22-直接证明与间接证明课件

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法复习合情推理的结论不一定正确,有待证明;

演绎推理得到的结论一定正确.例1：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:1。综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…特点:“由因导果”综合法又叫由因导果法或顺推证法.例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------①

因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------②

所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③

由a,b,c成等比数列，有b2=ac,-----------------------------------------------④

则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0

因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤

则由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等边三角形。利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…小结综合法的定义:回顾基本不等式：(a>0,b>0)的证明.证明:因为;所以所以所以成立证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．

特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论…分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例3:求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式成立。证:例4上述过程可用框图表示:看课本第88页，例题3。见89页

一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。特点:“由因导果”小结综合法又叫由因导果法或顺推证法.1.综合法的定义:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．

2.分析法的定义:分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点:“执果索因”2.2.2反证法路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法.

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，````````得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：

肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设

不成立结论成立反证法的思维方法：正难则反（1）直接证明有困难正难则反!（3）唯一性命题（2）否定或肯定性命题（4）至多，至少型命题2.适宜用反证法证明的题型你能说出下列结论的反面吗?a⊥b2.d是正数3.a≥04.a∥ba不垂直于bd不是正数,即d≤0a＜0a不平行b万事开头难，让我们走好第一步！探究点2反证法的应用常用的互为否定的表述方式：至少有三个——最多有一个——至多有两个至少有两个原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.

不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个证明：因为a∥b所以经过直线a,b确定一个平面.因为,而，所以与是两个不同的平面.因为，所以.

例1已知直线a，b和平面

,如果,且,求证:.abP下面用反证法证明直线a与平面没有公共点，假设直线a与平面

有公共点P，则P，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾，所以a∥.

分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法.

假设不是无理数，那么它就是有理数.我们知道，任一有理数都可以写成形如（m,n互质，m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.证明：假设不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数m,n使得，从而有反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论【总结提升】宜用反证法证明的题型

（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.1.“a＜b”的反面应是（）a≠b或a＞bB.a＞bC.a=bD.a=b或a＞b2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设

____________.D三角形中有两个或三个角是直角3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数DA、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、