第三章几何光学的基本原理

第三章几何光学的基本原理第一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一费马原理成像的基本概念单心光束物像光在平面界面上的反射和折射光导纤维光束单心性的破坏，全反射光在球面上的反射和折射近轴光线条件下球面反射的物像公式近轴光线条件下球面折射的物像公式近轴物近轴光线成像的条件薄透镜共轴理想光具组的基点和基面主要内容第二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一直线传播、反射、折射成像问题波面的线度远大于波长时----光沿直线传播，几何光学是近似的、实用的不涉及波长、相位等概念，使用波面、波线的概念几何光学所研究的对象实际上就是波动光学中当波长趋于零的极限情况，几何光学属于波动光学的一部分。Notice:第三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一几何光学的点、线、面点：光源、物体、像都看成是点的集合。线：光波的传播抽象成几何线一样的光线，相当于波面的法线，代表了光的传播方向。光波由一束光线表示，平面波对应于平行光束，球面波对应于同心光束如图第四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一平行光束与同心光束第五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一球面波波面波线波面波线平面波3.1几个基本概念和定律费马原理3.1.1、光线与波面第六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光线：描述光的传播方向的几何线。在均匀介质中，光线与波线重合。

光束与光线：光线是几何线，无横截面积，是假想的光束是实际存在的，总有一定的横截面积且无法通过小孔获取细光束----衍射的存在会使得光束不细反粗.光线≠光束，不能把很窄很细的一束光叫做光线一束光可以看做是由许多光线构成的。第七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光束第八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.1.2、几何光学的基本实验定律（1）光在均匀介质中的直线传播定律（物体的影子、小孔成像）

第十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一（2）光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律

（3）光的独立传播定律和光路可逆原理.

第十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光的独立传播定律：两束光在传播途中相遇时互不干扰，即每一束光的传播方向及其他性质（频率、波长、偏振状态）都不因另一束光线的存在而发生改变。适用条件：光波面线度R远大于光波长λ（否则，用衍射光学）光路的可逆性原理：当光线沿与原来方向相反的方向传播时，其路径不变。（由折射定律的对称性可得）例如：光束相交处的光强是一种简单的叠加，探照灯。不考虑光的干涉现象第十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一1、费马原理的描述

光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。（大多是极小值）极小值：图（ｂ）光的直线传播、光的反射定律、折射定律极大值：图（c）恒定值：图（a）3.1.3费马原理(Fermat’sPrinciple)第十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一用费马原理解释三个基本实验规律1）均匀介质中的直线传播两点间直线距离最短----光路为直线2）反射定律只有当APB’为直线时

APB的光程最短，此时：i=i’

入射光线、法线、反射光线共面ABABCDPB’ii’第十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3)折射定律

AC’>AC，C’B>CB入射点必在入射面与界面的交线上----入射光线、法线、反射光线共面n1AC+n2CB----极小值ABCC’OO’M(x1,y1)(x2,y2)(x,0)xyi1i2

第十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光程取极大值的例子:

左图表示凹球面反射镜，C为其球心，P为球面顶点，过C作PC的垂线，A和A’为垂线上任意一对与C点等距离的点。光路APA’满足反射定律，为实际光路。可以证明，它与邻近光路相比，光程为极大值。

证:过凹球面的顶点P，以A和A’为焦点作椭球面。显然，椭球面在球面的外面，它们相切于P点。对球面的任意邻近光路AQA’,由于A’R+RQ>A’Q,所以(ARA’)>(AQA’),而(ARA’)=(APA’),故(APA’)>(AQA’)。

即凹球面反射镜的这条实际光路APA’与邻近光路比，为光程极大。第十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一回转椭球面的凹面镜：光程取恒定值第十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

在均匀介质中的两点间（直线传播）、经平面反射的两点间，以及经平面折射的两点间的实际光路均是光程取极小值的情形。成像系统的物点和像点之间为光程取恒定值的情形。物点像点第十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.1.4单心光束实像和虚像1.单心光束：凡是具有单个顶点的光束﹙同心光束﹚。单心光束（同心光束）：光线本身或其延长线可以交于一点的光束。（一束光线有一个共同的中心）

