大一下物理第一章质点动力学mucp

应用物理系DEPARTMENT

OFAPPLIEDPHYSICS牟从普燕山大学理学院应用物理系congpumu@第一章质点运动学

运动学是描述随时间的推移物体的空间位置的变化，不涉及物体间的相互作用与运动的关系。平面运动直线运动曲线运动前言§1.1质点的运动描述1.质点具有一定质量而形状、大小可不计的物体，称为质点。这是一种理想化模型。可以将物体简化为质点的两种情况：①物体不变形,只作平动.②物体本身线度和它活动范围相比小得很多.注意：并不是只有小物体才可视为质点。§1.1质点的运动描述理想化模型是物理学的一种重要研究方法。它突出了事物最主要的因素而略去其它次要因素，使问题大大简化。力学中常见的理想化模型有：质点、刚体、简谐振动、简谐波、理想流体等。例如：研究地球的自传和公转时，什么情况下可以把地球看为质点？§1.1质点的运动描述秦皇岛到上海的火车研究从秦皇岛到上海的时间(火车可以看为质点)研究火车通过某一个隧道所用的时间(火车不可以看为质点)§1.1质点的运动描述2.参考系(参照系)运动是绝对的而运动的描述却是相对的。在地面上静止的物体会跟着地球一起绕太阳旋转；在匀速前进的火车上有一物自由下落，火车上的人看它是竖直下落，而地面上的人看来，它是向前平抛。因此，要描述一个物体的运动，应以另一物体作为参照，被选为参照的物体就称为参照系或参考系。

从上面可以看出，参考系不同，同一物体同一运动会表现出不同的形式。对于参考系来说，我们可以任意选择，那么参考系应该如何选择？§1.1质点的运动描述当我们研究地面附近物体的运动时，常选地面或地面上固定的一些物体(房子、路牌等)作为参照系，这种参考系叫地面参考系研究太阳系中行星的运动时，则选太阳为参照系。

在物理实验中，为确定某一物体位置时，我们就用固定在实验室的物体，如周围的墙壁或固定的实验桌作为参考系，这样的参考系叫实验室参考系。参考系的选择要是我们要解决问题最为简便而定。§1.1质点的运动描述3.坐标系为了定量地描述物体(质点)的位置及位置的变化，需要在参考系上建立坐标系常用坐标系图1三维直角坐标系PzxyOxyzrPOx图2平面极坐标系§1.1质点的运动描述OrPxyz图3球坐标系OP图4自然坐标系自然坐标系是沿质点的运动的轨迹建立坐标系，在质点运动轨迹上任取一点O，(质点在任意时刻的位置都可以用到坐标原点的轨迹长度表示)切向单位矢量：所在点的轨迹切线方向法向单位矢量：垂直于切向并指向曲线凹侧§1.1质点的运动描述4.位矢用来确定质点在某一时刻位置的矢量叫做质点的位置矢量，简称位矢或径矢。位矢——由原点(参考点)引向质点位置的有向线段如图：zxyOP建立直角坐标系O–xyz，令原点与参考点重合，则：§1.1质点的运动描述x,y,z是质点在直角坐标系中的位置坐标.zxyOP位矢的大小为：位矢方向余弦:§1.1质点的运动描述4.运动学方程质点在空间运动时，它的位矢将随时间发生变化，即位矢

是时间的函数称为质点的运动学方程(教材中叫运动函数)§1.1质点的运动描述质点运动时，描出的轨迹叫质点的运动轨迹，或质点的位矢的失端画出的曲线，称为位矢的矢端曲线，也为质点的轨迹PQ如图：矢端曲线在运动方程中消去t可得到质点的轨迹方程(轨道方程)y=y(x)§1.1质点的运动描述例：一质点的运动学方程为求：质点的轨迹方程解：由运动学方程可知由此可知轨迹为圆§1.1质点的运动描述PQ路程质点在其轨迹上经过的路径的总长度.注意：路程为标量与下边学习的位移的区别§1.1质点的运动描述5.位移描述质点位置矢量在一段时间内的增量(位置矢量的增量)yxPQO位移——是由质点初位置引向末位置的矢量.在直角坐标系中坐标分解式：§1.1质点的运动描述yxPQO质点在t

