第一章空间向量与立体几何单元必刷卷（培优卷）（全解全析）

第一章空间向量与立体几何同步单元必刷卷（培优卷）全解全析1．C【解析】【分析】由题意得到，列出方程，求出实数的值.【详解】由题意得：，所以，解得：故选：C2．D【解析】【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，【详解】若，，，四点共面，则，则故选：D．3．A【解析】【分析】根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为三棱锥中，，，，所以，故选：A.4．C【解析】【分析】根据空间向量垂直平行的性质判断即可【详解】由题，因为，故，又，故故选：C5．A【解析】【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.【详解】因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.6．A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：，故选：A7．D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，，，所以，故选：D8．C【解析】【分析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.9．AC【解析】【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.【详解】选项A：.判断正确；选项B：.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：.判断错误.故选：AC10．AD【解析】【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：，，是空间的三个单位向量，由，，则，故A正确；，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.11．BCD【解析】【分析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设P点坐标为（x，y，2），然后利用向量可判断ABC的正误，当P为底面EFGH的中心时，外接球球心为棱AM的中点，然后可判断D.【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为∴故A选项错误．由可得故B选项正确．时，即，此时由点P坐标为得到点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．故D选项正确．故选：BCD．12．ABD【解析】【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．对于B,如图所示,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则，,，，，所以，，，设（），则所以，平面即解之得当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确对于C，设平面的法向量则，取得设平面的法向量,则取,得,平面平面设,即,解得，，不合题意线段上不存在点,使平面//平面，故C错误．对于D，平面的法向量为则因为所以所以的最大值为．故D正确．故选：ABD13．【解析】【分析】由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.14．（答案不唯一）【解析】【分析】先求得向量的坐标，再依据题给条件列方程去求向量的坐标即可解决.【详解】由点，可得，又向量在上的投影向量为，则则，又向量与向量不共线，则不成立则可令，即，故答案为：（答案不唯一）15．9【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算法则和垂直的定义计算.【详解】因为与垂直，所以，解得.故答案为：9.16．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用线面角的向量求法求解.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：则，设，所以，因为，所以，则，因为，则，解得或，易知平面的一个法向量为，所以，则，所以，故答案为：.17．(1)(2)①；②2【解析】【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；(1)解：由，，知，，所以，所以；(2)解：设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题，因为，所以，由知则18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；(1)证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，，设平面法向量为，则，，即，令，得到平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；（2）由空间向量线性运算可得，由空间向量共线定理可证明，再由线面平行的判定定理可得平面，同理可证明平面，由面面平行的判定定理即可求证；（3）由（2）知，再利用空间向量的线性运算即可求证.(1)因为，，所以，，共面，即，，，四点共面．因为，，所以，，共面，即，，，四点共面．(2)连接，，，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为，所以，又平面，平面，所以平面，因为与相交，所以平面平面．(3)由（2）知，所以．20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理证明，再由结合线面垂直的判定证明即可；（2）由面面垂直的性质证明平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法得出二面角的余弦值.(1)∵四边形为矩形，，且，∴∵，∴∵，，∴，∴∵四边形为矩形，∴∵，平面，∴平面(2)过作，交于，∵，，∴，∴由（1）知平面,平面,所以，由得平面，平面，∴平面平面，又，平面，∴平面，故以为原点建立空间直角坐标系如图所示，∴，，，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，∵，，∴，令，得，，∴∴∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.21．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据条件首先证明，再证明，由线面垂直的判定定理即可证明平面.（2）如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面MNA与底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的长.(1)证明：连接BD，因为底面为正方形，所以．因为平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面因为平面，所以．同理，．在中，M，N分别为PB，PD的中点，所以．因为，所以．又，平面，平面，所以平面．(2)解：如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为．因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，解得．所以，．22．(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析(2)(3)存在且为线段的中点【解析】【分析】（1）证明出平面，进而证明面面垂直；（2）找到当平面时，四棱锥体积最大，直线和平面所成角的为，求出，，由勾股定理得：，从而求出的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点的位置(1)在翻折过程中总有平面平面，证明如下：∵点，分别是边，的中点，又，∴，且是等边三角形，∵是的中点，∴，∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)由题意知，四边形为等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面积，要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，