发散光束：由一发光点发出的光束；汇聚光束：向唯一中心会聚的光束。Q单心光束P1P2像散光束单心光束与像散光束第十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一2.物点与像点物点：入射到光学系统的单心光束的顶点（P）像点：经光学系统出射后又汇聚的单心光束的顶点（P）3实像与虚像实像点：会聚的出射单心光束的顶点（P）虚像点：发散的出射单心光束的顶点（P）第二十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一物点：发光点，或入射单心光束的顶点。

实物点：发散的入射光束的顶点。

实物：由实物点构成的物体。

虚物点：会聚的入射光束的顶点，或入射光束延长线的交点。

像点：光具组（光学系统）出射的单心光束的顶点。

实像点：会聚的单心出射光束的顶点。

虚像点：发散的单心出射光束的顶点。

3.1.5实物、实像、虚像的概念实物点、实像点、虚像点的集合分别称为实物、实像、虚像。第二十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一QQ'光具组实物成实像实物成虚像QQ'光具组实物成虚像虚物成实像物空间像空间物空间（物方）：包含入射光束及其延长线的空间。

像空间（像方）：包含出射光束及其延长线的空间。

第二十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一虚物成实像光具组QQ'虚物成虚像光具组QQ'物与像第二十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光学系统的几种物像关系第二十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一实物、实像和虚像的联系和区别1、实物点：发散的入射单心光束的顶点（P）2、光学系统：由不同材料做成的不同形状的反射面、折射面以及光阑组成的系统，其作用是变换光束．反射镜、棱镜、透镜、光阑等是构成光学系统的基本元件。3、人眼的特点：

人眼只能看到发散单心光束的顶点，而看不见光线本身。第二十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第二十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一4、人眼对物、象的区别和联系人眼不能判断进入人眼的光线是否经过光学系统，因此，人眼不能区分物、像；人们对物、像的判断要借助环境等其他条件5、光学仪器对物、象的区别和联系只要是发散的单心光束进入光学仪器，不论光束如何形成，对光学仪器而言均是实物成像；

实物、实像的意义在于有光线实际发自或通过该点，而虚物、虚像仅仅是由光的直线传播性质给人眼造成的一种错觉，实际上并没有光线经过该点。

第二十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一物像的相对性物和像都是相对于某一成像系统而言的，如果物体连续经过几个成像系统，则前一个系统所成的像即成为下一系统的物，如此不断成像得到最终的像。因此物和像并不是绝对的，对于连续成像的系统，物与像的角色在具体情况下发生变化，计算时应取相应空间的折射率。第二十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一物像转换结束

返回实物、虚物、实像、虚像视情况而定，但作为第一个（原始、出发的）物一定是“实体”。第二十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一折射光束的张角有一定限制，因此图中的像点再发出的光束也有一定范围限制，这和本身是一发光物点的情况不同。第三十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一平面反射镜是一个最简单的理想光学系统，它不改变光束的单心性，能成完善的像。所成的像与原物大小相同，而物和像以平面镜为对称。

平面反射时光束的单心性保持不变

3.2.1.光在平面上的反射3.2光在平面界面上的反射和折射光导纤维第三十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第三十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

光在平面界面上折射时单心性受到破坏，不能完善成像yn1n2xP物点水介质空气介质像P1

P2P`3.2.2、光束单心性的破坏第三十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一平行光束折射时仍为平行光束¢¢),0(yPox为两种介质的分界面，物点22112211),().,0(),,0(),0,(),0,(yxPyPyPxAxA¢其余坐标

由折射定律及几何关系，可求出各像点的坐标。物点第三十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一分析：当y不变时，它们随

x1

或i1

而变。如果光束是单心的，则P就是折射光束的唯一顶点；如果光束不是单心的，则P

不是折射光束的唯一顶点，P1、P2也可能是折射光束的顶点，此时必须考虑光束中光线的空间分布。

第三十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一讨论一小束入射光束：①将图面绕

oy轴转一小角度折射光束的单心性已被破坏：光束中的所有光线并不相交于单独的一点，而是交于两条相互垂直的线段上。子午焦线：一条由P所描出的垂直图面的焦线；弧矢焦线：一条是位于图面内的焦线

