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文档简介

2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合为自然数集,则下列选项正确的是()A.M⊆{x|x≥1} B.M⊆{x|x>﹣2} C.M∩N={0} D.M∪N=N2.若i是虚数单位,复数z满足(1﹣i)z=1,则|2z﹣3|=()A. B. C. D.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9=1,S18=0,当Sn取最大值时n的值为()A.7 B.8 C.9 D.104.若a,b都是正数,则的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.105.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为()A. B. C.±1 D.6.点G为△ABC的重心,设=,=,则=()A.﹣ B. C.﹣2 D.27.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.14 B. C.22 D.8.执行下面的程序框图,则输出的n的值为()A.10 B.11 C.1024 D.20489.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为()A.20π B.24π C.28π D.32π10.已知实数x,y满足,若z=kx﹣y的最小值为﹣5,则实数k的值为()A.﹣3 B.3或﹣5 C.﹣3或﹣5 D.±311.某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为()A. B. C. D.12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1成立的实数x的取值范围为()A.{x|x≠±1} B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,1) D.(﹣1,0)∪(0,1)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.命题“”的否定是______.14.双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为______.15.已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,若,则an=______.16.若函数f(x)=x2(x﹣2)2﹣a|x﹣1|+a有4个零点,则a的取值范围为______.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数为偶函数,(1)求b;(2)若a=3,求△ABC的面积S.18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据;x12345y0.020.050.10.150.18(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)附:.解:抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=﹣.∵点M到焦点F的距离等于2p,∴M到准线x=﹣的距离等于2p.∴xM=,代入抛物线方程解得yM=±p.∴kMF==.选D6.点G为△ABC的重心,设=,=,则=()A.﹣ B. C.﹣2 D.2解:由题意知,+=,即+=,故=﹣2=﹣2选C7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.14 B. C.22 D.解:由三视图可知:该几何体的体积V=4+×2=14.选A8.执行下面的程序框图,则输出的n的值为()A.10 B.11 C.1024 D.2048解:模拟执行程序框图,可得n=1,S=1满足条件S≤2016,n=2,S=1+2=3满足条件S≤2016,n=4,S=3+4=7满足条件S≤2016,n=8,S=7+8=15满足条件S≤2016,n=16,S=15+16=31满足条件S≤2016,n=32,S=31+32=63满足条件S≤2016,n=64,S=63+64=127满足条件S≤2016,n=128,S=127+128=255满足条件S≤2016,n=256,S=255+256=511满足条件S≤2016,n=512,S=511+512=1023满足条件S≤2016,n=1024,S=1023+1024=2047不满足条件S≤2016,退出循环,输出n的值为1024.选C9.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为()A.20π B.24π C.28π D.32π解:∵AB=AC=2,∠BAC=60°,∴由余弦定理可得BC=2,设△ABC外接圆的半径为r,则2r==4,∴r=2,设球心到平面ABC的距离为d,则由勾股定理可得R2=d2+22=22+(2﹣d)2,∴d=1,R2=5,∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=20π.选A10.已知实数x,y满足,若z=kx﹣y的最小值为﹣5,则实数k的值为()A.﹣3 B.3或﹣5 C.﹣3或﹣5 D.±3解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,2),联立,解得B(﹣2,﹣1),化z=kx﹣y为y=kx﹣z,由图可知,当k<0时,直线过A时在y轴上的截距最大,z有最小值为k﹣2=﹣5,即k=﹣3;当k>0时,直线过B时在y轴上的截距最大,z有最小值﹣2k+1=﹣5,即k=3.综上,实数k的值为±3.选D11.某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为()A. B. C. D.解:方法一:“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的出场顺序为:分为两类.第一类:A最后一个出场,从除了B之外的3人选1人安排第一个,其它的任意排,故有A31A33=18种,第二类:A不是最后一个出场,从除了A,B之外的3人选2人安排在,第一个或最后一个,其余3人任意排,故有A32A33=36种,故学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场的种数18+36=54种,“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的”的出场顺序为:分为两类第一类:学生C第一个出场,A最后一个出场,故有A33=6种,第二类:学生C第一个出场,A不是最后一个出场,从除了A,B之外的2人选1人安排在最后一个,其余3人任意排,故有A21A33=12种,故在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的种数6+12=18种,故学生C第一个出场的概率为=,方法二:先排B,有A31(非第一与最后),再排A有A31(非第一)种方法,其余三个自由排,共有A31A31A33=54这是总结果;学生C第一个出场,先排B,有A31(非第一与最后),再排A有A31,C第一个出场,剩余2人自由排,故有A31A31A22=18种,故学生C第一个出场的概率为=,选A12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1成立的实数x的取值范围为()A.