高中数学-平面向量基本定理及坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，通过课堂教学，以期达到以下四个方面的目的：1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义，能熟练地运用坐标形式进行运算。2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想。3.过程与方法：⑴通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学演绎、归纳、猜想的能力；⑵通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；⑶借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。4.情感态度与价值观：设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“引导发现，合作探究”的教学方法。教学主要从以下几个方面准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识；（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构；（3）创设新知识思维发展的前景；（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习。整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。一、【教材的地位和作用】本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。二、【学习目标】根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，通过课堂教学，以期达到以下四个方面的目的：1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义，能熟练地运用坐标形式进行运算。理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想。通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；3.过程与方法：⑴通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；⑵通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；⑶借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。4.情感态度与价值观：设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。三、【教学重点和难点】理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；向量共线的坐标表示。平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。学情分析学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且学习了平面向量共线和向量坐标的相关概念及平面向量基本定理,这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。他们已经具备了初步归纳的能力但是要加强他们全面深入探究问题能力，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。平面向量基本定理极坐标表示【教材分析】（一）地位和作用本节内容在教材中启着向量坐标运算延伸的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量共线的坐标表示，对立体几何教材也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。（二）学情分析学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且学习了平面向量共线的相关概念和坐标表示的简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。他们已经具备了初步归纳的能力但是要加强他们全面深入探究问题能力，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。（三）教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握向量加减数乘的坐标运算；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.(四)教学重点和难点(1)重点：向量加减数乘的坐标运算；向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：向量共线理解和应用。【教法分析】教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法。教学手段：应用多媒体课件、实物投影仪。【学法指导】本节课主要调动学生积极思考主动探索，增加学生参与教学活动的时间，我采用了以下学法指导：探究式指导法：应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入“λ”从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征;2.归纳式指导法:三点共线问题的实质是向量共线问题．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．3.迁移式指导法：引导学生推导平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式。4.合作交流法。【教学过程设计】一、新知导入1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标算：（1）.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=(x1+x2,y1+y2).a-b=(x1-x2,y1-y2).λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.例已知=（x+y+1，2x-y），=（x-y，x+2y-2），若2=3，求x、y的值；

分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2=3，建立关于x、y的方程组，解方程组就可求x、y的值；

解：2=2（x+y+1，2x-y）=（2x+2y+2，4x-2y），3=3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6），

已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标；

分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；

解：设D点坐标为（x，y）=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）=（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y）

由=得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为（2，2）（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a.问题2：以上几组向量中a，b共线吗？提示：共线[设计意图]设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，同时引导学生为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析理解问题的能力。二、新知探究思考:两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中。由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0）（2）能不能写成？（不能。∵x1，x2有可能为0）(3)向量共线有哪两种形式？a∥b(b≠0)[设计意图]通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到用坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用）1．向量共线问题：例1.已知，，且，求．解：∵，∴．∴．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式练习1：规律归纳遇到与共线有关的问题时，我们只需要把向量共线的条件转化为坐标运算，一般选用x1y2－x2y1＝0.[设计意图]引导学生利用平面向量共线的充要条件完成了例1的解答后，通过变式训练1由一个典型例题的解答促使知识的系统化。使新旧知识系统化，完善了认知结构；再由这个问题牵出一个问题链，引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性，体现了问题变换的思想。2．证明三点共线问题：例2:例2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系。解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点，观察图形，我们猜想A，B，C三点共线。下面给出证明。∵，，又，∴.∵直线、直线有公共点，∴，，三点共线。点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线．[设计意图]引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.四、课堂小结1.教师引导学生思考，通过本节课的学习，你都学习了哪些数学知识:（1）向量加减数乘的坐标表示；（2）平面向量共线的坐标表示；（3）会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线；2.与学生一起总结本节学习的数学方法,归纳和迁移的发散思维。强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.[设计意图]小节是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力。五、课后作业必做题习题A组5、6、7，选做题习题B组1、2[设计意图]为尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，分两部分来布置作业，一部分是课本的习题，要求学生必做；另一部分是选做题，允许学生根据个人情况来完成。六、板书设计：标题1、复习回顾2、归纳探究投影区标题1、复习回顾2、归纳探究投影区3、实例分析4、课堂小结5、课后作业教学过程中应用多媒体能直观生动的反映问题情境，形象的刻画事物的变化过程，但同时也存在弊端，如教学内容相互覆盖，不易持续保留，而板书恰恰可以弥补这些不足。教案说明本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式.平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量i,j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，记作：a=(x,y)称作向量a的坐标(2)．注意：=1\*GB3①每一平面向量的坐标表示是唯一的;=2\*GB3②设A(,)B(,)则结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x,y)和实数λ，则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj∴λa=(λx,λy)结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。3.向量平行的坐标表示:结论：a//b(b0)的充要条件是.二．练习1.在梯形中，//,,是的中点，,是以为基底表示。2.已知为矩形，且，又为等腰直角三角形，为的中点，为基底，表示向量.4．已知a＝(x,3)，b＝(3，－1)且a∥b，则x等于()A．－1B．9C．－9 D．15．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A、B、C三点在一条直线上，则C点坐标不可能是()A．(－9,6)B．(－1，－2)C．(－7，－2) D．(6，－9)6.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)7.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)等于()A.eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2) D．－28.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.9.．已知M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝________.10.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.11.如果向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)14.已知A(2,3)，B(6，－3)，P是靠近A的线段AB的一个三等分点，则点P的坐标是________．15.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，当eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))时，求x，y应满足的关系式．16.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.17.已知点A(－1,2)，B(2,8)以及eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up16(→))，求点C，D的坐标和eq\o(CD,\s\up16(→))的坐标．18.已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有：（）（1）（2）（3）（4）A.1个B.2个C.3个D.4个这节课并没达到我想要的结果，原因如下：首先，学生基础差，底子薄，理解、计算能力不强；其次，我们的学生动手能力和积极性都很差。在以后的教学中重视发挥学生的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”的教学，力求做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指导；存在不足，热情辅导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特色。向量这部分内容知识点较为琐碎，对学生的要求较高，而我们的学情是学生基础差，底子薄，理解、计算能力不强；其次，我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给我教学环节的设计和教学语言的组织带来了困难。如何提升他们的学习兴趣，科学有效地引导他们，使他们“听得懂，学得会”，是我面临的最大问题。为了上好这节课，我在集体备课时进行说课，请大家批评指正，并