到t+t这一段时间内的位移。其大小为质点在在t

到t+t这一段时间内的路程为：路程与位移的区别位移是矢量，路径是标量位移的大小不一定等于路程仅当Δt→0时，无穷小的位移大小才与路程相等§1.1质点的运动描述例：运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时，走过的路程为400米而位移=0[例题1]一质点在xOy平面内依照

x=t2的规律沿曲线

y=x3

/320

运动,求质点从第2秒末到第

4

秒末的位移(式中t

的单位为s；x，y的单位为cm).[解]§1.1质点的运动描述(cm)与水平轴夹角[问题]位移与参考系的选择有关吗？§1.1质点的运动描述7.速度.平均速度OPQ——质点位移与发生这一位移的时间间隔之比大小为§1.1质点的运动描述瞬时速度(简称速度)定义PQ方向：质点运动路径的切向.大小：又称为，瞬时速率(简称速率)§1.1质点的运动描述在直角坐标系中的分解式瞬时速度矢量反映了质点在某时或某位置的运动的快慢和方向，其具有矢量性、瞬时性和相对性。瞬时速度矢量反映了质点在某时或某位置的运动的快慢和方向，其具有矢量性、瞬时性和相对性。§1.1质点的运动描述[例题1]某质点的运动学方程为求:t=0,1s时质点的速度矢量.[解](单位m,s)yzO(单位m/s,s)t=0时,t=1s时,§1.1质点的运动描述8.加速度.平均加速度质点运动时，其速度的大小和方向都可能变化，为反映速度变化的快慢和方向引入加速度。定义速度增量：§1.1质点的运动描述注意:(1)说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均加速度.(2)一般瞬时加速度(简称加速度)定义§1.1质点的运动描述直角坐标中§1.1质点的运动描述描述质点运动的状态参量的特性状态参量包括（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。（3）相对性。对不同参照系有不同的描述。应注意它们的§1.1质点的运动描述[例题2]某质点的运动学方程为求：质点的加速度矢量.(单位m,s)[解]a=10m/s2方向沿z轴.§1.1质点的运动描述例3.一个质点在平面上作椭圆运动，椭圆的两个半轴长度分别是a、b。质点的运动学方程为：求：质点的速度和加速度。解：例4.一质点运动学方程求质点在x=-4时的速度、速率和加速度。解：而x=-4时，t=2，代入得§1.1质点的运动描述§1.2质点直线运动§1.2.1从坐标到速度和加速度§1.2.2从加速度到速度和坐标§1.2.1从坐标到速度和加速度1.运动学方程为描述质点的质点运动，通常选取质点的运动直线为坐标轴，原点为参考点，则质点运动学方程为OxPQx(t)x(t+t)x=x(t)标量式几种常见直线运动的x-t图匀速运动，匀加速运动，变加速直线运动§1.2.1从坐标到速度和加速度2.速度和加速度瞬时速度瞬时速率tOxPx-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度.瞬时加速度v-t曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度.tOvPQ§1.2.1从坐标到速度和加速度§1.2.1从坐标到速度和加速度从以上可以看出，位移、速度、加速度都可以用标量表示，但注意它们的正负号代表了相应矢量的方向。例如：vx>0,表示速度沿x轴的正方向

vx<0,表示速度沿x轴的负方向§1.2.1从坐标到速度和加速度3.匀速与匀变速直线运动匀速直线运动x=x(t)则匀速vx=常数，a=0匀变速直线运动已知已知则则常数两式消去t

§1.2.1从坐标到速度和加速度[例题1]一质点沿

x

轴作直线运动，其位置与时间的关系为

x

=

10

+

8

t

–

4

t2(单位m,s),求：（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度.（2）质点在t=0、1、2s时的速度.[解]§1.2.1从坐标到速度和加速度方向与x轴正向相同§1.2.1从坐标到速度和加速度[例题2]如图所示，一人在高为h的岸上以恒定速率v0收绳拉小船靠岸求：小船运动至离图示位置时的速度和加速度[解]建立如图所示坐标系由图中可知小船的运动学方程为则有运动学方程可得§1.2.1从坐标到速度和加速度因为运动学方程中l是时间的函数并且因此[例题3]真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为t2.在小球运动过程中经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.§1.2.1从坐标到速度和加速度[解]tOyh建坐标系如图,测t2时，y0=0，v0y=v2，y=0，有又以上三式联立得测t1时小球经h向上的速度为v0y=v1，有§1.2.1从坐标到速度和加速度[例题4]在同一铅直线上相隔h的两点以同样的速率V0向上抛两石子，但在高处的石子早t0秒被抛出求：此两石子何时何处相遇§1.2.1从坐标到速度和加速度[解]以石子1所在处为坐标原点，y轴铅直向上为正，抛出石子1时规定t=0，则石子的运动学方程

