241抛物线及其标准方程课件

2.4.1抛物线及其标准方程小结：抛物线的生活实例喷泉灯卫星接收天线复习回顾：

我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：

都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e

＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0<e<1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线

？问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？探究？几何画板观察M·Fl·e=1课后研究问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是抛物线几何画板观察

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)

我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:M·Fl·e=1二、标准方程的推导如何建立坐标系呢？

思考：抛物线是轴对称图形吗？1.建立坐标系2.设动点坐标,相关点的坐标.3.列方程4.化简,整理l

解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导依题意得5.证明（略）这就是所求的轨迹方程.三、标准方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点到准线的距离焦点坐标是准线方程为:想一想:

坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)y2=2px(p>0)想一想?

这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?四种标准方程

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.﹒yxo﹒yxo﹒yxo﹒yxo(三)抛物线的标准方程

图形

焦点

准线方程

标准方程y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)y2=2px(p>0)图形标准方程抛物线的四种标准方程对比2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.

②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?左边都是平方项，右边都是一次项.图形标准方程焦点坐标准线方程4.四种抛物线的标准方程对比思考：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？解：抛物线标准方程为：y2=x1a∴2p=1

a4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向右p2=14a当a>0时与当a<0时，结论都为：思考：

二次函数的图像为什么是抛物线？当a>0时与当a<0时，结论都为：例1：（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，

求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）准线方程为x=-－.3232

112解:方程可化为:x=-－y,故p=－,焦点坐标为(0,-－),准线方程为y=－.161241242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y2自主探究

2.已知抛物线的标准方程是y2=-6x

，则它的焦点坐标是,准线方程是.

3.已知抛物线的方程是y=6ax2（a≠0），则它的焦点坐标是,准线方程是.应用：类题一（由方程求有关量）1.已知抛物线的标准方程是y2=6x

，则它的焦点坐标是,准线方程是.感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点:1.先化为标准方程2.判断焦点的位置是一次项系数的是一次项系数的相反数即：准确“定型”练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）

方程焦点准线开口方向开口向右开口向左开口向上开口向下例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。

设抛物线的标准方程是，由已知条件可得，点A的坐标是，代入方程，得即所以，所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是题型一：利用抛物线的定义解题例1：已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时P点的坐标

题型一：利用抛物线的定义解题例1.（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x

，求它的焦点坐标及准线方程题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程xyolF（0,－2）解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上，并且∴所求抛物线的标准方程是x2=－8y.

=2,∴p=4,FxyolX=1解：（3）∵准线方程是x=1，（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程y2=－4x题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法且焦点在x轴的负半轴上，∴所求抛物线的标准方程是y2=－4x.∴

p=2，xyo(3,2)解：（4）∵点A(3，2)在第一象限，y2=x或x2=y4392（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程∴抛物线的开口方向只能是向右或向上，设抛物线的标准方程是

y2=2px（p>0），或x2=2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为题型二：求抛物线方程的方法：-----待定系数法例3点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。|MF|+1=|x+5|ly..oxMF解（直接法）：设M(x，y)，则由已知，得另解(定义法)：由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线l:x+4=0的距离.由抛物线定义知：点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.题型二：求抛物线方程的方法：-----轨迹法，定义法练习：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)(A)y2＝8x(B)y2＝－8x(C)y2＝4x(D)y2＝－4x解:设动圆圆心为M(x，y),半径为R,

圆C:圆心为C(2,0),半径r＝1.

∵圆M与圆C外切，∴|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离

∴|MC|＝d＋1.由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C(2,0)为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，

且p/2＝2，∴p＝4，

故其方程为y2＝8x.A练习：点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的类型和ｐ的值

M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是——————————.X0+—2pOyx．FM．思考题

:抛物线上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.应用提高能力提升1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，过M(-3,m),抛物线方程可设为：y2=-2px(