第六节三角恒等变换

第六节三角恒等变换第一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一变式：第三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公

式

名公式二倍角的正弦sin2α=________________二倍角的余弦cos

2α=_____________=_________=_________二倍角的正切tan2α=2sinα·cosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一3.半角公式第五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一4.降幂公式、升幂公式、万能公式公

式

名公式降幂公式sin2α=,cos2α=sinαcosα=升幂公式1-cos

2α=_______,1+cos2α=1-sin2α=(sinα-cosα)21+sin2α=(sinα+cosα)2万能公式sin2α=,cos2α=2cos2α2sin2α第六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一5第七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）当α是第一象限角时，()（2）对任意角α，都成立.()（3）半角的正、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()（4）用sinα,cosα可将表示为()（5）当时，()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√第八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一练习第十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第二十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第二十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一1.已知则等于()B2.已知则等于()（A）3（B）6（C）12（D）A第二十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一3.下列各式的值为的是()（B）1-2sin275°（D）sin15°cos15°D4.已知则sin2θ=______.5.计算=

.2第二十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一6.计算______.7（1）（2013·吉安模拟）已知（0＜α＜π），则cos2α=______.(2)已知且则的值为______.第二十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一8.已知α为第三象限的角，则______.9.(2012·江西高考)若tanθ+=4，则sin2θ=()第二十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一10.(2013·宝鸡模拟)已知且则等于()11.(2012·江苏高考)设α为锐角，若则的值为______．第二十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第二十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【拓展提升】1.三角函数式化简的原则、要求及方法(1)化简原则:①统一角;②统一函数名;③能求值的则求值.(2)化简结果的要求：①尽量使三角函数种数最少；②尽量使项数最少；③尽量使分母不含三角函数；④尽量使被开方数不含三角函数.(3)化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.第二十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一2.三角函数式求值的类型和思路(1)三角函数式求值问题的类型①直接求值.即直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值；②条件求值.即根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.第二十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一3.条件求值题的一般解法①先化简所求式子或已知条件;②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.2.三角函数式给值求角的注意点一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角，二是涉及的角的范围要确定准.第三十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一第三十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一考向3

三角函数的综合问题【典例3】（1）（2013·上饶模拟）关于函数以下结论正确的是()(A)f(x)的最小正周期是π,在区间上是增加的(B)f(x)的最小正周期是2π,最大值是2(C)f(x)的最小正周期是π,最大值是

(D)f(x)的最小正周期是π,在区间上是增加的第三十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一（2）（2013·商洛模拟）将函数y=f(x)·sinx的图像向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y=1-2sin2x的图像，则f(x)可以是()(A)sinx(B)cosx(C)2sinx(D)2cosx（3）设满足①求f(x)的解析式.②求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.第四十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【思路点拨】（1）运用倍角公式及辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后再判断.(2)运用逆变换的思想解题.（3）①将f(x)的关系式展开合并再利用可求a，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从而得f(x)的解析式.②利用x的范围及函数单调性求最值.第四十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【规范解答】（1）选D.

故该函数的最小正周期为π,最大值为2，故选项B，C错误.对于A，当时，故函数不单调，错误；对于选项D，当时，故函数是增加的，即D正确.(2)选D.运用逆变换方法：作y=1-2sin2x=cos2x的图像关于x轴的对称图像得的图像，再向左平移个单位得的图像，∴f(x)=2cosx.第四十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一(3)①f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x由得解得因此当时,f(x)是增加的；当时,f(x)是减少的，第四十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一所以f(x)在上的最大值为又因为故f(x)在上的最小值为第四十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【拓展提升】解三角函数综合应用问题的注意点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ）的形式,再进一步探讨定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.（2）注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力．第四十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【变式训练】已知函数的最小正周期为π.（1）求ω的值.（2）求函数f(x)在区间上的取值范围.【解析】因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0，所以解得ω=1.第四十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一(2)由（1）得因为所以所以所以所以f(x)在区间上的取值范围为第四十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【满分指导】解答三角函数综合题的规范【典例】（12分）（2012·北京高考）已知函数（1）求f（x）的定义域及最小正周期.(2)求f（x）的递增区间.第四十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【思路点拨】已知条件条件分析分母是sinx令sinx≠0得定义域sin2x可利用倍角公式sin2x=2sinxcosx利用公式整理化成一个角的三角函数第四十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【规范解答】（1）由sinx≠0得，x≠kπ,k∈Z，①所以定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.3分

②5分所以f(x)的最小正周期8分第五十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一(2)令且x≠kπ，其中k∈Z，………………10分所以递增区间为

……12分第五十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)第五十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一5.(2012·天津高考)已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.第五十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一【解析】(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+sin2x·cos-cos2x·sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的，又f(