W250线性代数-期末复习五六及答案

线性代数练习五及其答案一、填空题345.一35一--八一DO一、1、设D= D=510，则D=1 = 。1 12， 2 OD200 22、四阶方阵A、B,已知A=A,且B=2A-i—(2A>1，则IB=3、三阶方阵A的特征值为1,-1,2,且B=A3-5A2，则B的特征值为4、若n阶方阵A满足关系式A2-3A-2E=O,若其中E是单位阵，那么AT二5、设α=(1,1,1),1α=(1, 2,23）,α=（1, 3,t）线性相关，则t=3二、单项选择题1、若方程x—103x2X+13x—2 2 1—6“成立，则X是—4(A)-2或3；(C)-2或-3；(B)-3或2；(D)3或2；2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为(A)(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3；(B)(A—B)(A+B)=A2—B2；(C)A2—E=(A—E)(A+E)；3、设A为可逆n阶方阵，则Q*)=(A)AlE； (B)A；(D)(AB)2=A2B2(C)AnA；(D)∣A∣n-2A；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵(A)「100、、002)「100、(B)0101011)(C)(0—110—D1,(D)(00100)—2,1001JU00J5、下列命题正确的是k,,k,使kα+kα+(A)如果有全为零的数k,k13m11 22+kα=θ，则α,α，mm 1 22，ɑ线性无关;m(B)向量组(α2若其中有→向量可由向量组线性表示，则%α2，一，ɑ线性相关;m,,ɑm(C)向量组(α2的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关;,,ɑm(D)向量组a/α,,2ɑ线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。m6、(α2，和。1β2，’‘，β为两个n维向量组，且mα=β+β123+…+βm,ɑm,α=β+β++β213 m⅞»■+≡⅞B«9+9⅞≡⅞ιl-⅞a-B*I+-B*9α=β+β++βm1 2 m—1则下列结论正确的是(A)R(α,α,1 2,α)<R(β,β,m 1 2,β)m(B)R(α1，%，,α)>R(β,β,,β)m(C)R(α1,α)=R(β,P,,β)m(D)无法判定,九mm1 21 27、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有A=EA相似于E (C)A2=E(D)A合同于E8、若1口口口是线性方程组AX=。的基础解系，(A)解向量(B)基础解系(C)通解;贝∣η+η+η+η是AX=O的12 3 4(D)A的行向量；9、λ,λ都是n阶矩阵A的特征值，λ≠λ，且X和X分别是对应于λ和λ的特征12121212向量，当k,k满足什么条件时，X=kX+kX必是矩阵A的特征向量。1211 22k=0且k=0；1 2k≠0,k≠012(C)kk≠0 (D)k≠0而k=012 1 2一1-10一10、下列哪一个二次型的矩阵是一1 300 00f(X,X)=X2-2XX+3X2；1 2 1 22 2f(X,X)=X2-XX+3X2;1 2 1 12 2f(X,X,X)=X2-2XX+3X2；1 2 3 1 22 2f(X,X,X)=X2-XX-XX+3X2；1 2 3 1 12 23 2三、计算题-α-P1、设3阶矩阵，A=2，B=N，其中a，P，N，N均是3维行向量，且已知22233nJ3」N3行列式IA=18,B=2，求∣A+B∣2、解矩阵方程AX+B=X,其中0A=ZI101-111，B=200-15-33、设有三维列向量组1+λ11α=

1110a=1+λ，a=1，P=λ2311+λλ2λ为何值时:(1)P可由α，α，α线性表示，且表示式是唯一的;1 2 3⑵P不能由％α2，。3线性表示;(3)P可由α，α，α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。1234、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足R(A)=3，N1，N2,N3是AX=P的三个解向量，其中(2、n—4O2JO

γ+γ

2 3求AX二β的通解。15、已知A=B,且A="1a1OOO1b,B=010b1002求a,b6、齐次线性方程组2x-x+3x=01 2 3<X-3x+4x=0>1 2 3-X+2x+ax=0V1 2 j中当a为何值时，有非零解，并求出通解。7、用正交变换法化二次型/(%,%,%)=4%2+4%2+4%2+4XX+4xX+4xx为标1 2 3 1 2 3 12 13 23准型，并求出正交变换。四、证明题(7分)设A为HiXn矩阵，B为n阶矩阵，已知尺(A)=Il证明：若AB=。，则B=O线性代数练习五参考答案一填空题1、-10； 2、81； 3、-4,—6,—12； 4、1(A—3E)； 5、5；二、单项选择题题号J _2 _3 _4 _5 6_7 _8 _9 10 答案番号ACDBCCCADC三、计算题1、a+βa+β∣A+B∣=3γ2=12γ4γ3ɑ=12γ2γ3+12βγ2γ3=2ɑγ2γ3+12βγ2γ3γ232、=2×18+12×2=60AX+B=Xn(E—A)X=B1-1 0IE-Al=10-1=3≠010 2X=(E-A)1B0-30(E-A>1=132121-11XW0-3022-1111125-1

0-3321-10-13、设β=kα+kα+kα221133囿二1+λ111

1+λ111

1+λ二(λ+3)1

1+λ111

1+λ二九2(九+3)≠0nλ≠0且λ≠-3时,方程组有唯一解111即β可由α,1(2)当λ=-3时,ɑ3唯一线性表示，ɑ2G)=-2111-2111-20-39-2101-1

0-326J→100jR(A)=2,R(A)=3••・无解即当λ=-3时,*(3)当λ=0时/、n11G)=111U11β不能由α1，α2，α3线性表示0→0000J 100001 (1110)00JR(A)=R(A)=1<3有无穷组解（-1、••基础解系为：η二1η2-1

