第三讲充满智慧的数学思想方法

第三讲充满智慧的数学思想方法第一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一

古希腊的毕达哥拉斯把数学分为四大学科：算术、音乐、几何和天文。这种分类对西方数学教育和研究产生了深远的影响，直到文艺复兴时期，西方数学仍然主要分为这四科。

《九章算术》把数学分为九部分：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

一、数学的学科结构第二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一这首歌没有什么音？“宫、商、角、徵、羽”：我国五声音阶中五个不同音的名称，2600前，春秋时期）“三分损益法

”.1、2、3、5、6宫商角徵羽金木水火土肺肝肾心脾鼻目耳舌口（音、行、脏、官）（美丽其格词曲胡松华吴雁泽演唱1952年）第三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一数学与音乐数学是理性的音乐，音乐是感性的数学，两者的灵魂完全一致的！……当人类的智慧升华到完美境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了。西尔威斯特Sylvester,1814-1897英国数学家。他创造了许多数学名词，当代数学中常用到的术语，如不变式、判别式、雅可比行列式等都是他引入的。也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号，因为我相信数学理性创造物由我

命名比起同时代其他数学家加在一起还要多。数学家西尔威斯特第四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一音律与数学：音律按照和谐要求由数来确定。古希腊“万物皆数”：宇宙是按照和谐形成的，形成和谐需要秩序，构成秩序体系的根本是数，数就是构成宇宙的根本。声音的本质是空气的振动，并以声波的形式传播的，波都有三个本质的特性：频率/波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定“音高”，振幅决定“音响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。律学不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。第五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一人耳对于声波的频率是指数敏感的。比如，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按的等比规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。由于人耳对于频率的指数敏感，“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”。中的1和就是八度音程的关系。也就是说，高音的频率是1的两倍。用写的歌，如果换用高音来写，只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。第六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按数学上比2:1是简单性仅次于它的就是3:1，那么，我们如果按住弦的1/3点,其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍，另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。接着再试，我们又得到了一个重要的频率，4/3F。在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。第七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一这个现象也被很多民族分别发现了。最早从数学上研究弦的振动毕达哥拉斯，我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》所谓“三分损益律”。得到这两个频率之后，再继续找1/5点、1/6点等等继续试下去，听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。由“等差音高序列”，在下一个八度中的音，有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。第八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一这样一直循环找下去会没完没了的，因为我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是，不会是整数，更不会是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到（3/2）5≈7.59，和23=8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。这就是为什么音律上要取7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F，这7个频率组成了7声音阶。第九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律，重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯，是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他说要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇，不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。自然音阶也有7个音，频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了第十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一对于“五度相生律”的另一种修正：取7个音符，是因为（3/2）5≈7.59，和23=8很接近。可这毕竟是近似值，在一个八度之内，问题不大，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，差异就大了。于是人们开始寻找更好的近似值。通过计算，古人发现（3/2）12≈129.7，和27=128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，就有了12个音符。注意，“规范”音阶是12个音符了。这种经过修改的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。可以发现原来的7个音都还在，多出的了5个，分别插在它们之间，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率的比例只有两种：256:243（原来的“半音”）2187:2048（称为“变化半音”）。第十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一这种12声音阶在音乐界的地位，举一个例子就能说明了：钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展呢？12声音阶的依据就是（3/2）12≈129.7，和27=128很接近，按照这个思路，可以继续找接近的值。我国西汉的著名学者京房发现（3/2）^53≈2.151×109，和231≈2.147×109也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了！“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有自然半音和变化半音两种，而且两种半音彼此差距还不小。如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。第十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”,就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。终于还是有人想到了彻底的解决办法:为了在一个八度内均分12份直接就把2:1这个比例关系开12次方，真正的半音比例应该是。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率2^(1/12)F，……，第十二个是2^(11/12)F，第十就是2^12/12F，就是2F，正好是F的八度。这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响,这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）（1536-1611）。朱载堉（1536年—1611年）明朝皇子。第十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一朱载堉用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右，不过很快就传播、流行开来了。理论上来说，所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明，十二平均律仅仅在中低频率适用于人对音阶感觉，当频率较高时（往往大于1500Hz），人感觉上的音阶较实际计算的十二平均律偏高，所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。为了声音的协和，实际上钢琴各个键的音高也并不是严格按照十二平均律来调音的，在中音区，严格按照十二平均律来调音；在高音区，倾向于五度相生律，即半音变小；在低音区，倾向于纯律，半音变宽。正式的交响乐校音的基本频率往往不是440Hz，一般会提高至442Hz左右。第十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一18世纪法国数学家达朗贝尔和哲学家狄特罗主编《百科全书》的分类结构（光学、天文学、力学视为数学的一部分）：纯数学几何算数初等几何超越几何数值算术代数无穷小代数初等代数微分积分混合数学光学普通光学、透视学、反射光学猜测的艺术，声学天文学天体演化（地理、水文地里、天像图说），年代学，计时学。力学静力学：普通静力学、流体静力学动力学：普通动力学、弹道学、流体动力学第十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一《中国大百科全书——数学卷》：