P1P2。第三十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一∵单心光束的波面是球面∴在平面界面上折射后，波面的形状发生变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。弧矢焦线子午焦线第三十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一②当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于界面时,有

x＝0，y=y1=y2=yn2n1。

这表明y近似地与入射角

i1

无关，则折射光束是近似单心的，y

称为像视深度，y

为物的实际深度。如果：n1>n2，那么y<y

,即像点P位于物点P

的上方，视深度减小。（水面上看水里的物体）如果：n1<n2,那么y>y

,即像点P位于物点P

的下方，视深度增大。（从水中看水面上的物体）第三十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第三十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.2.3全反射光导纤维1.全反射：对光线只有反射而无折射的现像。当光从光密介质n1射向光疏介质n2（<n1）时，i1

i2

i1

＝ic

i2

＝90，

n1sinic

＝n2sin90

——临界角如果：iic,那么不再有折射光线而光全部被反射。第四十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第四十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一临界角(Criticalangle):第四十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一按照波动理论，产生全反射时除反射波外，在光疏介质中并非完全不存在透射波，只不过它沿界面方向传播，且其振幅在垂直界面方向按指数衰减，透入深度只有波长量级，称为倏逝波，或隐失波。但平均来说，光波的能量全部返回光密介质，在光疏介质中并不形成透射光。详见122页例3.2第四十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一全反射：折射光线因大于等于90而消失，所有的光线反射到原介质中的现象。在一定的条件下,光线发生全反射①

光线由光密介质射向光疏介质；②

入射角大于临界角。二者缺一不可。

第四十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一2.光导纤维芯料－涂层界面发生全反射条件为：而：又

此即为光线在芯料－涂层界面发生全反射时，入射角应满足的条件。第四十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一讨论：①如果入射角

i的上限用u0表示，则有：

or:u0

n0sinu0为光纤的数值孔径，其值越大，通过光纤的光功率就越大。

②对于空气中的光纤

∵n0

＝1∴

第四十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第四十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第四十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光导纤维Lightcantravelwithlittlelossinacurvedopticalfiber,becausethelightistotallyreflectedwheneveritstrikesthecore-claddinginterfaceandbecausetheabsorptionoflightbythecoreitselfissmall.Opticalfiber第四十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一医学应用Abronchoscope肺部Acolonoscope,showninuseinthisX-rayphotograph结肠镜内窥镜第五十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.2.4.棱镜棱镜是一种常见的光学元件，它的主要用途是：转换光传播的方向（全反射）；作色散元件（折射）。第五十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一全反射棱镜---潜望镜波罗棱镜（使像转过180°）--陆地望远镜五角棱镜（使像转过90°）--单镜头反光相机角锥棱镜（后反射镜）（1）反射棱镜第五十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第五十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一全反射棱镜用来改变光线方向，比用一般平面镜，能量损失要小得多。第五十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一（2）折射棱镜三棱镜：由两个不平行的折射平面围成的透明介质元件，其A为折射棱角，也称为顶角主截面：垂直于两主折射界面的截面.偏向角：出射线与入射线间的交角.＝(i1-i2)+(i1-i2)=i1+i1-A

最小偏向角：)(2,2,222220111AiiAiiAiiAi=+¢==¢+==¢-qq＝第五十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一计算折射率：应用：①折射计②利用光的色散起分光作用第五十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3光在球面上的反射和折射一、符号法则二、球面反射对光束单心性的破坏三、近轴光线条件下球面反射的物像公式四、球面折射对光束单心性的破坏五、近轴光线条件下球面折射的物像公式六、高斯公式和牛顿公式第五十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

1、几个概念：1）顶点：球面的中心O2）曲率中心：球面的球心C3）曲率半径：球面的半径r4）主轴（光轴）：连接顶点O和曲率中心C的直线5）主平面：包含主轴的平面主轴是唯一的，主平面有无穷多3.3.1、符号法则主轴（光轴）-------光学系统的对称轴第五十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一2、符号法则

规定——笛卡儿符号法则：

（1）线段长度：都从顶点算起，顶点右方线段长度的数值为正，反之左方线段长度数值为负；轴上为正，下为负。（物、像均满足）第五十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一（2）光线方向的倾斜角度以主轴（或球面法线）按小于90°的方向旋转，转向光线，顺时针为正，逆时针为负。（3）图中所标长度和角度（几何量）均为正值。一般都假定光线自左向右进行。符号规定的意义：由求出量的正负可判断像的虚、实、倒、正等结果。第六十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一-ss’hrQ-i-uu’-i’fMnn’PP’OC