011I0J，J通解为1122(-c-c1c1IC2当λ=0时β可由α1α3线性表示为无穷多种形式β=(-c-c)α1 2 1+cα+cα12 23C1，C2为任意常数4、 R(A)=3<4∙∙∙AX=θ的基础解系含一个解Aγ=βi（i=1，2，3）X=Cη+Cη，。2，2J口10(1)3(1)二（丫户2）Y2+Y3）二—4-3为基础解系设η(1Λ-2)≠0-2)A[2(γι+γ2)卜2AyI+1Aγ2 2=β∙∙∙U0=2(γ1+γ2)=(1)―2为特解（8分）故AX=β的通解为X=u0+w-2-4C-3CC为任意常数1+C)1-2C)5、AB .∙.∣λE-Al=∣λE-B九一1 —Q∣λE・-Af=-a λ-1-1 -b-1-b=λ3-3λ2+(2-a2-b2)λ+(a-b)2

λ-1λ∣λE-B∣=-a00 0λ-1 0=λ(λ-1)(λ-2)=λ3-3λ2+2λ0 λ-2.∙.λ3-3λ2+(2-a2-b2)λ+(a-b)2=λ3-3λ2+2λ比较同次幕系数有2-a2-b2=2(a-b)2=0解之，得a=b=06、A=1—1-32a—3,当a=3时， R(A)=2<3有非零解基础解系为η通解为X=W C为任意常数λ-47、∣λE—Al=-2—2—2 —2λ—4 —2=(λ—2)2(λ-8)=0—2 λ—4特征值为λ=8，λ=λ=21 2 3特征向量为η11VlJη2η3f0]1正交单位化为1UJβ^2ITJITJ(2「—131 (014→10a) (0011Jβ1，(1)1，)-1∖1，1ITJ(1)(—D0，W312标7隹型为f=8y2+2y2+2y2

1 2 31∖正交变换为X=1一√31一√31一√3√6102J6.ɪ.ɪ正袤)Y四、证明题()\o"CurrentDocument"B=(β,P, ,P)1 2 nAB=A(β,β, ,β)=(Aβ,Aβ, ,Aβ)=O12 n 1 2 n•••.∙.Aβ=θ(i=1,2,,n)i∙∙∙B的每一列向量为齐次方程组AX=θ的解…由于R(A)=n λ.AX=θ只有零解.∙.B=O线性代数练习六及其答案、填空题1—3.若0 5—1 21X=0，则X=—2λX+X+X=01 2 3.若齐次线性方程组IX+λX+X=0只有零解，则λ应满足1 2 3X+X+X=0123.已知矩阵A，B，C=（C）,满足AC=CB,则A与B分别是

ijSXn阶矩阵。4．a11矩”=a21C 、a12a22的行向量组线性a31aJ325．n阶方阵A满足A2—3A—E=0，则A-1=、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X”。）.若行列式D中每个元素都大于零，则D〉0。（）.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）.向量组aJaJ…，“〃中,如果a1与aJ对应的分量成比例,则向量组aJa2,…，a.线性相关。（4.A=0100)100000010010，则A-1=A。()5.若λ为可逆矩阵A的特征值，则A-1的特征值为λ。（）三、单项选择题1.设A为n阶矩阵，且A=2，则IAIATl=（ ）。①2n②2n—1③2n+1④42.n维向量组受αJ…，α’（3GSGn）线性无关的充要条件是（）。①a,α,12，ɑ中任意两个向量都线性无关s②ɑ，ɑ，12，α中存在一个向量不能用其余向量线性表示s③a」αJ…,α,中任一个向量都不能用其余向量线性表示④a,a，…，a中不含零向量1 2 S.下列命题中正确的是（ ）。①任意n个n+1维向量线性相关②任意n个n+1维向量线性无关③任意n+1个n维向量线性相关④任意n+1个n维向量线性无关.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是（①若A，B均可逆，则A+B可逆AB可逆③若A+B可逆，则A—B可逆）。②若A，B均可逆，则④若A+B可逆，则A，B均可逆5.若〉V2,V3,V4是线性方程组AX=0的基础解系，则VJV2+V「V4是AX=0的（）①解向量②基础解系 ③通解四、计算题④A的行向量x+abca1.计算行列式ax+bc

bx+cabcd

d

dx+d2.设AB=A+2B，HAJ300[求B。、014,3.(1-10 0)(2134λ01-100213设B=00 1-1，C=0021且矩阵X满足关系式[00 0 1J[0002JX(C—B),=E,求X。a4.问a取何值时，下列向量组线性相关？α1=-2，α2&IJ(1)一2a，a3-1(1)一2_1一2aVJλx+x+x=λ—31 2 35.λ为何值时，线性方程组1X+λX+X=-2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程1 2 3x+x+λx=-212 3组有无穷多解时求其通解。146.设α=…α120

vj√(2\9-1V1(3),α30-3，α410-7.求此向量组的秩和一个极大无关-3JV-1I-7J组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。(100、7.设A=010，求A的特征值及对应的特征向量。、021J五、证明题若A是n阶方阵，且AAT=I,|Al=-1，证明IA+1∖=0。其中I为单位矩阵。线性代数练习六答案、填空题1.52.λ≠13.s×s，n×n4.相关5.A-3E二、判断正误1.×2.√3.√4. √5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4. ②5.①四、计算题1.x+abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+a+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdabcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcd0x00=(X+a+b+c+d)bd=(X+a+b+c+d)0=(X+a+b+c+d)x31x+c0x01bcx+d000X2.(A—2E)B=A2 -1-1(A-2E)-1=2-2-1-1 1 1-5-2-2B=(A-2E)-1A=4-3-2-2233.12C—B=0010032104321，(C-B),=1234000100210321L-B)1=1-21001-2100100,01X=E^(C