2018人教版高中数学必修同步学习讲义课件第二章15份打包

2.2.4平面与平面平行的性质第二章

§2.2直线、平面平行的判定及其性质学习目标1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1

知识点平面与平面平行的性质平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案答案是的.观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考2

若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案答案不一定，也可能异面.思考3

过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行.梳理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_____符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒_____图形语言平行a∥b题型探究命题角度1由面面平行的性质定理求线段长例1

如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长.证明类型一面面平行的性质定理的应用证明设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.解答解设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，即CS＝16.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤反思与感悟跟踪训练1

如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.答案解析解析

AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，命题角度2利用面面平行证明线线平行例2

如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行.反思与感悟跟踪训练2

如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.证明证明如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.例3

设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：MP∥平面β.类型二平行关系的综合应用证明证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∴M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，

∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：反思与感悟跟踪训练3

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.证明证明如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B，

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.当堂训练234511.已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是A.a与β内所有直线平行B.a与β内的无数条直线平行C.a与β内的任何一条直线都不平行D.a与β内的一条直线平行√答案解析解析若α∥β，a⊂α，则a与β内的部分直线平行，所以A、C、D均不正确，B正确.234512.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线√答案解析解析由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确.234513.平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是A.互相平行

B.交于一点C.相互异面 D.不能确定√答案解析解析由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故选A.234514.过正方体ABDC—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_____.答案解析解析因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).平行5.已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.证明证明平面ABDC与α，β的交线为AC，BD.因为α∥β，所以AC∥BD.又M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN∥AC.又AC⊂平面α，所以MN∥平面