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文档简介

其次章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用大事的相互性[学习目标]1.在详细情境中,了解两个大事相互的概念〔重点〕;2.能利用相互大事同时发生的概率公式解决一些简洁的实际问题〔难点〕.课前自主学习研读提炼思索尝试【学问提炼梳理】1.相互大事的定义和性质:〔1〕定义:设,为两个大事,假如,那么称大事与大事相互.〔2〕假如与相互,那么与,与,与也都相互.〔3〕假如A与B相互,那么,.2.相互大事与互斥大事的区分:互斥大事是不行能同时发生的两个大事,而相互大事是指一个大事是否发生对另一个大事发生的概率没有影响,二者不能混淆.温馨提示:虽说两个互斥大事不行能同时发生,但相互的两个大事是可以同时发生的,相互大事和互斥大事之间没有联系.【思索尝试夯基】1.思索推断〔正确的打“√〞,错误的打“×〞〕〔1〕不行能大事与任何一个大事相互.〔〕〔2〕必定大事与任何一个大事相互.〔〕〔3〕“〞是“大事、相互〞的充要条件.〔〕[解析]依据相互大事的概念知,这三个说法都是正确的.[答案]〔1〕√〔2〕√〔3〕√2.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球〞,用B表示“其次次摸得白球〞,那么A与B是()A.互斥大事 B.相互大事C.对立大事 D.不相互大事[解析]依据互斥大事、对立大事和相互大事的定义可知,A与B不是相互大事.[答案]D3.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3),乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,4),eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.B.C.D.[解析]因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,3),eq\f(1,4),eq\f(1,5).因此,他们不去北京旅游的概率分别为eq\f(2,3),eq\f(3,4),eq\f(4,5),所以,至少有1人去北京旅游的概率为.[答案]B4.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,那么三处都不停车的概率为.[解析]由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.在这条道路上匀速行驶,那么三处都不停车的概率为.[答案]5.投掷一枚匀称硬币和一枚匀称骰子各一次,记“硬币正面对上〞为大事A,“骰子向上的点数是〞为大事B,那么大事A、B中至少有一件发生的概率是.[解析]由题意,,大事A、B中至少有一个发生的概率.[答案]课堂师生互动典例解惑探究突破类型1相互大事的推断〔自主研析〕【典例1】推断以下各对大事是否是相互大事:〔1〕甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛,“从甲组中选出1名男生〞与“从乙组中选出1名女生〞;〔2〕容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球〞与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球〞.[自主解答]〔1〕“从甲组选出1名男生〞这一大事是否发生,对“从乙组选出1名女生〞这一大事发生的概率没有影响,所以它们是相互大事.〔2〕“从8个球中任意取出1个,取出的是白球〞的概率为eq\f(5,8),假设这一大事发生了,那么“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球〞的概率为eq\f(4,7);假设前一大事没有发生,那么后一大事发生的概率为eq\f(5,7),可见,前一大事是否发生,对后一大事发生的概率有影响,所以二者不是相互大事.【归纳升华】推断两个大事是否相互的方法〔1〕直接法:由大事本身的性质直接判定两个大事发生是否相互影响.〔2〕定义法:假如大事,B同时发生的概率等于大事发生的概率与大事B发生的概率的积,那么大事,B为相互大事.〔3〕条件概率法:当时,可用推断.[变式训练]下面所给出的两个大事A与B相互吗?①抛掷一枚骰子,大事“消失1点〞,大事“消失2点〞;②先后抛掷两枚匀称硬币,大事“第一枚消失正面〞,大事“其次枚消失反面〞;③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中,任取一个小球,观看颜色后放回袋中,大事“第一次取到绿球〞,“其次次取到绿球〞.[解]①大事与是互斥大事,故与不是相互大事.②第一枚消失正面还是反面,对其次枚消失反面没有影响,所以与相互.③由于每次取球观看颜色后放回,故大事的发生对大事发生的概率没有影响,所以与相互.类型2求相互大事的概率【典例2】一个袋子中有3个白球,2个红球,每次从中任取2个球,取出后再放回,求:〔1〕第1次取出的2个球都是白球,第2次取出的2个球都是红球的概率;〔2〕第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球,第2次取出的2个球都是白球的概率.[解]记:“第1次取出的2个球都是白球〞的大事为,“第2次取出的2个球都是红球〞的大事为B,“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球〞的大事为C,很明显,由于每次取出后再放回,、B、C都是相互大事.〔1〕.故第1次取出的2个球都是白球,第2次取出的2个球都是红球的概率是.〔2〕故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球,第2次取出的2个球都是白球的概率是.【归纳升华】1.求相互大事同时发生的概率的步骤是:〔1〕首先确定各大事之间是相互的;〔2〕确定这些大事可以同时发生;〔3〕求出每个大事的概率,再求积.2.使用相互大事同时发生的概率计算公式时,要把握公式的适用条件,即各个大事是相互的,而且它们同时发生.[变式训练]面对某种流感病毒,各国医疗科研机构都在争论疫苗,现有,B,C三个的争论机构在肯定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求:〔1〕他们都研制出疫苗的概率;〔2〕他们都失败的概率.[解]令大事A,B,C分别表示,B,C三个的争论机构在肯定时期内胜利研制出该疫苗,依题意可知,大事,B,C相互,且,,.〔1〕他们都研制出疫苗,即大事发生,故.〔2〕他们都失败即大事发生.故.类型3相互大事的实际应用【典例3】甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为和.求:〔1〕两人都能破译的概率;〔2〕两人都不能破译的概率;〔3〕恰有一人能破译的概率.