h21相遇时，y1=y2§1.2.1从坐标到速度和加速度解决问题的思路依据题意可知x(t)§1.2质点直线运动§1.2.1从坐标到速度和加速度§1.2.2从加速度到速度和坐标§1.2.2从加速度到速度和坐标C为任意常数，由初始条件确定将初始条件

t=t0x=x0

代入上式已知

vx

求x=x(t)和x

得§1.2.2从加速度到速度和坐标根据牛顿-莱布尼茨公式，有所以即质点位移为t0t

vOt§1.2.2从加速度到速度和坐标初始条件给定，运动方程便唯一确定.Ox0t0xtxt§1.2.2从加速度到速度和坐标已知

ax

求vx=vx(t)和x(t)C1为任意常数，由速度的初始条件确定将初始条件

t=t0v=v0x

代入上式得即根据牛顿-莱布尼茨公式，有由位置初始条件

t=t0x=x0

求运动学方程若a是常量(匀变速直线运动)，得两式中消去t

§1.2.2从加速度到速度和坐标[例题5]一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过时间τ后增加a0，求：经过时间ts后质点的速度和运动的距离.[解]据题意知，加速度和时间的关系为§1.2.2从加速度到速度和坐标§1.2.2从加速度到速度和坐标[例题6]跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速率为v0

，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取Oy轴，其加速度为，vy

为速度，k为常量.求入水后运动员速度随时间的变化.[解]设运动员为质点，根据已知条件有得可见运动员速度随时间减小且当t→∞时，速度变为零.解决问题的思路依据题意可知a(t)§1.2.2从加速度到速度和坐标x(t)积分积分两次积分§1.3曲线运动§1.3.1抛体运动§1.3.2圆周运动§1.3.3一般曲线运动§1.3.1抛体运动抛体运动

从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动就叫抛体运动O（x,y）1.轨迹方程建立如图所示坐标系，在空中运动加速度为即只在y方向上有加速度，水平方向上加速度为0，物体运动可分解为§1.3.1抛体运动则两个方向的速度为积分可得运动学方程消去时间可得轨迹方程O（x,y）§1.3.1抛体运动2.射高和射程O（x,y）H抛射物体运动到最高点时，则可以由速度公式得出上升时间t1将时间t1代入运动学方程可以得出射高H和水平射程RR当=45o时，射程最大§1.3.1抛体运动xy真空中轨道空气中实际轨道通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究各种不同阻力对运动的影响.§1.3.1抛体运动[例题1]一质点平面运动的加速度为ax=-Acost,ay=-Bsint,A≠B,A≠0,B≠0,初始条件为t=0,v0x=0,v0y=B,x0=A,y0=0,求：质点轨迹[解]由初始条件知§1.3.1抛体运动由初始条件知消去时间t，得轨迹方程表明质点的运动轨迹为椭圆。§1.3.1抛体运动[例题2]一人扔石头的最大出手速率为v0=25m/s，他能否击中与他水平距离L=50m，高H=13m的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度是多少？(g=9.8m/s2)[解]O（x,y）建立如图所示坐标系，假设石头以夹角被抛出，则石头的轨迹方程为将v0=25m/s，L=50m代入轨迹方程可得§1.3.1抛体运动高度y随着夹角变化，则求其极值得tg=1.2755，则最大高度为ymax=12.29m所以无法击中H=13m的目标O（x,y）§1.3.1抛体运动(选讲)3.用矢量讨论抛体运动OO将抛体运动分解为沿速度方向和竖直方向上两个运动。则物体的位移等于两个方向上的位移的矢量和。即采用了斜坐标系的形式因而抛射体运动又可分解为：沿初速度方向的匀速直线运动＋自由落体运动。§1.3.1抛体运动(选讲)[例题2]

如图表示一演示试验.抛体发射前，瞄准高处A的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由下落.那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中靶子，这是为什么？OPA§1.3.1抛体运动(选讲)[解]

没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿着瞄准的方向以初速率v0

匀速前进，并打中靶子.这时，抛体经过的位移的大小等于v0

t,其中t为抛体从发射点到命中目标A点经过的时间.

