循环冗余校验

循环冗余校验码在串行传送(磁盘、通讯)中，广泛采用循环冗余校验码(CRC)。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫(N,K)码。对于一个给定的(N,K)码，可以证明存在一个最高次幕为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位,则可表示成C(x)*2R,这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。几个基本概念1、 多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幕次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幕次，有此幕次项对应1,无此幕次项对应0。可以看出：x的最高幕次为R,转换成对应的二进制数有R+1位。多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)o如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1,可转换为二进制数码11011。而发送信息位1111,可转换为数据多项式为C(X)=X3+X2+X+1。2、 生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满足以下条件：a、 生成多项式的最高位和最低位必须为1ob、 当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0o

C、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：NK码距dG（x）多项式G(x)743X3+X+11011743X3+X2+11101734X4+X3+X2+111101734X4+X2+X+11011115113X4+X+1100111575X8+X7+X6+X4+111101000131263X5+X2+110010131215X10+X9+X8+X6+X5+X3+11110110100163573X6+X+1100001163515X12+X10+X5+X4+X2+1101000011010110411024X16+X15+X2+111000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1商为1并对余数做模2减。若余数最高位为0,商为0,除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】1111000除以1101：1011 商1111000——被除数1101 除数0100001101010101101111 余数CRC码的生成步骤1、 将x的最高幕次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。2、 将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R3、 用生成多项式(二进制数)对信息码做模2除，得到R位的余数。4、 将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。报文。【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。解：1、 将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。2、 此题生成多项式有4位(R+1)，要把原始报文C(x)左移3(R)位变成10100003、 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：1001 商10100001011 除数10001011011 余数(校验位)5、编码后的报文(CRC码)：1010000+0111010011CRC的和纠错在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字(信息位)无关。图10给出了G(x)=1011,C(x)=1010的出错模式，改变C(x)(码字)，只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。收到的CRC码字余数出错位码位A7A6A5A4A3A2A1正确1010011000无1010010001110100010102错101011110031011011误0114100001111100111105001001111161017图10(7,4)CRC码的出错模式(G(x)=1011)如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001,补0后再除(补0后若最高位为1,则用除数做模2减取余；若最高位为0,则其最低3位就是余数)，得到第二次余数为010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100,011…，反复循环，这就是'循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A】。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。【例】对图10的CRC码(G(x)=1011,C(x)=1010)，若接收端收到的码字为1010111,用G(x)=1011做模2除得到一个不为0的余数100,说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)=1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101,这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。通信与网络中常用的CRC在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16=X16+X15+X2+1和CRC-CCITT=X16+X15+X2+1。一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及(1-2-(r-1))的突发长度为r+1的突发错和(1-2-r)的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99.997%的突发长度为17的突发错和99.998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。【例1】某循环冗余码(CRC)的生成多项式G(x)=x3+x2+1,用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC码。若发送信息位1111和1100则它的CRC码分别为_A—和_B—。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC码，例如码字_C_、_D_、和_E_°(1998年试题11)供选择的答案A：①IIIII00②1111101③1111110④1111111B：①1100100②1100101③1100110④1100111C〜E：①0000000②0001100③0010111⑤1000110⑥1001111⑦1010001⑧1011000解：A：G(x)=1101,C(x)=1111C(x)*23FG(x)=1111000f1101=1011余111得到的CRC码为1111111B：G(x)=1101,C(x)=1100C(x)*23FG(x)=1100000F1101=1001余101

得到的CRC码为1100101C〜E：分别用G(x)=1101对①〜⑧作模2除：①0000000F1101余000②

1111101^1101余001③0010111F1101余000④0011010F1101余000⑤1000110F1101余

000⑥1001111^1101余100⑦1010001F1101余000⑧1011000F1101余100所以—C_、_D_和—E—的答案是②、⑥、⑧【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC,即_A_码。在进行编码过程中要使用_B_

运算。假设使用的生成多项式是G(X)=X4+X3+X+1,原始报文为11001010101,则编码

后的报文为_C_。CRC码_D_的说法是正确的。在无线电通信中常采用它规定码字长为7位•并且其中总有且仅有3个“1”这种码的编

码效率为_E_。供选择的答案：A：①水平垂直奇偶校验②循环求和③循环冗余④正比率B：①模2除法②定点二进制除法③二一十进制除法④循环移位法C：①1100101010111②110010101010011③110010101011100④110010101010101D：①可纠正一位差错②可检测所有偶数位错③可检测所有小于校验位长度的突发错④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错E：①3/7②4/7③log23/log27④(log235)/7解：从前面有关CRC的论述中可得出：A：③循环冗余B：①模2除法C：G(x)=11011,C(x)=11001010101,C(x)*24mG(x)=

110010101010000^11011余0011得到的CRC码为②110010101010011D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④可检测所有小于、等于校

验位长度的突发错E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，

然而