第十三讲非平稳时间序列

第十三讲非平稳时间序列第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一平稳性时间序列的条件平稳时间序列的期望、方差、自协方差、自相关系数等数字特征均不随时间推移而改变。第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一非平稳时间序列非平稳时间序列：常规假设检验、置信区间、预测均失效。非平稳时间序列的两个例子：1.趋势2.突变第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。

第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一什么是趋势趋势(trend)是指变量随时间持续长期的运动。

时间趋势中有确定性和随机性两种类型的趋势。其中确定性趋势是时间的非随机函数。例如，确定性趋势为时间的线性函数，若通货膨胀中有每季度上升0.1个百分点的确定性时间趋势，则该趋势可表为0.1t，其中t表示季度。第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一

随机性趋势是随机的且随时间变化的趋势。例如通货膨胀中的随机性趋势显示出较长时间的下降之后伴随着较长时间的上升。建立含随机性趋势的经济时间序列模型要比建立含确定性趋势的时间序列模型更为恰当。因为经济是一个很复杂的东西，很难调和确定性趋势暗含的可预测性和面临的复杂因素和意外。但这些变动同样也是复杂经济力量的结果，由于这些力量的变化不可预测，因此通常认为这些趋势中存在着较大的不可测或随机成分。第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一我们提到时间序列数据中的“趋势”时，除非特别指出，一般我们指随机性趋势。第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一趋势的随机游走模型AR(1)为平稳时间序列的条件是：|β1|<1第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一其中ut是一个简单的随机时间序列：具有零均值同方差的独立分布序列：t~i.i.dut被称为是一个白噪声（whitenoise）。由于ut具有相同的均值与方差，且协方差为零，白噪声序列ut是平稳的。第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一随机游走的基本思想是序列明天的取值就是它今天的取值再加上一个不可测变化，因为Yt前进的路径是由随机项ut组成的，所以这一路径为一个“随机游走”。随机游走表明：明天的取值的最佳预测为今天的取值。第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一带漂移的随机游走随机游走是非平稳的第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一证明一：证明二：假设Y0=0Y1=Y0+u1=u1Y2=Y1+u2=u1+u2Yt=u1+u2+…+ut第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一随机游走的例子：userandom,cleartssettregr1L.r1liner1t第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一一般来说，对Y取一阶差分（firstdifference）:

Yt=Yt-Yt-1=t由于t是一个白噪声，则差分后序列是平稳的。

后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。

事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回归AR(1)过程的特例

Yt=ßYt-1+t

第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一不难验证:1。|ß|<1，平稳。2。|ß|=1，是一个随机游走过程，不平稳。3。|ß|>1，不平稳。该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此是非平稳的；第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一随机性趋势、自回归模型和单位根对于AR(1)来说，时间序列平稳的条件是|β1|<1。对于AR(p)来说，需要引入滞后算子：定义一阶滞后算子L为：

Lxt=xt-1

k阶滞后算子定义为

Lkxt=xt-k

第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一由于常数项与是否平稳无关，因此，原方程可以写为：第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一将滞后算子带入到方程，得：第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一定义特征多项式为Φ(L)：AR(p)为平稳序列的条件是：的所有根的绝对值都大于1。第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一例如：第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一随机性趋势带来的问题若回归变量中包含随机性趋势(有单位根)，则其系数的OLS估计量及其OLSt统计量即使在大样本下也不服从标准(即非正态)分布。(1)当AR(1)中的自回归系数真值为1时其估计量偏向于0；(2)包含随机性趋势的回归变量系数的t统计量即使在大样本下也服从非正态分布；(3)随机性趋势带来的风险的极端例子是包含有随机性趋势的两个独立序列会以较高的概率错误地呈现出相关关系，即所谓的伪回归。第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一问题1：偏向于零的自回归系数自回归系数向左偏向于0。假设对于AR(1)：

其真实值为β1=1。然而，OLS估计出的β1

却不是渐近正态分布，甚至不是对称分布，即使是在大样本下，而是向左偏向于0。这是因为，由于{Yt}不是平稳序列，中心极限定理不再适用。第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一问题2：t统计量的非正态分布若回归变量中包含随机性趋势，则常用的OLSt统计量在原假设成立时即使在大样本下也服从非正态分布。这意味着常用的置信区间是不正确的，也不能像往常一样进行假设检验。由于这个t统计量的分布依赖于有问题的回归变量和其他回归变量之间的关系，因此一般无法列表给出其分布。第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一问题3：伪回归随机性趋势会使两个没有相关关系的时间序列呈现出相关性，这个问题称为伪回归。第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一1965---19811982---2004第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一这个矛盾结论的来源是两个序列都含有随机性趋势。这两个趋势碰巧在1965-1981年间保持一致，但在1982-2009年期间却没有。事实上，也不存在令人信服的经济或政治理由相信这两个序列中的趋势是相关的。简言之，这些回归是虚假的。一种确保某些基于回归的方法可靠的特例是两个序列的趋势成分相同，即序列中包含了共同的随机性趋势。如果是这样的话，序列称为是协整的。第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一随机性趋势探测：单位AR根的检验第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一因此，针对式Yt=β0+Yt-1+t