但是，在t时间内，抛体除了进行位移外，还发生因重力加速度而引起的附加位移，抛体的总位移并最终到达P点.OPA§1.3.1抛体运动(选讲)

与此同时,靶子自A点自由下落,并经历了位移，且大小等于，并达到点.因，所以点与P

点重合，抛体击中了靶子.[例题3]如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的山坡与地平线的夹角为，试求发射角为多大时炮弹沿山坡射得最远？[解]建立坐标系如图所示.由运动叠加原理得炮弹的运动方程为设炮弹落于坡上距O为s位置处，则：§1.3.1抛体运动(选讲)§1.3.1抛体运动(选讲)联立以上四个方程可得炮弹的飞行时间§1.3.2圆周运动圆周运动

1.匀速圆周运动△OABR△△s此时速率的大小不变，仅方向变化，当t0时，

方向垂直于

并指向圆心，此加速度称为向心加速度其大小§1.3.2圆周运动2.匀变速圆周运动OABR△△sCA此时速度大小方向都在变化。第一项仍是由于速度方向变化而引起的向心加速度第二顶是由于速度大小变化引起的，方向沿轨道切线的切向加速度。§1.3.2圆周运动例题1

一质点沿半径为R

的圆周按规律运动。求：(1)t时刻质点的加速度大小；(2)t为何值时a=a0?(2)当a=a0时，求出解：(1)质点运动速率加速度分量§1.3.2圆周运动3、圆周运动的角量描述xRP线速度的大小：s将叫作质点的角速度，用表示§1.3.2圆周运动质点在做变速率圆周运动时，又会随着时间变化，定义角加速度角量与线量间的关系：§1.3.2圆周运动匀速率圆周运动：匀变速圆周运动：一般曲线运动§1.3.3一般曲线运动选取自然坐标系OS＞0PS＜0在曲线上选一点O为原点，用质点到原点的弧长S表示质点位置。质点运动学方程：S=S(t)沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量：则质点运动速度：§1.3.3一般曲线运动O'P引入曲率圆（轨道上质点所在处的一小段弧线，与曲率圆相切）后，质点的加速度可套用圆周运动的结论，即有：其中为曲率圆半径，在轨道不同地方其值不同。§1.3.3一般曲线运动例题1

一列火车由静止开始速率均匀增大，其轨道半径R=800m，的圆弧，已知启动后t=3min时，列车的速率为v=20m/s求：启动后t1=2min时列车的切向加速度、法向加速度和总加速度[解]火车上任意一点的切向加速度为：为了求t1时刻的法向加速度，则需先求出此时刻下的速率§1.3.3一般曲线运动则t1时刻的法向加速度因此t1时刻的加速度大小为§1.3.3一般曲线运动[例题2]

汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为(单位：m，s).[解]

加速度求汽车在t=1s时的加速度.§1.3.3一般曲线运动将R=200m及t＝1s代入上列各式，得为加速度与的夹角.§1.3.3一般曲线运动[例题3]低速迫击炮弹以发射角45°发射,其初速率v0=90m/s.在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率半径.[解]将炮弹视为质点,不计空气阻力.在直角坐标系O-xy中,炮弹运动的速度与加速度为(1)在最高点§1.3.3一般曲线运动(2)在落地点例题4、在高处将小球以水平初速度v0抛出，求小球在任一时刻

t的位置、轨道方程、速度，切向加速度和法向加速度。xyO解：取坐标系如图所示，则有§1.3.3一般曲线运动§1.4极坐标系(选讲)OP(r,)x规定自极轴逆时转为正，反之为负.质点的极坐标(r,).这里r是坐标不是位矢，当位矢的原点取在极点上时，两者数字相同.r=常量

=常量不是常矢量径向单位矢量横向单位矢量运动学方程轨道方程极坐标系如图，极点O，极轴Ox，幅角，1.位移若位矢的原点与极坐标的极点重合横向位移径向位移位移：极轴OA=OC§1.4极坐标系(选讲)§1.4极坐标系(选讲)2.速度径向速度横向速度极轴§1.5相对运动研究的问题:

在两个惯性系中考察同一物体的运动静止参照系S（相对观察者固定不动）运动参照系S（相对S系沿x轴作匀速直线运动）一、伽利略变换OOxxyPzz或逆变换：y这组S系和S’系的时空变换关系即伽利略变化§1.5相对运动分量式：或：一般式：或：§1.5相对运动二、伽利略变换中蕴含的时空观伽利略变换中的时空观是：绝对空间和绝对时间观。即：空间长度和时间的测量结果都与参考系的相对运动无关。此观点只在相对运动速度较小下成立，当相对运动速度非常大，即与光在真空中速度时，同一长度或同一段时间的测量结果并不是绝对的，这将在狭义相对论中详细介绍。§1.5相对运动三、伽利略速度变换将式两边一起求导有：因而通常说：绝对速度＝相对速度＋牵连速度。用分量式