2022-2023学年八年级数学上册 勾股定理 单元复习试题

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勾股定理

一．选择题

1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）

A．13B．13或C．13或15D．15

2．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）

A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2

3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt

△ABC的面积是（）

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2

4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正

方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）

A．18cm2B．36cm2C．72cm2D．108cm2

5．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，

则斜边BD的长是（）

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A．B．C．a+bD．a﹣b

6．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开

始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间

为t秒．以下结论中正确的有（）

①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分

②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时

CP长为5cm：

③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，

A．①②③B．①②C．②③D．①③

7．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正

方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）

A．B．C．D．

8．如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BC＝17，CD＝13，DA＝

20，AC＝21．则BD＝（）

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A．B．C．D．

9．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸

箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）

A．3+8B．10C．14D．无法确定

10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，

底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭

粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）

A．13cmB．2cmC．cmD．2cm

二．填空题

11．如图，已知每一个小正方形的边长为1，则BC的长，ABC的面

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积为．

12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC

外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若

S1＝9，S2＝16，则S3＝．

13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间

阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若

AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为．

14．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如

果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么

所用细线最短需要cm．

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15．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性

的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（π

取3）

三．解答题

16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的

顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别

为2、、；

（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．

17．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们

的解题思路完成解答过程．

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18．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中

的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直

角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请

你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a2+b2＝c2．

19．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯AB，如图

斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙角C的距离为7米．

（1）求这个梯子的顶端距地面AC有多高？

（2）如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后

停在DE的位置上（云梯长度不变），测得BD长为8米，那么云

梯的顶部在下滑了多少米？

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20．如图，东西走向的A、B两座城市相距100千米，现计划要在

两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林

保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°

方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的

圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林

保护区？为什么？

参考答案

一．选择题

1．B．

2．C．

3．A．

4．D．

5．B．

6．A．

7．D．

8．B．

9．B．

10．A．

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二．填空题

11．；5．

12．7．

13．1．

14．10．

15．3．

三．解答题

16．解：（1）（2）如图所示：

（3）连接AC，

由勾股定理得：AC＝BC＝，AB＝，

∵AC2+BC2＝AB2＝10，

∴△ABC为等腰直角三角形

∴∠ABC＝45°．

17．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14﹣x，

由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2

＝132﹣（14﹣x）2，

故152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，

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解之得：x＝9．

∴AD＝12．

∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．

18．解：利用图1进行证明：

证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则

CE＝a+b，

∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，

又∵S四边形BCED＝（a+b）2，

∴ab+c2+ab＝（a+b）2，

∴a2+b2＝c2．

利用图2进行证明：

证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝

b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．

又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），

∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），

∴a2+b2＝c2．

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19．解：（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，

即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端

到地的距离线段为另一个直角边，

所以梯子顶端到地的距离为252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为

24米．

（2）当梯子顶端下降4米后，梯子底部到墙的距离变为252﹣

（7+8）2＝202，

24﹣20＝4所以，梯子底部水平滑动4米即可．

20．解：过点P作PD⊥AB，垂足为D，由题可得∠APD＝30°∠BPD

＝45°，

设AD＝x，