第三章的概念与性质33幂函数

第三章 3.3幂函数

1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.课标要求素养要求以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.幂函数的概念点睛一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.y＝xα幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数.形如y＝(2x)α；y＝2x3，y＝x2＋b等函数都不是幂函数.

2.幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域______________________________________值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性__________________________单调性____x∈[0，＋∞)，____x∈(－∞，0]，____________x∈(0，＋∞)，____x∈(－∞，0)，____公共点都经过点____________RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇增增减增增减减(1，1)点睛1.思考辨析，判断正误×(1)函数y＝－x2是幂函数.(

)提示根据幂函数的定义.(2)幂函数y＝x2是偶函数.(

)(3)幂函数y＝x－1是增函数.(

)提示y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.(4)幂函数都过点(0，0)，(1，1).(

)提示只有α>0时过(0，0)，(1，1)点.√××2.(多选题)下列函数中是幂函数的有(

)CD解析A、B中的函数不符合幂函数的定义，选CD.3.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.9解析由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.3.17－1>3.71－14.3.17－1与3.71－1的大小关系为________________.解析因为函数y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，且3.17<3.71，所以3.17－1>3.71－1.课堂互动题型剖析2题型一与幂函数的概念有关的问题【例1】

(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(

) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.解析

(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.B5或－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.思维升华解析

(1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.16A题型二幂函数的图象及其应用B解析

函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数，选项A，直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1；C解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).思维升华【训练2】

(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(

)解析在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0<m<1，n<－1.A.－1<n<0<m<1 B.n<－1，0<m<1C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1BC【例3】

比较下列各组数中两个数的大小：题型三利用幂函数的性质比较大小比较幂值大小的两种基本方法思维升华【训练3】

比较下列各组数的大小：(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；题型四幂函数性质的综合应用解∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴该函数的定义域为[0，＋∞)，由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增.∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*).解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.思维升华【训练4】已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.解

因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1，0，1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].1.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.2.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.

课堂小结分层训练素养提升3一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(

)C解析由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.B3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(

)AA.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0解析

由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n<m，故n<m<0.4.(多选题)下列结论正确的是(

)ADA.幂函数的图象不可能在第四象限内B.当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线C.当n>0时，幂函数y＝xn是增函数D.当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小解析当x>0时，y>0；当x<0时，y>0或y<0，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故A正确；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，故B错误；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C错误；幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x增大而减小，故D正确.故选AD.5.(多选题)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(

)ACD二、填空题(－∞，0)6.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_____________.解析

因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.故α<0.(3，5]②(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).解析对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.三、解答题9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.解

设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)<g(x).CABC13.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A