单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则第六十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3.2、球面反射对光束单心性的破坏

凹球面镜第六十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一将l、l代入光程公式，并利用费马原理，对求导并令其等于0得：

ss

随而变，光束的单心性被破坏。第六十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一另一种思路:正弦定理第六十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一结论：因为u随光线而变，所以s′

也随光线而变，并非唯一值。故球面反射后光束不能保持单心性，即不能严格地理想成象。凸球面镜也有类似的结论第六十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3.3、近轴光线条件下球面反射的物像公式

近轴光线(paraxialray)----

与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线黄线—近轴光线绿线—非近轴光线－物距，s－象距¢s第六十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一令得令得因此球面镜物方焦点与像方焦点重合.凹面镜凸面镜球面反射物像公式：P′高斯像点第六十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一实物-y’y-S’-r-SS’虚象适用条件：①近轴光线凹、凸球面均可用，且无论s,s,f

的数值大小及正负.第六十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第六十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一若u极小，即入射光仅在傍轴的狭窄范围内传播，则可得第七十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一或Toagoodapproxomation第七十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一例题：一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为0.2m，试确定像的位置和性质。解：若光线自左向右传播，若光线自右向左传播，第七十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3.4、球面折射对光束单心性的破坏s′COnnA-i1）-i

2）h-u）u））s

-srPP(图中标绝对值)凸球面镜第七十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一将l、l

代入光程公式，并利用费马原理，对求导并令其等于0得：

s

随而变，光束的单心性被破坏。

第七十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一球面折射Pn-u-i1A-i2n′u′CP′Or-ss′从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在A点发生折射，折射后的光线交主轴于P`点。P`点的位置由s`确定。球面法线第七十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一显然，s′也是随u（u′）而变的，不同的光线将有不同的s′值，故球面折射时光束亦不能保持单心性。第七十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3.5、近轴光线条件下球面折射的物像公式1.近轴：

很小，cos1，l≈-s，l≈s，

2.光焦度公式：

单位：m-1

，称为屈光度，表示光进入光学系统的折光程度，越大表示折光程度越大。

近轴条件下球面折射的物像关系公式

第七十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.物象共轭物点与像点的位置可以互换物点与像点互为共轭点入射光线与折射光线互为共轭光线入射波面与折射波面互为共轭波面4.物空间和像空间物空间（物方）：入射光线所在的空间。像空间（像方）：折射光线所在的空间。注意：物不一定在物空间，像不一定在像空间物空间和像空间的点不仅一一对应，而且共轭（共轭光线、共轭波面、共轭点）第七十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第七十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一5.焦点和焦距

像方焦点：F，

物方焦点：F，

关系：On′n-fnn′f′O物方焦点F,物方焦距f像方焦点F′,像方焦距f′第八十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一6.讨论：①（“－”表示F和F永远位于界面两方）

②

，球面反射

（可看作是折射的特例）以上结论对于凹球面镜也成立！第八十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.3.6、高斯公式和牛顿公式

重写物像距公式，称为高斯公式：或第八十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一如果：把测量物距、像距的原点分别选作物方焦点F

和像方焦点F

，（它们仍遵守符号法则），并用x、x

表示物距、像距则有：

即：fsx¢-¢=¢fsx-=,代入高斯公式牛顿公式与高斯公式是等价的------牛顿公式第八十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一解：方法1哑铃左端折射面相当于一个凸球面，右端相当于一个凹球面，根据笛卡尔符号法则第八十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第八十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第八十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.4光连续在几个球面界面上的折射虚物的概念

3.4.1、共轴光具组多个球面的光轴都在同一直线上的系统。共轴目的：可以最大限度地利用近轴光线的能量，减少像差。3.4.2、逐个球面成像法P1

P1P2P3P4要注意各次的物距像距等有不同的起算顶点

O1、O2、O3、…。第八十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第八十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.4.3虚物的概念：会聚的入射单心光束的顶点（P）注意：①

②③满足符号法则与物象公式

虚物：会聚的入射光束的顶点→不在物空间的物为“虚物”在像空间实物：发散的入射光束的顶点在物空间实像：会聚的出射光束的顶点在像空间虚像：发散的出射光束的顶点→不在像空间的像为“虚像”在物空间第八十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第九十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.5薄透镜主轴、主平面、孔径、透镜的厚度：厚度d与曲率半径r相比第九十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第九十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.5.1、近轴条件下薄透镜的成像公式第九十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一光程第九十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

