概率论与数理统计复习第2章

掌握随量分布函数的定义及性质;会计算与 量相联系的的概率F(x)=P{X£x}F(x是一个单调不减、右连续的函数；0£FxF(-¥)=0,F(¥)=a<X£b}=F-FPX=a}=F(a)-F(a-a£X£b}=F-Fa-掌握离散型随量分布率律定义和性质，会

pn =P{X=xn,n=1,2,;⑴对任意的自然数n，有pn ;

n

=0,1

x<-2,-2£x<1,XX13116212F(x =

1£x<2,

x‡2.掌握连续型随量概率密度的性质：会确定密关系，会运用概率密度求连续型随量取值落在xFx) f(t)dtFx)是连续函数；x-¥¥f(x)‡0,-¥f(x)dx=xP{x1<X£x2}=F(x2)-F(x1)x=

2f(F(x)=f(X~B(1,p

Xk=- k= X表示n重贝努里试验中成功出现的次数，则X~B(n,p),nPXk=n

pk1-

k如果n1p不是整数，则k0n+如果n1p是整数，则k0n1pn1p-k0称为二项分布的最可能成功次数令0，第k次试验中A不发生,k1,2,0，第k次试验中A不发生,k1,2, X1,Xn相互独立，都服从参数为p的两点分布令X=X1++Xn 则X~B(n,p)Xk=-k k=1,2,,¥)kk{}l- X=k

=，，Poisson若 量X~，则当n比较大，p比较小时则有PXkC

pk1-pn

l-k k X~U[a,

x<f=b-

a£x£

F=x- a£x£1 其它1

b-

b<

x>

x£ x= x£

F=

x>s,t0,P{Xst|XsP{Xt}X~N，s2

X-m~N，fx=

x-m -

-¥<x<+¥X~N，1

jx -¥<x<+¥F(-x)=1-FxFX(x)=P{X£x}=F(x-mbb-P{a<X<b}=F(

若X~N(m,s2),有YaXb~Nmba2s2设X是一连续型 ⑴先求YX的分布函数=YX£

fX(g(x)£⑵利用YgX的分布函数与密度函数之间的关系求YgX的密度函数fY.定理若函数gx)在(ab)内严格单调，其反函数xhy)有连续导数，则f(y)

fX[h(y)]|h(y)

a<y<b, 如果如果Fx)y(xf(t F(x)=f[j(x)]j(x)-f[y(x)]y( 如果随量X的分布律k }k

k= X= =其中l0为常数试确定未知常数c

lck

¥l=k

=¥lk¥l而k

¥l=¥lk

-1=el-所以c

el-设一个人在一年内的感冒次数服从参数l=oisson分布，现有一种预防感冒的药，它对30%的人来讲，可将上述参数l降为l1疗效显著）；对另45%的人来讲，可将参数l降l4疗效一般）25%的人来讲，则是无效的 服用此药一年，在这一年他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的概率．A1该药疗效显著

A2该药疗效一般 =该药无效}则由 P1BA1

P1BA1+PA20.30·e-

+PA3B= 330.30·33=

+0.45·

e-4+0.25·e-例2 单交保费100元，当被保人一年内时，家属可从公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内 X~（1）P(公司亏本)=P(25-2X<12

=1-P(X£

=1- k

.(0.001)12

»1- k

=7（2）P(公司获利不少于k0万元)=P(25-2X>7=P(X£

»2.5e-2.5=k 例3设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆及桌面上的点的刻度X的分布函数。A=“触点落在刻度为1的半圆上”A“触点落在另外半圆上P(A)=1/

(A

1/

x<P{X£x|A}= x‡

P{X£x|A}=x,0£x< x‡F(x)=P{X£x}=P(A)P{X£x|A}+P(A)P{X£x|A}= x<x/2,0£x< x‡ x£f=x

x>为密度函数的连续型随量．求5个同类型的元设A150小时内需要更换

150

150 则PX£150}fx

dxx 100验5个元件的使用可以看作是在做一个5设Y表示5个元件中使用不超过150小时的则Y~B5,1322

12 23 P{Y=

=C

· · 3 3

例 设随量X的密度函数为 0<x£f=2- 1<x< 其它试求X的分布函数 当x£0时，Fxftt-¥ 当0x£1时，F=fttfttft x x=tdt 当1x2时，Fx

t =ftt+ftt+ft =tdt+2-t =-1x2+2x-2x当x2时，Fft =ftt+ftt+ftt+ft =tdt+2-t =综上所述，可得随量X的分布函 x£ xF= x

2+2x-1

0<x£1<x<2£例6设 量X具有概率密度 (X)=2

0<x< YX4的概率密度解：(1)先求YX4FY(y)=P{Y£y}=P{X-4£=P{X£y+4}=-

fX(6（续 利用(y)fYyfY(y)=fX(y+4)·(y+2(y+4)=

0<y+4<其它 (X)=2x,X0<x<YX4 (y)=2y+ -4<y<- 其它 Y y£0时Fy)P{Y£y}Y y0时FY(y)=P{Y£y}=P{X£y=P{-y£X£y}

(X-X() (y)

(y)+f

(- y> y£7（续

f(x)

- 2 -¥<x<¥ (y)

(y)+f

(-

y> y£ (y)=

-

y>

y£设 量X~N，s2Y=eX，试求 Y的密度函数fY解由题设，知X的密度函数为f=1

x-- -

-¥<x<+¥)因为函数yex是严