数学史、数学基础、数理逻辑、集合论、代数学、数论、几何学、拓扑学、分析学、微分方程、计算数学、概率论、数理统计、运筹学，共14个二级学科。300多位数学家撰写。1995—2009年第二版。第十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一第十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一第十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一专业：信息与计算科学、数学与应用数学；学科：基础数学、应用数学、计算数学、运筹与控制、概率与数理统计。分析学：微积分，无穷级数，微分方程，复变函数论，实变函数论，泛函分析等。代数学：高等代数，数论，抽象代数，同调代数，代数几何等。几何学：解析几何，微分几何，拓扑学，分形几何，射影几何，非欧几何等。计算数学：数值分析基础，微分方程数值解，最优化理论，小波变换，神经网络计算等。随机数学：概率论，数理统计，随机过程理论，时间序列分析。作为大学数学教育的课程结构第十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一中国数学文摘2000数学主题分类表(一级类目)00总论01历史与传记03数理逻辑与基础05组合论06序,格,有序的代数结构08一般代数系统11数论12域论和多项式13交换环和交换代数14代数几何15线性代数和多重线性代数;矩阵论16结合环与结合代数17非结合环与非结合代数18范畴论;同调代数19K-理论20群论及推广22拓扑群,Lie群26实函数28测度与积分30单复变函数31位势论32多复变量与解析空间33特殊函数34常微分方程35偏微分方程37动力系统和遍历理论39差分方程与泛函方程1987年创刊，报导中国数学领域最新研究成果和进展。第二十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一40序列、级数、可求和性41逼近与展开42Fourier分析43抽象调和分析44积分变换,算子演算45积分方程46泛函分析47算子理论49变分法与最优控制;最优化51几何52凸几何与离散几何53微分几何54一般拓扑学55代数拓扑学57流形和胞腔复形58大范围分析,流形上的分析60概率论与随机过程62统计学65数值分析68计算机科学70质点和系统力学74变形固体力学76流体力学78光学,电磁理论80经典热力学,热传导81量子理论82统计力学,物质结构83相对论和引力理论85天文学和天体物理学86地球物理学

第二十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一90运筹学,数学规划91对策论,经济,社会科学和行为科学92生物学和其它自然科学93系统论;控制94信息和通讯,电路97数学教育美国《数学评论》(Mathematicalreviews)于1940年创刊,该刊创始编辑有数学史家O.诺伊格鲍尔(Neugebauer，1899-1990)、数学家J.D.塔马金(Tamarkin，1888-1945)和O.维布伦(veblen，1880-1960)，

,现在每期约有45000条评论，分为61个类别，依靠世界各地近12000位评论员撰写，是世界上重要的数学检索刊物之一。.第二十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一二、充满智慧的数学思想方法点滴1.代数

研究数的性质；代数方程求解；代数结构。（1）算数基本定理(公元前350年，欧几里德)：对任何一个正整数，都有唯一的分解。其中的是质数，是正整数。定理显示出质数的重要性！第二十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一代数学的符号化第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书全部由文字表述。(公元前1世纪，《九章算术》）第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采用以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。（公元3世纪，《算术》，丢番都，代数学鼻祖，李冶天元术。）第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达（Viete,Francois.1540—1603）对代数学符号化的发展作出了重要贡献。（公元16世纪，《分析方法入门》，韦达，代数学之父）第二十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一数系的扩展：正整数：远古，计数、记数。文明古国。有理数：正有理数，中国《九章算术》，古希腊数学。负整数、零：中国《九章算术》。无理数：不可通约量的发现，开不尽方的数的开方，毕达哥拉斯、刘徽。实数：极限封闭，完备的有序域。复数：为了任意的代数方程有解。第二十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一有理数域Q:1、是一个数的集合：2、关于代数运算成为一个最小的数域；3、关于大小关系是一个有序域；4、关于距离是一个度量空间；5、有理点在数轴上处处稠密，但是在实数轴上占据的长度为0；6、有理数的个数是可数的，即与自然数个数一样多。第二十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一实数域R:1、R是一个数的集合：2、关于代数运算成为一个完备的数域；3、关于大小关系是一个有序域；4、关于距离是一个度量空间；5、实数点填满实数轴，区间[0,1]中无理数在实数轴上的长度为1；6、实数是不可数的，且与无理数、超越数的个数一样多。复数域（二元）、四元数域、八元数域、…第二十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（2）代数方程的求根公式（9世纪的花拉子米，16世纪的卡尔丹诺、塔尔塔利亚、费拉里）：塔尔塔利亚(Tartaglia)（意大利，1499—1557）卡尔丹诺（Cardano）（意大利，1501—1576）花拉子米（Khwārizmi）（阿拉伯，约783—850）费拉里（Ferrari）（意大利，1522—1565）第二十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一阿拉伯的花拉子密阿拉伯人在6世纪摧毁了古希腊数学，但是，稳定后，阿拉伯数学家广泛吸收古希腊、古印度、中国传统数学，8世纪阿拉伯数学进入兴盛时期。中心在巴格达。830年设“智慧宫”，云集大批学者，卓越代表是花拉子密（Algoritmi）。代表作：《代数学》、《印度的计算术》。