我们关心的检验为：零假设H0：=0。

备择假设H1：<0

上述检验可通过OLS法下的t检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布（见下表）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一

因此，可通过OLS法估计

Yt=β0+Yt-1+t并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t<临界值，则拒绝零假设H0：

=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一

2、ADF检验进一步的问题：在上述对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。

但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，如AR(3)，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。

另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。因此，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验。第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一ADF检验是通过下面三个模型完成的：第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一模型3

中的t是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。检验的假设都是：针对H1:<0,检验H0：=0，即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行必须均进行检验，同时，三个模型有各自相应的临界值。表中给出了三个模型所使用的ADF分布临界值表。第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一ADF统计量的临界值ADF统计量在单位根原假设下即使在大样本下也不服从正态分布。由于其分布非标准，因此当使用ADF统计量检验单位根时不能采用正态分布临界值；而必须采用原假设成立时ADF统计量分布的一系列特定临界值。第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；2）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一关于常数项与时间趋势项是否应该带常数项或时间趋势项，主要应从理论上考虑。比如，考察GDP之对数是否有单位根，肯定要包含时间趋势项；而利率、汇率等则不应有时间趋势项。也可以通过画变量的时间序列图来大致判断有无长期增长趋势。为了稳健起见，可以把各种情况都进行检验，将结果以(c,t,P)格式列表，其中“c=1”表示带常数项，“c=0”表示不带常数项；“t=1”表示带趋势项，“t=0”表示不带趋势项;而P表示滞后期数。第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一单位根检验的stata命令：dfullerdfullery（不包含滞后差分项）dfullery,lags(p)（包含P阶滞后差分项）fullery,noconstant(不带常数项)dfullery,trend(带时间趋势项)第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一usemacro_2e,cleardfullerinfdfullerinf,lags(4)dfullerinf,lags(4)noconstantdfullerinf,lags(4)trend单位根检验统计值p值(1,0,0)-4.0520.0012(1,0,4)-2.5290.1086(0,0,4)-1.440(1,1,4)-2.5410.3076第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一uselutkepohl,cleardfullerincome,lag(2)trenddfullerlincome,lag(2)trenddfullerdincome,lag(2)trend第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一避免由随机性趋势带来的问题第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一结构突变突变来自总体回归系数在某一特定日期上的离散变化或来自系数在较长时期内的渐变。例如：考察1978-2006年中国居民人均消费与人均国内总产值数据（当年价格）。是否在1992年邓小平“南巡”以后（含1992年）发生了结构变化。第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一另一个例子1972年固定汇率的布雷顿森林体系解休使美元对英镑的汇率的时间序列行为产生了突变。第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一突变的检验突变时间已知时的突变检验方法：增加虚拟变量。建立如下方程：第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一原假设：没有突变备则假设：指定点有突变上述系数至少有一个为0。第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一Chow检验考察1978-2006年中国居民人均消费与人均国内总产值数据（当年价格）。估计中国收入对消费的影响，并检验中国的消费函数是否在1992年邓小平“南巡”以后（含1992年）发生了结构变化。useconsumption_china,clear建立ADL(1,1)模型regcL.cL.y

第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一gend=(year>1991)（生成虚拟变量）

gend1=L.y*d（生成虚拟变量与GDP滞后的交乘项）

gend2=L.c*d（生成虚拟变量与消费滞后的交乘项）

regcL.cL.ydd1d2testdd1d2第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一突变时间未知时的突变检验算法：1.假定怀疑在两个日期τ0和τ1间发生结构突变。此时可修改chow检验。要使QLR统计量分布的大样本近似较好。子样本端点τ0和τ1不能太靠近样本起点或终点。为此，实际QLR统计量是用样本的“修剪”范围进行计算。通常选择剔除15%,即令τ0=0.15T，τ1=0.85T，剔除后的突变时间的F统计量是用中间70%样本计算的。突变的可能时间一般是未知的或只知道落在某一范围内。第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一2.在范围内，对每个样本点进行chow检验，求出F值来。这样可以得出一系列不同的F值，我们取最大的F值，即为QLR统计量，然后取出约束个数q（F检验的解释变量的个数），查书上QLR临界值表，如果拒绝原假设，则QLR统计量统计量对应的那个样本点为结构突变点。第五