{x|x≠±1} B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,1) D.(﹣1,0)∪(0,1)解:当x>0时,由2f(x)+xf′(x)﹣2<0可知:两边同乘以x得:2xf(x)﹣x2f′(x)﹣2x<0设:g(x)=x2f(x)﹣x2则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)﹣2x<0,恒成立:∴g(x)在(0,+∞)单调递减,由x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1∴x2f(x)﹣x2<f(1)﹣1即g(x)<g(1)即x>1;当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),选B二、填空题13.命题“”的否定是.解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“”的否定是:14.双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为.解:坐标原点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,由,解得x2=,由|PF1|=c+2,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=c+2﹣2=c,在直角三角形PF1F2中,可得c2+(c+2)2=4c2,解得c=1+,由c2=a2+b2=1+b2,可得b2=3+2,可得P的横坐标为=.答案:.15.已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,若,则an=.解:由S1=2,得a1=S1=2,由,得,又an>0,∴2Sn=Sn+an+1,即Sn=an+1,当n≥2时,Sn﹣1=an,两式作差得:an=an+1﹣an,即,又由,求得a2=2,∴当n≥2时,.验证n=1时不成立,∴,16.若函数f(x)=x2(x﹣2)2﹣a|x﹣1|+a有4个零点,则a的取值范围为.解:函数f(x)=x2(x﹣2)2﹣a|x﹣1|+a有4个零点,转化为:x2(x﹣2)2﹣a|x﹣1|+a=0由4个根,即y=x2(x﹣2)2;y=a|x﹣1|﹣a=两个函数的图象有4个交点,在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象,如图:当a<0时,如图中蓝色的折线,函数有4个零点,可得﹣1<a<0;当a>0时,如图中的红色折线,此时函数有4个零点.满足题意.综上:a∈(﹣1,0)∪(0,+∞)三、解答题17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数为偶函数,(1)求b;(2)若a=3,求△ABC的面积S.解:(1)在△ABC中,由f(x)为偶函数可知,所以又0<B<π,故所以…(2)∵,b=,∴由正弦定理得sinA==,∴A=或,当A=时,则C=π﹣﹣=,△ABC的面积S==当时,则C=π﹣﹣==,△△ABC的面积S===18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据;x12345y0.020.050.10.150.18(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)附:.解:(1)根据表中数据,计算=×(1+2+3+4+5)=3,=×(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1;∴==0.042,∴=0.1﹣0.042×3=﹣0.026,所以线性回归方程为;…(2)由上面的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率都增加0.042个百分点;由,解得x≥13;预计上市13个月时,市场占有率能超过0.5%.…19.如图,六面体ABCDHEFG中,四边形ABCD为菱形,AE,BF,CG,DH都垂直于平面ABCD,若DA=DH=DB=4,AE=CG=3(1)求证:EG⊥DF;(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.解:(1)连接AC,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵BF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BF,又BD⊂平面BDF,BF⊂平面BDF,BD∩BF=B,∴AC⊥平面BDF,∵AE∥CG,AE=CG,∴四边形AEGC是平行四边形,∴EG∥AC,∴EG⊥平面BDF,又DF⊆平面BDF,∴EG⊥DF.(2)设AC∩BD=O,EG∩HF=P,∵四边形ABCD为菱形,AE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,∴AD∥BC,AE∥BF,∴平面ADHE∥平面BCGF,∴EH∥FG,同理可得:EH∥HG,∴四边形EFGH为平行四边形,∴P为EG的中点,又O为AC的中点,∴OP∥AE,AE=OP,∴OP⊥平面ABCD,又OA⊥OB,所以OA,OB,OP两两垂直,∵OP=(BF+DH),∴BF=2.以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz,∵△ABD是等边三角形,AB=4,∴OA=2.∴E(2,0,3),P(0,0,3),F(0,2,2),B(0,2,0).∴=(2,﹣2,3),=(2,0,0),=(0,2,﹣1).设平面EFGH的一个法向量为,则,∴,令y=1,得.设BE与平面EFGH所成角为θ,则.20.已知椭圆经过点,且离心率为,F1,F2是椭圆E的左,右焦点(1)求椭圆E的方程;(2)若点A,B是椭圆E上关于y轴对称两点(A,B不是长轴的端点),点P是椭圆E上异于A,B的一点,且直线PA,PB分别交y轴于点M,N,求证:直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上.解:(1)∵椭圆经过点,且离心率为,∴由条件得,解得,∴椭圆C的方程证明:(2)设B(x0,y0),P(x1,y1),则A(﹣x0,y0)直线PA的方程为,令x=0,得故,同理可得,,∴=∴F1M⊥F2N,∴直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上.21.已知函数g(x)=ax3+x2+x(a为实数)(1)试讨论函数g(x)的单调性;(2)若对∀x∈(0,+∞)恒有,求实数a的取值范围.解:(1)g'(x)=3ax2+2x+1(i)当a=0时,g(x)在单调减和单调增;(ii)当a≠0时,△=4﹣12a,当时,g'(x)=3ax2+2x+1≥0恒成立,此时g(x)在R单调增;当时,由g'(x)=3ax2+2x+1=0得,,g(x)在(x1,x2)单调减,在(﹣∞,x1)和(x2,+∞)单调增;当a<0时,g(x)在(x2,x1)单调增,在(﹣∞,x2)和(x1,+∞)单调减;(2)令,则因此,f(x)在(0,1)单调减,在(1,+∞)单调增∴fmin(x)=f(1)=1当a>﹣1时,g(1)=a+2>1=f(1),显然,对∀x∈(0,+∞)不恒有f(x)≥g(x);当a≤﹣1时,由(1)知,g(x)在(0,x1)单调增,在(x1,+∞)单调减,,即所以,在(0,+∞)上,,又所以,即满足对∀x∈(0,+∞)恒有f(

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