第八章-第六节空间图形的垂直关系精讲课件-文

第六节空间图形(kōngjiāntúxíng)的垂直关系第八章第一页，共47页。【例1】(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积(tǐjī)；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.直线(zhíxiàn)与平面垂直的证明第二页，共47页。自主(zìzhǔ)解答：第三页，共47页。(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C′共线(ɡònɡxiàn)时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2，所以CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，第四页，共47页。所以(suǒyǐ)B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，所以(suǒyǐ)CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，所以(suǒyǐ)B1M⊥平面MAC.点评：证明直线与平面的垂直，除了使用线面垂直的判定定理外，还有一些结论可以使用：(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个(zhège)平面，(2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个，(3)利用面面垂直的性质定理．第五页，共47页。1．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证(qiúzhèng)：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．变式探究(tànjiū)第六页，共47页。(1)证明(zhèngmíng)：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A且AD，AE⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.第七页，共47页。(2)解析(jiěxī)：(法一)在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6，∴DE＝＝3.过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB.∵AD∩AB＝A，∴EF⊥平面ABCD.∵AD·EF＝AE·DE，第八页，共47页。第九页，共47页。连接(liánjiē)BD，则凸多面体ABCDE分割为三棱锥BCDE和三棱锥BADE.由(1)知，CD⊥DE.又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE.∴点B到平面CDE的距离(jùlí)为AE的长度．第十页，共47页。第十一页，共47页。两直线垂直(chuízhí)的证明【例2】(2013·潮州二模)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在(suǒzài)平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证(qiúzhèng)：PA⊥CD；(2)求二面角CPBA的余弦值．第十二页，共47页。思路点拨：(1)先利用平面几何知识与线面垂直的性质(xìngzhì)证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直；(2)通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．自主(zìzhǔ)解答：第十三页，共47页。（1）证明：连接OC，由3AD＝BD知，点D为AO的中点，又因为(yīnwèi)AB为圆的直径，所以AC⊥BC，因为(yīnwèi)AC＝BC，所以∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，所以CD⊥AO.因为(yīnwèi)点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，PD∩AO＝D，第十四页，共47页。所以(suǒyǐ)CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以(suǒyǐ)PA⊥CD.(2)解析：过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，由(1)知CD⊥平面(píngmiàn)PAB，又PB⊂平面(píngmiàn)PAB，所以CD⊥PB，又DE∩CD＝D，所以PB⊥平面(píngmiàn)CDE，又CE⊂平面(píngmiàn)CDE，所以CE⊥PB，所以∠DEC为二面角C-PB-A的平面(píngmiàn)角．由(1)可知CD＝，PD＝BD＝3AD，第十五页，共47页。点评：证明两直线(zhíxiàn)垂直的方法：(1)两条平行直线(zhíxiàn)中的一条和第三条直线(zhíxiàn)垂直，则另一条也和第三条直线(zhíxiàn)垂直．(2)利用“线面垂直的定义”，即“一条直线(zhíxiàn)垂直于一个平面，则这条直线(zhíxiàn)垂直于这个平面内的任意一条直线(zhíxiàn)”．第十六页，共47页。变式探究(tànjiū)2．(2013·安徽卷)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形(línɡxínɡ)，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．第十七页，共47页。(1)证明：连接(liánjiē)BD，AC交于O点．∵PB＝PD，∴PO⊥BD.又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.而AC∩PO＝O，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.第十八页，共47页。第十九页，共47页。【例3】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面(píngmiàn)ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面(píngmiàn)BDM⊥平面(píngmiàn)ECA；(3)平面(píngmiàn)DEA⊥平面(píngmiàn)ECA.平面与平面垂直(chuízhí)的证明第二十页，共47页。思路点拨：(1)证明DE＝DA，可以通过图形分割，证明三角形全等．(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面．