当A点在透镜上移动时，只有h是变量，

由费马原理，并考虑到在近轴条件下，l≈-s,l≈s

(略去h2项)化简得

——薄透镜的物像公式--=-¢+221112rnnrnnsnsn第九十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一也可用逐次成像法推导薄透镜成像公式第九十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一那么：

——薄透镜的高斯公式讨论：1）光焦度：F=F1+F22）焦点和焦距：第九十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3）光心：当n1=n2时，通过光心O的光线不改变方向，所有的轴上距离从O量起

4）实像和虚像：

(1)光线自左向右进行，Sˊ>0：实像；Sˊ<0：虚像；

(2)光线自右向左进行，Sˊ<0：实像；Sˊ>0：虚像；实像在像空间，虚像在物空间O1OO2第九十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一5）会聚透镜和发散透镜透镜的会聚和发散性质,与透镜的形状及两侧的介质有关；

n/<n

n/>n

n/<n

n/>n

第九十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一6)当薄透镜放在空气中时，焦距公式：高斯公式：

7)牛顿公式：第一百页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第一百零一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一例题第一百零二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.5.2、横向放大率（垂轴放大率）

n1=n2n1与n2任意讨论：（1）

>0，像正立；<0，像倒立。（2）>1，像放大;<1，像缩小;=1，等大。（3），也适应于单球面成像。（4）近轴物和近轴光线。y-y/OFF/第一百零三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.5.3、薄透镜的作图求像法1.特殊光线作图法：轴外物点利用两个焦点和光心，三者取其二。2.任意光线作图法：物点在轴上或轴外不远处近轴条件下，利用两个焦平面和副轴。焦点的性质：一束平行于光轴的光线入射，经透镜折射后，必会聚于像方焦点；一束通过物方焦点的光束，经透镜折射后，必平行于光轴出射。焦平面的性质：一束平行光入射透镜，必会聚于像方焦平面上一点；经过物方焦平面上一点的入射光束，经透镜折射后，必为平行光。注意光心的存在第一百零四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一特殊光线作图法第一百零五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第一百零六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一物方焦平面：通过物方焦点F与主轴垂直的平面；像方焦平面：通过像方焦点F‘与主轴垂直的平面。副轴：

P

或

P‘

与光心O

的连线。第一百零七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一⑴利用物方焦平面与副轴作图法（凸透镜）①从

P点作沿主轴的入射线，折射后方向不变；②从P

点作任一光线

PA，与透镜交于A点，与物方焦平面交于B点；③作辅助线（副轴）BO，过A作与BO平行的折射光线与沿着主轴的折射线交于点P‘

，则P‘

就是物点P

的像点。第一百零八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一⑵利用像方焦平面与副轴作图法（凸透镜）①从P点作沿主轴的入射线，折射后方向不变；②从P点作任一光线PA

，与透镜交于A点；过透镜中心O作平行于PA的副轴OB’与像方焦平面交于B'点；③连接A、B‘

两点，它的延长线与沿着主轴的光线交于点P’

，则P’就是所求像点。第一百零九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一⑶利用像方焦平面与副轴作图法（凹透镜）①PA为从物点P发出的任一光线,与透镜交于A点；②过透镜中心O作平行于PA的副轴

OB‘，与像方焦平面交于B'点；③连接A、B‘

两点，线段AB‘的延长线就是折射光线,它与沿主轴的光线交于点

P'，则P‘就是所求像点。第一百一十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一注意：（1）近轴物、近轴光线；（2）光线的变向点在界面上；（3）光线必须用带箭头的实直线表示，其延长线用不带箭头的虚直线表示；（4）所有辅助线（如副光轴，焦平面等）都用虚线表示；（5）图中的基点采用规定的字母表示，如C（曲率中心），O（顶点），F（物方焦点），F‘（像方焦点）等。第一百一十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一讨论：⑴推广：轴外不远处——近轴⑵条件：近轴光线下，且透镜两边介质的折射率相同。⑶意义：同一物点的任意两条特殊光线通过透镜折射后的交点便是对应的像点。注意：无光心问题，同样利用焦点及焦平面的性质作图；单球面折射与反射同样方法作图。第一百一十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一透镜组的作图成像法第一百一十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第一百一十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第一百一十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.6近轴物点近轴光线成像的条件目前仅研究了光线从单独一点发出而被球面反射或折射后所产生的像点，而且是近轴光线条件下的成像问题。问题1

