离散傅里叶变换数字信号处理陈后金

重点和难点

本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概念，以及DFT在信号分析和系统分析中的重要作用本章的难点是利用DFT分析连续信号频谱过程中出现的现象DFT当前第1页\共有67页\编于星期五\11点问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号频谱的数值化分析?1.许多实际信号不存在数学解析式2.利用计算机数值计算,简单快捷DFT当前第2页\共有67页\编于星期五\11点

有限长序列的傅里叶分析四种信号傅里叶表示有限长序列离散傅里叶变换DFT矩阵表示利用MATLAB计算DFTDFT当前第3页\共有67页\编于星期五\11点四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点：离散非周期谱DFT当前第4页\共有67页\编于星期五\11点四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱DFT当前第5页\共有67页\编于星期五\11点四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为2的连续谱DFT当前第6页\共有67页\编于星期五\11点四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱DFT当前第7页\共有67页\编于星期五\11点有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示DFT当前第8页\共有67页\编于星期五\11点有限长序列DFT与DTFT关系

有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换X(ejW)在一个周期[0,2p)的等间隔抽样DFT当前第9页\共有67页\编于星期五\11点DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对DFT当前第10页\共有67页\编于星期五\11点例3:求有限长4点序列的DFT。例题：例4有限长4点序列DFT矩阵表示。DFT当前第11页\共有67页\编于星期五\11点DFT当前第12页\共有67页\编于星期五\11点例4:求有限长4点序列的DFT。如果序列后补零，其DFT有何变化?解:DFT当前第13页\共有67页\编于星期五\11点X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限长4点序列DFT矩阵表示:DFT矩阵表示DFT当前第14页\共有67页\编于星期五\11点DFT矩阵表示DFT当前第15页\共有67页\编于星期五\11点利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

计算M点的DFT。M是序列x的长度。fft(x,N)

计算N点的DFT。M>N，将原序列裁为N点计算N点的DFT；M<N，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。DFT当前第16页\共有67页\编于星期五\11点x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB计算DFT---N=4、8、16DFT当前第17页\共有67页\编于星期五\11点x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB计算DFT---N=16、64、256DFT当前第18页\共有67页\编于星期五\11点x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));DFT当前第19页\共有67页\编于星期五\11点DFT当前第20页\共有67页\编于星期五\11点离散傅里叶变换的性质

1.线性

2.循环位移

3.对称性

4.序列的循环卷积5.Parseval定理6.序列DFT与z变换的关系DFT当前第21页\共有67页\编于星期五\11点1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFTDFT当前第22页\共有67页\编于星期五\11点2.循环位移(圆周移位)循环位移定义为:注意：隐含的周期性DFT当前第23页\共有67页\编于星期五\11点时移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。证明：DFT{xp[kn]RN

[k]}DFT当前第24页\共有67页\编于星期五\11点频移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在时域上乘以复数指数序列WNlk，则在频域上，X[m]将圆周移位l位，也称“调制定理”。DFT当前第25页\共有67页\编于星期五\11点设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]3.对称性(symmetry)---1）实数序列x[k]DFT当前第26页\共有67页\编于星期五\11点x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]DFT当前第27页\共有67页\编于星期五\11点3.对称性---2）复数序列x[k]DFT当前第28页\共有67页\编于星期五\11点若x*[k]是有限长序列x[k]的共轭复数序列，并设x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.对称性---2）复数序列证明：DFT当前第29页\共有67页\编于星期五\11点循环卷积DFT当前第30页\共有67页\编于星期五\11点4.循环卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的循环卷积5.Parseval定理DFT当前第31页\共有67页\编于星期五\11点序列DFT与z变换的关系有限长序列x[k]的DFT：有限长序列x[k]的z变换：DFT当前第32页\共有67页\编于星期五\11点序列DFT与z变换的关系：x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样DFT当前第33页\共有67页\编于星期五\11点两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的长度为N1、序列h(n)的长度为N2，那么线性卷积y(n)也是一个有限长序列，且其长度为N1+N21。每个x(n)的样值都必须与每个h(n)的样值相乘，需N1N2次乘法运算，在N1=

N2=

N时，需N2次乘法运算。能否用圆周卷积代替线性卷积??将进行卷积的两序列长度均加长至N

N1+

N21，然后再进行圆卷积，则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。DFT当前第34页\共有67页\编于星期五\11点序列线性卷积DFT当前第35页\共有67页\编于星期五\11点序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积??序列圆周卷积DFT当前第36页\共有67页\编于星期五\11点DFT当前第37页\共有67页\编于星期五\11点利用DFT计算序列线性卷积的步骤若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。序列补零加长至Lx[k]N点L点DFTX[k]L