成果：1、系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的算术运算，对十进位制记数法在欧洲传播起关键作用；2、一元二次方程系统解法；3、引入数学名词：方程求根、代数(algebra)、算法(Algorithm)。1898年，李善兰和伟烈亚力译为“代数”，简洁、传神。第二十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一一次方程：二次方程：三次方程：第三十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一三次方程解法：考察：设只要求得a,b,即可得y。于是问题转化为：给定原方程，求出满足的a,b。等价于由韦达定理：卡尔丹公式：解三次方程转换为解二次方程，分13种情形。第三十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一韦达三次代数方程解法：韦达（Vieta）法国，1603-1540律师。16世纪最伟大的数学家，符号代数学之父。令代表作：《分析术引论》成就：1、改进了三次、四次代数方程求解方法；2、发现了二次方程根与系数关系的韦达定理；3、继承丢番图思想进一步代数变量、常数符号化，研究一般三次方程,用元音字母表示未知数，辅音字母表示常数。1637年，笛卡尔用字母表中前面字母表示已知数，后面字母表示未知数。趣事：解决比利时罗曼尼斯提出的一个45次代数方程求解；破译西法战争中西班牙的密码。第三十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一费拉里四次方程解法：精湛的艺术关于的三次方程可解解得代入上式两端成完全平方费拉里方法：解四次方程转换为解三次方程。分20种情形。第三十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一任何复系数一元

次多项式方程在复数域上至少有一根(

)，从而达朗贝尔、欧拉、拉格朗日都有过不完全证明，高斯在博士论文中给出了第一个严格证明(1799年）。据统计，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。但是都不是纯代数证明。

高斯（Gauss）（德国,1777—1855）数学王子高斯：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”（3）代数基本定理（1629年，吉拉尔，荷兰

）第三十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一阿贝尔（Abel）（挪威，1802—1829）阿贝尔：《论代数方程，关于一般五次方程的不可解性的证明》（1824年），提出置换群理论。（4）代数方程公式可解性问题：五次及五次以上代数方程有没有求根公式？

伽罗瓦（Galois）

（法国，1811—1832）伽罗瓦：方程全部根的域——这个域对应于方程根的一个伽罗瓦群。当且仅当方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。第三十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（5）抽象代数结构（群）阿贝尔、伽罗华的工作使得代数的研究从方程求根转变为研究代数结构。设是一个非空集合，在上有一个运算，如果满足条件：当时，称为交换群。称

关于运算构成一个群，记为第三十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一一种重要的群：模p剩余类加群。模的剩余类集合规定加法“+”：

+[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]第三十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现……。在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。第三十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一三元线性方程组三元线性方程组的解为:（6）解线性代数方程组的克莱姆法则(1750年)

第三十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一克莱姆（Cramer)

(瑞士，1704—1752)第四十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一毕氏定理与第一次数学危机不可公度量的发现：正方形的边长与其对角线长没有公度。2.几何几何图形的几何量计算；几何图形的构造、关系；几何图形的微观性质与宏观性质。（1）毕达哥拉斯定理第四十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一几何学的公理化1899年希尔伯特《几何基础》选择和组织公理系统的原则希尔伯特(德,1862-1943)“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”第四十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一问题：第五公设可否从其他公理推出来？罗巴切夫斯基几何：从直线外一点，至少可以做两条直线和已知直线平行。推论：三角形内角和小于180°。黎曼几何：过直线外一点，不存在直线和已知直线平行。推论：三角形内角和大于180°。欧氏几何平行公设：过直线外一点，能且只能作一条直线与已知直线平行。推论：三角形内角和等于180°。（2）非欧几何第四十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一