[解]设“甲能破译〞为大事A,“乙能破译〞为大事B,那么A、B相互,从而A与、与B、与均相互.〔1〕“两个都能破译〞为大事,那么.〔2〕“两人都不能破译〞为大事,那么.〔3〕“恰有一人能破译〞为大事,又与互斥,那么.【归纳升华】解决此类问题的关键是弄清相互的大事,还要留意互斥大事的拆分,以及对立大事概率的求法的运用,即三个公式的联用:,B互斥〕,,,B相互).【变式训练】三个元件,,正常工作的概率分别为eq\f(1,2),eq\f(3,4),eq\f(3,4),将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,如下图,求电路不发生故障的概率.【解】记“三个元件,,正常工作〞分别为大事,,,那么,,.不发生故障的大事为,所以不发生故障的概率为.类型四对题意理解不到位致误【典例4】设大事与相互,两个大事中只有发生的概率和只有发生的概率都是,求大事和大事同时发生的概率.【易错提示】在与中只有发生是指“发生〞和“不发生〞这两个大事同时发生,即大事发生.假设对此理解有误,那么易消失错解.【防范措施】应先搞清晰大事的关系,再利用相互大事同时发生的概率公式列方程组求解.[标准解答]在相互大事和中,只有发生即大事发生,只有发生即大事发生.由于和相互,所以与,和也相互.所以,①.②①-②得.③①③联立可解得.所以.[类题尝试]甲、乙两人解某一道数学题,该题被甲解出的概率为,被甲、乙同时解出的概率为,那么该题被解出的概率为()A.0.92B.0.08C.0.14[解]令大事,分别表示甲、乙两人分别解出某一道数学题,由题意可知,,又,相互,故,所以,从而该题被解出的概率.[答案]A[课堂小结]1.一般地,两个大事不行能既互斥又相互,由于互斥大事不行能同时发生,而相互大事是以它们能够同时发生为前提.相互大事同时发生的概率等于每个大事发生的概率的积,这一点与互斥大事的概率和也是不同的.(列表比拟)互斥大事相互大事定义不行能同时发生的两个大事大事是否发生对大事发生的概率没有影响概率公式2.求相互大事的概率一般采纳以下解题步骤:①判定各大事是否相互;②求每个大事发生的概率;③求相互大事同时发生的概率.(2)在解此类题时,要明确大事中的“至少有一个发生〞、“至多有一个发生〞、“恰有一个发生〞、“都发生〞、“都不发生〞、“不都发生〞等词语的含义,以免混淆.课后演练提升A级根底稳固一、选择题1.有以下3个问题:〔1〕掷一枚骰子一次,大事:“消失的点数为奇数〞,大事:“消失的点数为偶数〞;〔2〕袋中有5红、5黄10个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,大事:“第1次摸到红球〞,大事:“第2次摸到红球〞;〔3〕分别抛掷2枚相同的硬币,大事:“第1枚为正面〞,大事:“两枚结果相同〞.这3个问题中,,是相互大事的有 ()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个[解析]只有〔1〕中的大事,是相互大事.[答案]C2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,假设两人同时射击,那么他们同时中靶的概率是()A.eq\f(14,25)B.eq\f(12,25)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,5)[解析],,所以.[答案]A3.如下图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的时机均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是〔〕A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)[解析]设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域〞,那么,B表示“其次个圆盘的指针落在奇数据在的区域〞,那么.故.[答案]A4.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4),两个零件是否加工为一等品相互,那么这两个零件中恰有一个一等品的概率为〔〕A.eq\f(1,2)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)[解析]所求概率为或.[答案]B5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)、eq\f(1,69)、eq\f(1,68),且各道工序互不影响,那么加工出来的零件的次品率为〔〕A.B.C.D.[解析]设加工出来的零件为次品为大事,那么为加工出来的零件为正品.所以.[答案]C二、填空题6.〔2016东莞中学期末〕在甲盒内的200个螺杆中有160个是型,在乙盒内的240个螺母中有180个是型.假设从甲、乙两盒内各取一个,那么能配成型螺栓的概率为________.[解析]从甲盒内取一个型螺杆记为大事M,从乙盒内取一个型螺母记为大事N,因大事M、N相互,那么能配成A型螺栓〔即一个型螺杆与一个型螺母〕的概率为.[答案]7.,,当大事、相互时,____,___.[解析]由于、相互,所以,.[答案]8.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是eq\f(1,2),乙能解决的概率是eq\f(1,3),2人试图地在半小时内解决它,那么两人都未解决的概率为______,问题得到解决的概率为________.[解析]都未解决的概率为,问题得到解决就是至少有1人能解决问题,所以.[答案]三、解答题9.电路中有4个开关,每个开关工作,且闭合的概率为eq\f(1,2),求灯亮的概率.[解]由于A,B断开且C,D至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,所以灯不亮的概率为.所以灯亮的概率为.10.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲中选的概率为eq\f(4,5),乙中选的概率为eq\f(3,5),丙中选的概率为eq\f(7,10).〔1〕求恰有一名同学中选的概率;〔2〕求至多有两人中选的概率.[解]设甲、乙、丙中选的大事分别为A,B,C,那么有P(A)=eq\f(4,5),P(B)=eq\f(3,5),P(C)=eq\f(7,10).〔1〕由于A,B,C相互,所以恰有一名同学中选的概率为.〔2〕至多有两人中选的概率为.B级力量提升1.〔2016汕头金山中学期中〕从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2),从两袋各摸出一个球,那么等于()A.2个球不都是红球的概率

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