由(1)知DM⊥EA，取AC中点N，连接MN，NB，易得四边形MNBD是矩形(jǔxíng)．从而证明DM⊥平面ECA.证明(zhèngmíng)：(1)如图所示，取EC中点F，连接DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC.∴DB⊥AB，EC⊥BC.∵BD∥CE，BD＝CE＝FC，第二十一页，共47页。则四边形FCBD是矩形(jǔxíng)，DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ADB.∴DE＝DA.(2)如右图所示，取AC中点(zhōnɡdiǎn)N，连接MN，NB，∵M是EA的中点(zhōnɡdiǎn)，第二十二页，共47页。可得四边形MNBD是矩形，于是(yúshì)DM⊥MN.∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA.而DM⊂平面BDM，则平面ECA⊥平面BDM.第二十三页，共47页。(3)∵由(2)知DM⊥平面ECA，DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.点评：面面垂直的证明方法：(1)利用“面面垂直的定义(dìngyì)”；(2)利用面面垂直的判定定理．第二十四页，共47页。变式探究(tànjiū)3．(2013·江门一模)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC.已知CD＝BE，AB＝4，tan∠EAB＝.(1)证明(zhèngmíng)：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥CADE体积最大时，求三棱锥CADE的高．第二十五页，共47页。(1)证明：因为AB是直径(zhíjìng)，所以BC⊥AC，因为△ABC是△AED的投影，所以CD⊥平面ABC，则CD⊥BC，因为CD∩AC＝C，所以BC⊥平面ACD，因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，又因为CD＝BE，所以BCDE是平行四边形，所以BC∥DE，则DE⊥平面ACD，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD；第二十六页，共47页。第二十七页，共47页。第二十八页，共47页。面面垂直性质(xìngzhì)的运用【例4】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD＝2AB＝2AD.(1)求证：BC⊥BE；(2)在EC上找一点(yīdiǎn)M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．第二十九页，共47页。第三十页，共47页。∴△BDC为等腰直角三角形．∴BD⊥BC.又∵BC⊥DE，∴BC⊥平面(píngmiàn)BDE.∴BC⊥BE.第三十一页，共47页。(2)解析：取EC中点(zhōnɡdiǎn)M，则有BM∥平面ADEF.证明如下：连接MN.由(1)知BN∥AD，∴BN∥平面ADEF.又∵M，N分别为CE，CD的中点(zhōnɡdiǎn)，∴MN∥DE.则MN∥平面ADEF.第三十二页，共47页。∴平面(píngmiàn)BMN∥平面(píngmiàn)ADEF.∴BM∥平面(píngmiàn)ADEF.点评(diǎnpínɡ)：面面垂直的性质常用来证明线面垂直．第三十三页，共47页。变式探究(tànjiū)4．(2013·江苏卷)如图，在三棱锥SABC中，平面(píngmiàn)SAB⊥平面(píngmiàn)SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点．求证：(1)平面(píngmiàn)EFG∥平面(píngmiàn)ABC；(2)BC⊥SA.第三十四页，共47页。证明：(1)∵E，G分别是侧棱SA，SC的中点(zhōnɡdiǎn)，∴EG∥AC，∵AC在平面ABC中，EG在平面外，∴EG∥平面ABC，∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F为SB中点(zhōnɡdiǎn)，∴EF∥AB.∵AB在平面ABC中，EF在平面外，∴EF∥平面ABC，∵EF与EG相交于E，EF，EG在平面EFG中，∴平面EFG∥平面ABC.第三十五页，共47页。(2)∵平面(píngmiàn)SAB⊥平面(píngmiàn)SBC，SB为交线，∵AF在平面(píngmiàn)SAB中，AF⊥SB∴AF⊥平面(píngmiàn)SBC，∴AF⊥BC.∵BC⊥AB，AF与AB相交于A，AF，AB在平面(píngmiàn)SAB中，∴BC⊥平面(píngmiàn)SAB，∴BC⊥SA.第三十六页，共47页。空间线面关系(guānxì)的探索性问题【例5】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点(zhōnɡdiǎn)．(1)求证：C1F∥平面DEG；(2)求三棱锥D1A1AE的体积；(3)试在棱CD上求一点M，使D1M⊥平面DEG.第三十七页，共47页。思路点拨：(1)连接DG，证明(zhèngmíng)C1F∥DG，再用线面平行的判定定理证明(zhèngmíng)；(2)确认A1D1是三棱锥的高；(3)不论点M在线段CD上的什么位置，都有EG⊥D1M，因此只需在CD上确定点M，使得D1M⊥DG即可．(1)证明(zhèngmíng)：在正方体ABCDA1B1C1D1中，F，G分别为棱DD1和CC1的中点，∴DF∥GC1，且DF＝GC1.∴四边形DGC1F是平行四边形．∴C1F∥DG.第三十八页，共47页。又C1F⊄平面(píngmiàn)DEG，DG⊂平面(píngmiàn)DEG，∴C1F∥平面(píngmiàn)DEG.(2)解析(jiěxī)：在正方体ABCDA1B1C1D1中，有A1D1⊥平面AA1E.∴A1D1是三棱锥D1A1AE的高，A1D1＝1.第三十九页，共47页。(3)解析：当M为棱CD的中点时，有D1M⊥平面(píngmiàn)DEG.理由如下：在正方体ABCDA1B1C1D1中，有BC⊥平面(píngmiàn)CDD1C1，又∵D1M⊂平面(píngmiàn)CDD1C1，BC∥EG，∴EG⊥D1M.又∵M为CD的中点，第四十页，共47页。∴tan∠GDC＝tan∠MD1D＝.∴∠GDC＝∠MD1D.∴∠MD1D＋∠D1DG＝∠GDC＋∠D1DG＝90°.∴∠DD1M＝90°.∴D1M⊥DG.又DG∩EG＝G，∴D1M⊥平面(píngmiàn)DEG.第四十一页，共47页。点评：第(1)题也可以(kěyǐ)用面面平行的性质定理来证明：连接B1F，则可证明平面B1C1F∥平面DEG；第(2)题也可以(kěyǐ)将平面AA1D1作为底面，E到AA1的距离为高，求得体积；第(3)题是探索性问题，常采用根据题设条件和结论，猜出要探索的结论，再证明其正确性．第四十二页，共47页。变式探究