平行线的证明

PAGEPAGE1平行线的证明第一篇：平行线的证明优毅教育20XX年3月22日春季数学同步提高课导学案设计人：杜老师学生：第八章平行线的有关证明一、知识点归纳（一）关于命题、定理及公理1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的。2.判断一件事情的句子，叫做。3.每个命题都由和两部分组成。4.正确的命题称为，不正确的命题称为。想要判定一个命题是假命题只需要,而要说明一个命题是真命题则需.（二）平行线的性质及判定判定：（1）（公理）（2）（3）性质：（1）（公理）（2）（3）1.如图1，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（）A.∠2＋∠3＝180°B.∠1＋∠5＝180°C.∠4＝∠7D.∠1＝∠85.公认的真命题称为公理（所有公理）6.推理的过程称为。7.经过证明的真命题称为。8．由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的同步练习：1.把命题“对顶角相等”改写成“如果„„那么„„”形式为。2.请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”是（真命题或假命题），理由：______________________________________。3.下列语句不是命题的是（）A.20XX年奥运会的举办城是北京B.如果一个三角形三边a，b，c满足a＝b＋c，则这个三角形是直角三角形C.同角的补角相等D.过点P作直线l的垂线4.下列命题是真命题的是（）ca325b7图1图23.如图2，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（）A同位角相等两直线平行B.同旁内角互补，两直线平行C内错角相等两直线平行D平行于同一条直线的两直线平行4.已知，如右图AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152,则∠BED=__________.AFBE5、如下图，平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.6、如下图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度是.A.a一定是负数B.a0C.平行于同一条直线的两条直线平行D.有一角为80°的等腰三角形的另两个角都为50°5．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题.第5题图中考（平行线）1．（山东济宁）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70方向到达B地，然后再沿北偏西20XX向走了500m到达目的地C,此时小霞在营地A的A.北偏东20XX向上B.北偏东30方向上C.北偏东40方向上D.北偏西30方向上5．（湖南郴州）下列图形中，由ABCD，能得到12的是（）6．（20XX湖北襄樊）如图1，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120XXD．100°图1．2．（山东威海）如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，7.（甘肃）如图，AB∥CD，EFAB于E，EF交CD于F，已知160°，则2（）∠DBC＝20XX则∠CAE的度数是A．30°B．20XX．25°D．35°A．40°B．60°DC．70°D．80°EABAE3．（山东聊城）如图，l∥m，∠1＝115º，∠2＝95º，则∠3＝（）8．如图1，直线a∥b，C与a、b均相交，则＝（）A．120XX．130ºC．140ºD．150º4．（山东省德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E等于第2题图C9．（荷泽）如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，如果∠FBQ＝50°，则∠ECM的度数为A．60°B．50°C．40°D．30°MQN（Ａ）30°（Ｂ）40°（C）60°（Ｄ）70°C5题图10．（新疆维吾尔）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（）A.45°B.35°C.55°D.125°11．（20XX贵州遵义）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是A．80°B．100°C．110°D．120XX15．（福建三明）如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB//CD，试写出符合要求的一个条件：。（三）三角形的内角和外角的定理1.三角形内角和定理：。2.三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。12．（20XX广东肇庆）如图1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，则∠C等于（）B．25°D．40°3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。1、（20XX•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）13．（20XX山东日照）如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于．oA、45°B、60°C、75°D、85°2、（20XX•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）14．（20XX山东烟台）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°3、（20XX•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）4、（20XX•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A、37B、57C、77D、975、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）6、（20XX•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）2.如图所示，XOY=90°，点A、B分别在射线OX，OY上移动，BE是ABY的平分线，BE的反向延长线与OAB的平分线相交于点C，试问ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B的移动变化，请给出变化范围。7、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A、至少有两个锐角B、最多有一个直角C、必有一个角大于60°D、至少有一个角不小于60°8、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）3.一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20XX如果打八9如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（）折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？4.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．10、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）解答题1.已知：如图15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3。求证：AD平分∠BAC。第二篇：平行线证明基础训练例1、已知，如图，EF//BC,AD,AOB70，1C150,求B的度数．解：EFBC,AD(已知)ABCD（内错角相等，两直线平行）COE1180（两直线平行，同旁内角互补）AOBCOE70（对顶角相等）118070110（等式的性质）1C150（已知）C150-11040（等式的性质）CB（两直线平行，内错角相等）B40（等量代换）例2、已知：如图，AC//BD,AD，求证：EF.证明：ACBD(已知)ABDBAC180，BOCACD180（两直线平行，同旁内角互补）1（两直线平行，内错角相等）2AO（已知）ABDACD（等式的性质）1AE1802DF180（三角形内角和定理）EF（等式的性质）练习：1、如右图,AB//CD,AD//BE,试说明∠ABE=∠D.∵AB∥CD(已知)∴∠ABE=___________(两直线平行,内错角相等)∵AD∥BE(已知)∴∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代换)2、已知：如图，AB∥CD，EF为直线，∠1=67°，∠2=23°，求证：EF⊥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因为∠2=23°（），所以∠2+∠3=90°故EF⊥CD（垂直的定义）．3、已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：EF∥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠A=∠）．又因为∠1=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．故EF∥CD（）．EAB2C3DF.cnEOFD.cnA例1、如图，（1）根据同位角相等，两直线平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；（2）根据内错角相等，两直线平行，由∠4=∠，可得EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；（3）根据同旁内角互补，两直线平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥；由∠4+∠=1800，可得ED∥；例2、如图所示，由下列条件，，，可以判定那两条直线平行，BEDB180AAODACBF并说明判定的依据。