k52006高考第一轮复习数：12.2离散型随机变量的期望值和方差

知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考12.2离散型随机变量的期望值和方差●知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.●点击双基1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A.Eξ=3.5，Dξ=3.52 B.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5 D.Eξ=3.5，Dξ=解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=，∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5，Dξ=［（1－3.5）2+（2－3.5）2+（3－3.5）2+（4－3.5）2+（5－3.5）2+（6－3.5）2］×==.答案：B2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－k D.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k解析：ξ～B（n，p），Eξ=10×0.01=0.1.答案：A3.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A. B. C. D.解析：Eξ=np=7，Dξ=np（1－p）=6，所以p=.答案：A4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A.0.2B.0.8C解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196.答案：C5.ξ2，则自动包装机________的质量较好.解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.答案：乙●典例剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ－101P1－2qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得q=1－.于是，ξ的分布列为ξ－101P－1－所以Eξ=（－1）×+0×（－1）+1×（－）=1－，Dξ=［－1－（1－）］2×+（1－）2×（－1）+［1－（1－）］2×（－）=－1.拓展提高既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1<x2，又知Eξ=，Dξ=.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ=x1+x2=，Dξ=x12+x22－Eξ2=.P（ξ=3）=0，P（ξ=4）==，所以Eξ=0×+1×+2×+3×0+4×=1.所以巧合数的期望为1.●思悟小结1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：Eξ=xipi，Dξ=（xi－Eξ）2pi，E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ.4.二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=np（1－p）.5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.●教师下载中心教学点睛1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力.拓展题例【例1】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差Dξ的最大值；（2）求的最大值.剖析：要求Dξ、的最大值，需求Dξ、Eξ关于p的函数式，故需先求ξ的分布列.解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.（1）Dξ=p－p2=－（p－）2+，∵0<p<1，∴当p=时，Dξ取得最大值为.（2）==2－（2p+），∵0<p<1，∴2p+≥2.当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.【例2】袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1