高斯(Gauss)(德国,1777—1855）

鲍耶(Bolyai)（匈牙利,1802—1860)罗巴切夫斯基（Lobachevsky）(俄国,1792—1856)黎曼(Riemann)(德国,1826—1866）第四十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一波尔约父子之墓波尔约(罗马尼亚,1960)π(α)α第四十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。直线l为其渐近线。第四十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一克莱因-庞加莱圆1871年克莱因(德,1849-1925)1882年庞加莱(法,1854-1912)第四十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一内蕴几何，流形曲率1854年黎曼(德,1826-1866)《关于几何基础的假设》黎曼几何：三角形内角之和小于两直角；过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。第四十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（3）解析几何笛卡尔（法国，1596—1650）点的概念函数概念几何代数一体化1）二元二次方程的图形曲线通过坐标轴的平移、旋转可归结为第四十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一2）三元二次方程的图形曲面通过坐标轴的平移、旋转可归结为柱面和如图的曲面：第五十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一(3)二元三次方程：椭圆曲线任何二元二次曲线都可以通过坐标系的平移和旋转，划归为三种圆锥曲线，或者直线。但是，椭圆曲线极其复杂。第五十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（4）分形几何“英国的海岸线有多长？”（1973年）曼德波罗特（Mandelbrot）（法、美，1924—2010）第五十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一据计算：中国大陆海岸线从鸭绿江到北仑河口的长，用1千米长的尺子，量得段数海岸线长约1.8万千米。用1厘米长的尺子，量得段数海岸线长约381万千米。212倍。第五十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一柯赫(瑞典,1870-1924)柯赫曲线维数D＝log4/log31.26第五十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一西尔宾斯基(垫片D=1.58,海绵D=2.72)康托尔尘埃(D=0.63)第五十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一复平面上二次函数迭代的图形。第五十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一第五十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（5）格尼斯堡七桥问题一个步行者能不能不重复、不遗漏地一次走完7座桥，最后回到出发点?

1736年，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题：不能！连通图是一笔画，当且仅当奇次数顶点的个数是0,2。

拓扑学图论普雷盖尔河高桥店主桥铁匠桥绿桥馋鬼桥密桥内福夫岛木桥第五十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一3.分析学基本研究对象：函数

基本工具：极限

包括微积分、无穷级数、微分方程论、函数论、泛函分析等。分析学的基础是微积分。微积分起源于：求变速直线运动的瞬时速度；求函数的极大值与极小值；确定一般曲线的切线；计算弧长、面积、体积的计算。第五十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一1614年《奇妙对数规则的说明》；1620年冈特（英，1581－1626）制成第一把对数尺。

纳皮尔（苏格兰，1550－1617年）费尔马（法，1601－1665年）数论对数费尔马大定理；费尔马数。第六十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一

1637年《方法论》；《折光》：折射定律；《气象》：虹的形成原理；《几何学》：解析几何思想。笛卡儿（法，1596－1650年）

笛卡儿的《几何学》1637年第六十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一雅格布•贝努利(瑞，1654-1705)

1691年引入极坐标；深入研究对数螺线。解析几何的发展约翰•贝努利(瑞，1667-1748)1715年引入空间坐标系第六十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期一牛顿(英，1643-1727年)"NatureandNature'slawslayhidinnight;Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight."牛顿《自然哲学的数学原理》1687年第六十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期一牛顿的万有引力（摩纳哥，1987）苹果和《自然哲学的数学原理》（英国，1987）二项式定理（朝鲜，1993）第六十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期一莱布尼茨(德，1646-1716年)法学博士，外交官第一篇发表的微分学论文:《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(1684)第一篇发表的积分学论文:《深奥的几何与不可分量及无限的分析》(1686)一些重要贡献：计算机、物理学、力学、光学、地质学、化学、生物学、心理学、哲学优先权争论.第六十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期一泰勒(英,1685-1731)达朗贝尔(法,1717-1783)拉格朗日(法,1736-1813)柯西(法,1789-1851)李普希茨(德,1832-1903)第六十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期一牛顿无穷小分析法与数学第二次危机：贝克莱大主教：《分析学家，或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》（1734年）

贝克莱（英国,1685—1753）（1）微积分

假设≠0！假设=0！问题：=0？≠0？第六十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期一牛顿—莱布尼茨公式：数学史上最给力的计算公式和式极限变化率第六十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（2）微分方程达朗贝尔（1747年）：弦振动方程欧拉（1752年）：位势方程傅里叶（1822年）：热传导方程欧拉（Euler)(瑞士，1707—1783）傅里叶(Fourier)(法国，1772—1837）达朗贝尔(D′Alember)（法国，1717—1783）第六十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期一（3）泛函分析巴拿赫（Banach）（波兰，1892—1945）Banach压缩映像原理：设是完备的度量空间，是到的压缩映射，即满足则存在唯一的不动点，有任取作迭代序列第七十页，共七十七页，编辑于2023年，星期一

康托尔（德国，1845—1918）4.集合论数学基础概念，核心是关于无穷集合的理论。集合的基数记为。命题1

设分别是正整数集，有理数集，无理数集和实数集。则有命题2平面上点的集合和实数轴上点的集合对等。刘维尔超越数（1851）：

命题3实代数数的集合是可数的，超越数的集合不可数。第七十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期一罗素(Ru