解：（）AAOD//（）（）ACBF//（）（）ACBF//（）（）BEDB180AD//（）例3、如图,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度数.解:∵∠1=∠2()AD∥BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()∠ABC=_______－______=_______度.例3、如图,已知:AB∥CD.说明∠2=∠B－∠D的理由.解:过点E画EF∥CD.∵AB∥CD()AB∥EF()∠BEF=∠B,∠1=∠D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即∠___=∠B－∠D.例4、一个角的余角与这个角的补角的一半互为余角，求这个角。0A)，外角为(180A)A，则它的余角为(9解：设这个角为DCAABCDEF1由题意得：(解得90A)(180A)90A60例5、已知如下图，若∠BED=∠B+∠D，则直线AB与CD平行吗？为什么？解：过点E作EF∥AB．所以∠BEF=∠B（），又因为∠BED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）例6、如图所示，已知AB//CD，BAE40，ECD62，EF平分，求AECAEF的度数。解：过E作EG//ABDAB//CD（已知）EG//CD（）（）AEGBAE40CEGECD60AECAEGCEG4062102（已知）AECEF平分AEFAEC51（角平分线定义）2练习1、如图所示，已知AB//CD，12AB//CD（），1______（）（），122_____（）BD是的________.ABC2、如图所示，已知，AFCD（）AFAC//DF（）DCABDEFABCD______（）CD（）1C（）BD//CE（）作业：1.如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判断a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④2.如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度数？析解：由于此图不是“三线八角”的基本图形，需要添加辅助线构造基本图形。过点P作射线PN∥CD，因为AB∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250（）。由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。说明：通过作辅助线构造图形，使图形满足某些性质，从而达到解决问题的目的。3.如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F，∠l=∠2．试说明：∠AGD=∠ACB．析解：要说明两个角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，这样问题转化为说明GD∥CB。因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如图,已知:DE∥AC,EF∥CD.说明∠1=∠2的理由.解:ADFBCA5.如图,已知:AC∥DE,DC∥EF,∠1=∠2.说明∠3=∠4的理由.解:FBEAB6.如图,已知∠1=∠2,BE∥CF,说明BA∥CD的理由.EFCD第三篇：平行线的证明平行线的证明：命题：判断一个事情的句子。命题一般由条件和结论组成。通常可以写成如果…那么…的形式。如果引出的是条件那么引出的是结论。正确的为真命题不正确的为假命题要证明一个命题是假命题通常要举一个例子，使它具备问题得条件不具备问题得结论，我们称这样的例子为反例。经过证明的真命题为定理平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）平行线的性质：两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补平行线及其判定练习题一、选择题:1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACDADAEDAEC(1)(2)(3)2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是()A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列说法错误的是()A.同位角不一定相等B.内错角都相等C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交二、填空题:1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.CD3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是三、训练平台:(每小题15分,共30分)1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.A2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.EAC四、提高训练:KHBD如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?deabc五、探索发现:如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.24ACB657D六、中考题与竞赛题:(20XX.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:•①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为()A.①②B.①③C.①④D.③④c41a57b第四篇：平行线证明难题第二章平行线的性质和判定拔高训练1．(1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置．若∠EFB=65°，则AED等于__________．(2)如图2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是__________．(3)如图3所示，AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．'''2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是（）A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°3．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（）个数A．1B．2C．3D．44．如图所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，则∠GEF=__________．5．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．7．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF8．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．9．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．10．如图所示，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证：∠EDF=∠BDF．11．如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证∠BFE=∠FEC第五篇：平行线证明复习题平行线证明1.平行线的性质：⑴两直线平行，同位角相等.⑵两直线平行，内错角相等.⑶两直线平行，同旁内角互补.2.平行线判定定理：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行3.三角形内角和定理：三角形的内角和等为180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的内角和是外角和的一半。三角形内角和等于三内角之和.基础练习：1．如图１，若A=3，则∥；若2=E，则∥；若+=180°，则∥．cdEa223bCAB图１图22．若a⊥c，b⊥c，则ab．3．在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，则∥（）．4．如图2，若∠1+∠2=180°，则∥。5．如图3，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD=∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD=∠ACB得∥（）；（3）由∠CBA+∠BAD=180°得∥（）ADDl1143l2CBC图5图3图46．如图4，尽可能多地写出直线l1∥l2的条件：．7．如图5，尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来：．8．如图6，推理填空：（1）∵∠A=∠（已知），∴AC∥ED（）；（2）∵∠2=∠（已知），∴AC∥ED（）；（3）∵∠A+∠=180°（已知），∴AB∥FD（）；（4）∵∠2+∠=180°（已知），BDC∴AC∥ED（）；图69．如图7，直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ．EBF图7QPD强化巩固:1．如图1，已知∠1=100°，AB∥CD，则∠2=，∠3=，∠4=．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE=．CF1BBEDDFBABD图1图2图4图33．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A+∠=180°，∠F+∠=180°（）．（2）若∠2=∠，则AE∥BF．（3）若∠A+∠=180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2=2∠1，则∠2=．5．