高考数学总复习-第五章-第五节数列的求和课件-理

第五节数列(shùliè)的求和第五章数列第一页，共41页。考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些(zhèxiē)方法解决相应问题.第二页，共41页。课前自修知识(zhīshi)梳理第三页，共41页。二、错位相减法求和例如是等差数列(děnɡchāshùliè)，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法．第四页，共41页。第五页，共41页。七、倒序相加法求和如果(rúguǒ)一个数列{an}的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．八、其他方法求和如归纳猜想法，奇偶分拆法等．第六页，共41页。基础(jīchǔ)自测1．(2012·南阳一中考试(kǎoshì))设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27解析：由等差数列的性质(xìngzhì)知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴9,36－9，S9－36成等差数列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故选B.答案：B第七页，共41页。2．(2012·福州市模拟)在数列{an}中，如果存在非零的常数T，使得an＋T＝an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期(zhōuqī)数列，其中T叫做数列{an}的周期(zhōuqī)．已知数列{xn}满足xn＋2＝|xn＋1－xn|(x∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的周期(zhōuqī)为3时，则数列{xn}的前2012项的和S2012为()A．670B．1338C．1339D．1342答案(dáàn)：D第八页，共41页。3．(2012·山西(shānxī)四校联考)等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列的前n项和为，则n的值为____________．第九页，共41页。4．(2011·巢湖市模拟)如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线(qūxiàn)CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线(qūxiàn)CA1A2A3称为螺旋线．旋转一圈．然后又以A为圆心AA3为半径画弧……这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln＝_______(用π表示即可).第十页，共41页。第十一页，共41页。考点探究考点(kǎodiǎn)一分组后，可用公式(gōngshì)求和︸n个1思路点拨：通过分组，直接(zhíjiē)用公式求和．第十二页，共41页。k个1第十三页，共41页。第十四页，共41页。点评：运用等比数列前n项和公式时，要注意按公比q＝1或q≠1进行(jìnxíng)讨论．第十五页，共41页。变式探究(tànjiū)1．(2012·北京市朝阳区期中)在递增(dìzēng)数列{an}中，Sn表示数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＝an＋c(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，S3成等比数列．(1)求c的值；(2)若bn＋an＝，n∈N*，求b2＋b4＋…＋b2n.解析(jiěxī)：(1)∵an＋1＝an＋c，a1＝1，c为常数，∴an＝1＋(n－1)c，则a2＝1＋c，S3＝1＋(1＋c)＋(1＋2c)＝3＋3c.又a1，a2，S3成等比数列，所以(1＋c)2＝3＋3c，解得c＝－1或c＝2.由于{an}是递增数列，舍去c＝－1，故c＝2.第十六页，共41页。第十七页，共41页。考点(kǎodiǎn)二错位(cuòwèi)相减法求和【例2】已知数列(shùliè)1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．思路点拨：已知数列各项是等差数列1,3,5，…，2n－1与等比数列a0，a，a2，…，an－1对应项的积，可用错位相减法求和．第十八页，共41页。解析(jiěxī)：设Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1，①①×a，得aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an，②①－②，(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，当a≠1时，点评：若数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则求数列{anbn}的前n项和的方法(fāngfǎ)就用错位相减法．第十九页，共41页。变式探究(tànjiū)2．(2012·武汉市武昌区调研改编)已知数列{an}满足(mǎnzú)a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n(n∈N*)．(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.第二十页，共41页。第二十一页，共41页。第二十二页，共41页。考点(kǎodiǎn)三裂项相消法求和(qiúhé)第二十三页，共41页。第二十四页，共41页。变式探究(tànjiū)3．(2012·安徽江南十校联考)在等比数列{an}中，a1>0(n∈N*)，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得(shǐde)＋＋＋…＋<k对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．第二十五页，共41页。第二十六页，共41页。考点(kǎodiǎn)四倒序(dǎoxù)相加法求和第二十七页，共41页。第二十八页，共41页。点评：等差数列求和公式的推导方法叫做倒序(dǎoxù)求和法．如果一个数列{an}满足a1＋an＝a2＋an－1＝…，其前n项和Sn就可以用倒序(dǎoxù)求和法求解．第二十九页，共41页。变式探究(tànjiū)4．求值：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°.解析(jiěxī)：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°，①倒序得S＝sin289°+sin288°+sin287°+…+sin22°+sin21°,即S＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋cos289°，②①＋②得2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝＝44.5.第三十页，共41页。课时升华1．求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法(fāngfǎ)．2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法(fāngfǎ)，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．3．数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式的和化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和．第三十一页，共41页。4．解决非等差、等比数列的求和，主要(zhǔyào)有两种思路．(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法，是高考重点考查的内容，应熟练掌握.第三十二页，共41页。感悟高考品味(pǐnwèi)高考第三十三页，共41页。第三十四页，共41页。2．(2012·天津卷)已知{an}是等差数列(shùliè)，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(shùliè)，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列(shùliè){an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋an－2b3＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．第三十五页，共41页。第三十六页，共41页。(法二)由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①∴2Tn＝22an＋23an－1＋24an－2＋…＋2na2＋2n＋1a1.②由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n