由于物体总是存在一定形状和大小，不在主轴上的任意一个发光点所发出的光束，经球面反射或折射后是否仍能保持光束的单心性？问题2

应在怎样的条件下才能保持光束的单心性，并成像于单独的一点？第一百一十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一条件：从物点所发出的所有光线到达象点时的光程都应该相等----物像的等光程性—费马原理的推论。第一百一十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.6.1、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式光程Q与A离主光轴很近(1)近轴物体:PQAhy-y’-X第一百一十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一(2)近轴光线:如右图：PQAhy-y’-X很小，略去不记，光线近轴：，入射点很低，A靠近光轴。物空间孔径角u很小。

光线与光轴的夹角小于50时，有sinu≈tanu

≈u

光学系统满足这样条件的区域，轴上发出的同心光束，经系统变换后，仍为同心光束，即点物可成点像．近轴条件限制了光线与光轴的夹角．第一百一十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一利用二项式定理将上式展开略去高次项：

要保持光程恒定，则变量h的系数必为零。与轴上物点球面反射成象公式相同.表明垂轴物生成垂轴象，但必须在近轴条件下.第一百二十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一121

通过推导可以知道，要使不在主轴上的一个发光点Q能够理想成像于单独一个像点Q，必须同时满足两个限制条件：（1）光线必须是近轴的。即光线在球面上的反射点或折射点到主轴的距离远小于球面的曲率半径r﹙h«r﹚

。（2）物点必须是近轴的。即物点离主轴的距离y必须比它离球面的顶点的距离s小得多﹙y«s﹚

。第一百二十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.6.2、近轴物在近轴光线条件下球面折射的物像公式同球面反射类似，可得光程为第一百二十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一同球面反射类似，可得球面折射物象公式第一百二十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一第一百二十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.6.3亥姆霍兹-拉格朗日定理1、近轴光线——仰角或俯视角较小2、近轴物——入射角和反射角较小第一百二十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3、亥姆霍兹——拉格朗日定理第一百二十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一127

由上式可以看出，y和y

受到近轴物点的限制，u和u

受到近轴光线的限制。上式正好把轴外物点理想成像的两个限制条件联系起来了。—称为亥姆霍兹—拉格朗日定理（恒等式）凡物点不在主轴上而能理想成像，即能够保持光束单心性的，都必须满足称为亥姆霍兹—拉格朗日定理（恒等式）。若要使共轴的两个或两个以上球面折射时，能产生理想的像，每一次折射都必须遵从称为亥姆霍兹—拉格朗日定理（恒等式）。即第一百二十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一128

即－第一百二十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.7理想光具组的基点和基面逐个球面成像法面临的困难:理论上可以解决任意多个球面的成像问题，但运算繁琐，而且实际的光学系统中各球面间的相对位置往往并不完全知道。解决问题的简化方法：以一个等效的光具组代替整个共轴的光学系统，并设法找出这个光具组的焦点在内的基点，那么就可以不考虑光在该系统中的实际路径而确定像的大小和位置。理想光具组：①可以保持光束单心性②像和物在几何上相似。第一百二十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

高斯理论成立的条件：1、光线仍旧限于近轴；2、不要求光具组是“薄”的；3、须建立一系列基点和基面(请猜猜?)

用这些基点和基面就可以描述光具组的基本光学特性，而不用去研究光具组中实际的光线，从而把问题大大简化。这些基点和基面是：焦点、主点、节点；焦平面和主平面，节平面。第一百三十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一基点和基面的定义三对基点和基面：焦点和焦平面、主点和主平面、节点和节平面物方主点H：确定物方各量的基准点（-s,

-f等）；物方主平面：通过H点垂直于主轴的平面；像方主点H'：确定像方各量的基准点（s'，f'

等）；像方主平面：通过H'点垂直于主轴的平面；

物方焦点F，物方焦平面：通过F点垂直于主轴的平面，物方焦距-f；像方焦点F'

，像方焦平面：通过F'点垂直于主轴的平面，像方焦距f'