N

+

M

1序列补零加长至Lh[k]M点L点DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接线卷积：N1N2次乘运算，N1

N2=

N时，需N2乘。利用圆卷积：两次FFT，一次IFFTDFT当前第38页\共有67页\编于星期五\11点在一般的数字滤波器中，由于h(k)或H(m)是预先设计好的，已置于存储器中，故实际只需二次FFT的运算量。假定N

=

M=

L，补零后长度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)与H(k)两序列相乘，全部复运算次数为2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接线卷积：10485766464=4096利用圆卷积：24576896

显然，随L，利用圆卷积比L2显著减小，所以采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。利用DFT计算序列线性卷积的步骤DFT当前第39页\共有67页\编于星期五\11点利用DFT计算序列线性卷积的步骤两序列长度接近或相等的情况下，采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。如果其中一个序列较短，而另一序列很长，圆卷积方案的相对运算量可能减小不多，甚至增多。这时，可采用分段卷积（分段过滤）的方法。其基本原理是：将较长的一个序列，比如x[n]分成许多小段，每小段长度都与h[n]接近，将x[n]的每个小段分别与h[n]作卷积，最后取和。这时，仍有可能发挥快速卷积的优越性。此方案的具体实现不是唯一的。DFT当前第40页\共有67页\编于星期五\11点长序列和短序列的线性卷积直接利用DFT计算的缺点：(1)信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多。(2)内存要求大。(3)算法效率不高。解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法。DFT当前第41页\共有67页\编于星期五\11点长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）将长序列x[k]分为若干段长度为L的序列长度、起止点？？？DFT当前第42页\共有67页\编于星期五\11点长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）y0[k]的长度及起止点：y1[k-L]的长度及起止点：注意：序列y0[k],y1[k]的重叠部分重叠的点数：L+M-2-L+1=M-1依次将相邻两段的M-1个重叠点相加？？？，即得到最终的线性卷积结果。DFT当前第43页\共有67页\编于星期五\11点DFT当前第44页\共有67页\编于星期五\11点2.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积方法：

(1)将x[k]长序列分段，每段长度为L。

(2)各段序列xn[k]与

M点短序列h[k]循环卷积。

(3)从各段循环卷积中提取线性卷积结果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1个点不是线性卷积的点，故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。第一段前需补M-1个零DFT当前第45页\共有67页\编于星期五\11点2.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积记：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-1DFT当前第46页\共有67页\编于星期五\11点DFT当前第47页\共有67页\编于星期五\11点例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。解法一：使用重叠相加法---时域序列按L个点连续分段、计算L+M-1点圆周卷积（或计算L、M个点线性卷积）、前一个分段卷积结果的后M-1个点的序列值与后一个分段卷积结果的前M-1个点的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。解法二：使用重叠保留法---时域序列以前后两段重叠M-1个点的形式按L个点分段、计算L点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的后L-(M-1)个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。DFT当前第48页\共有67页\编于星期五\11点例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。1）重叠相加法DFT当前第49页\共有67页\编于星期五\11点例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。2）重叠保留法DFT当前第50页\共有67页\编于星期五\11点利用DFT分析信号频谱问题的提出四种信号频谱之间的关系利用DFT分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象DFT参数选取DFT当前第51页\共有67页\编于星期五\11点四种信号频谱之间的关系：公式？利用DFT分析信号频谱DFT当前第52页\共有67页\编于星期五\11点四种信号的时域与频域对应关系DFT当前第53页\共有67页\编于星期五\11点利用DFT分析连续非周期信号的频谱假设连续信号持续时间有限，频带有限离散化抽样N点DFTDFT当前第54页\共有67页\编于星期五\11点例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz,用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定X[m]中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1

和f2(kHz)。

解：DFT当前第55页\共有67页\编于星期五\11点利用DFT分析连续非周期信号的频谱求x(t)=e-tu(t)的幅度谱fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);DFT当前第56页\共有67页\编于星期五\11点N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT当前第57页\共有67页\编于星期五\11点N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT当前第58页\共有67页\编于星期五\11点讨论1：x(t)无限长，其频带有限加窗抽样DFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱DFT当前第59页\共有67页\编于星期五\11点讨论2：x(t)有限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期信号的频谱抽样DFTDFT当前第60页\共有67页\编于星期五\11点讨论3：x(t)无限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期信号的频谱出现三种现象：混叠(抽样频率)、泄漏(加窗截断)、栅栏(离散频率点)抽样DFT加窗DFT当前第61页\共有67页\编于星期五\11点混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(1)混叠现象DFT当前第62页\共有67页\编于星期五\11点f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem((0:N1-1),ab