平面向量专题复习及平面向量专题复习知识梳理

平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()A．B.eq\f(1,2)C．D.eq\f(1,2)2．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊城二模)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c4．若典例2条件变为：若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e1和e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．[变式1]在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)2．(2015·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[题点发散1]在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.[题点发散2]在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，求eq\f(m,n)的值．[题点发散3]若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)2.(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________.4．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝eq\f(1,2)(＋)，则·＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于()A．2B．4C．6D．82．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)2．(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.3．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________________．4．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(A．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）向量求和的三角形法则：；（2）向量求和的平行四边形法则：；（3）向量求和的多边形法则：；（4）向量减法法则：；结论１在中（加）或（减）称为向量三角形；推广可有，称为封闭折线．（5）数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：；数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律：;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。如：①在平行四边形ABCD中,已知,,,,试用表示.②如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．2.向量共线的条件：结论2（平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使．特别地，三点共线．3.轴上向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标（或数量）。设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。4.向量的分解：结论3（平面向量基本定理）设是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使．这里称为向量关于基底的分解式。特别地若，则有①称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②称为中点向量式（为中点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成∶的两条线段。②求证三条高相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量在基底下的坐标，记作。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有：；；；；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为，其中为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式；（坐标形式）③即（用于求模）；④；（坐标形式）=5\*GB3⑤（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例：。如：①已知平面上直线l的方向向量=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和，且λ，其中λ=（）A．B．-C．2D．-2②模公式的应用举例：（1）求证:，其几何意义是。（2）若,则（3）已知,,,则与的夹角为（4）已知中每两个向量夹角都为且,,,求值.7.直线的方向向量，法向量，若再已知定点，而且点，是单位法向量，则点P到直线的距离公式为：。（向量形式）8.结论５：，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2.关于垂心H，有性质；3.关于外心O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。如：=1\*GB3①已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心=2\*GB3②在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是=3\*GB3③设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=。=4\*GB3④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得（）；（2）的重心G的坐标公式为．（3）直线的方向向量是什么？给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就是说：直线的方向向量是，直线的法向量是．例如：已知为坐标原点，点的坐标分别为,点运动时，满足，（1）求动点的轨迹的方程．（2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程体验练习题一：一、选择题1．已知平面向量a=，b=，则向量()A平行于轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为()A．6B．2C．3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．4．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()A．B．C．D．5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）（A）（B）（C）（D）6．8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A． B． C． D．7．3．已知平面向量，，且//，则＝（）A、B、C、D、8．5．已知平面向量，，与垂直，则是()A．1B．1C．2D．29．4．若向量满足，与的夹角为，则()A．B．C．D．210．已知平面向量，则向量()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是()（A）（B）（C）（D）12．已知向量，若与垂直，则()A．B．C．D．4二、填空题1．若平面向量，满足，平行于轴，，则．2．已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=3．已知向量和的夹角为，，则．4．已知向量，，且，则=．5．设O、A、B、C为平面上四个点，＝，＝，＝，且，，则＝_______．6．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则______．（用表示）7.设向量，（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥..8．已知向量和，且求的值.体验练习题二：一、选择题：1．若向量a=（1，2），b=（1，-3），则向量a与b的夹角等于（）ABCD2．在平面直角坐标系中作矩形,已知,则eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))的值为（）A0B7C25D3．向量eq\o(a,\s\up7(→)),eq\o(b,\s\up7(→))的夹角为120°，│eq\o(a,\s\up7(→))│＝│eq\o(a,\s\up7(→))│＝2，则eq\o(a,\s\up7(→))·（eq\o(a,\s\up7(→))－eq\o(b,\s\up7(→))）等于（）AB2CD64．已知向量≠，||＝1，对任意实数t，恒有|－t||－|，则（）A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）（A）（B）（C）（D）6．已知向量，如果，那么()A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向7．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向二．填空题：8．已知向量．若向量，则实数的值是 ；9．设O为坐标原点，向量．将绕着点按逆时针方向旋转得到向量,则的坐标为___