。（焦点和焦平面的定义与前面相同）

第一百三十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一节点和节平面特征：通过物方节点K和像方节点K′的任意共轭光线方向不变，即：物方节点K，物方节平面：通过K点垂直于主轴的平面；像方节点K'，像方节平面：通过K'点垂直于主轴的平面。

薄透镜的光心既是主点，又是节点。第一百三十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

厚透镜是由两个单球面镜组合而成的，因此厚透镜实际上是两个单球面组合的简单光具组。

对由任意多个共轴光具组复合而成的情况，可以先把两个相邻的单光具组合并为一个光具组，求出其基点；然后逐次和下一个单光具组合并.所以这里只讨论把两个相邻光具组合并成一个时，如何求出其焦点和主点的位置即可。3.7.1空气中厚透镜物像公式和基点、基面第一百三十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一上图表示置于空气中的轴厚度为的厚透镜，P和P'分别为物点和像点，F和F'分别为物方焦点和像方焦点。在近轴条件下，厚透镜的物像关系可以通过对曲率半径为r1和r2的两个折射球面逐次成像求得。设物点P离球面O1的距离为，像点P'离球面O2的距离为，则对折射球面O1由（3-17）式可得:第一百三十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一对折射球面O2，也可得到：式中是第一个折射球面形成的像与顶点O1间距离。若令：其中是第一个折射球面的像方焦距，并令：其中是第二个折射球面的物方焦距，则上述两个公式可改写为:第一百三十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一消去上述两式中的，并把测量物距和像距的参考原点从原来的O1和O2处分别移动了距离P和P'后，像距和物距满足如下关系：式中是厚透镜的像方焦距，其值为：（3-42）（3-41）第一百三十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一或：再进行适当代换可解得：物像位置的关系式（3-41）可以表示成公式（3－42）的较简单的形式。第一百三十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一若令：则在空气中厚透镜物像公式的高斯形式即为：厚透镜的基点和基面上式在形式上与空气中薄透镜物像公式的高斯形式完全相同。但是必须注意，上式中的物距s不是从顶点O1量起，而从H点量起，H点与O1点间的距离为p；像距S'也不是从顶点O2量起，而是从H'量起，H'与O2点间的距离为p'。第一百三十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一H和H'点分别叫做物方主点和像方主点。在近轴条件下，通过H和H'点垂直于主轴的平面分别叫物方主平面和像方主平面。一束平行于主轴的入射光，通过光具组后所成的像，即为像方焦点F’；从物方焦点F发出的光，通过光具组后，将成为平行光。在近轴条件下，通过F点和F'点并垂直于主轴的平面分别叫物方焦平面和像方焦平面。主点至焦点的距离即为焦距。

总之，测量s和f时，原点取在物方主点H；测量s'和f'时，原点取在像方主点H'。这样，厚透镜的物像公式仍然与前面高斯公式的形式相同。第一百三十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一如果物距x和像距x'分别从物方焦点和像方焦点量起，f和f'分别从物方主点和像方主点量起，物和像的位置关系仍可用牛顿公式表示，即：第一百四十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一厚透镜的两个主点的位置可由和两式计算得到。p和p’分别从O1和O2量起，当p和p’为正值时，主点H和H’各自位于顶点O1和O2的右方；当p和p’为负值时，主点各自位于顶点O1和O2的左方。第一百四十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一例题(习题11)：有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：（1）从物所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。解：

（1）利用空气中厚透镜物像公式可知：

其中n=1.5,r1=4cm,r2=-4cm，δ=8cm

第一百四十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一即主点H1、H2分别位于O1、O2右方和左方4cm处，容易看出，H1、H2重合于球心O。按题意，物离物方主点H的距离为：-（6

+4）cm

于是由：第一百四十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一（2）由此可见，得到的是放大的倒立的像。第一百四十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3.7.2复合光具组的基点,基面和物像公式：(Ⅰ)的像方焦点F1′和（Ⅱ）的物方焦点F2之间的距离－－系统的光学间隔。之右时，为正；之左时，为负。

d：（Ⅰ）的像方主点H1′和（Ⅱ）的物方主点H2之间的距离。

H2

在H1'之右时，d为正；H2在H1'之左时，d为负。图3-31第一百四十五页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

为简明起见，图中所示的光具组I和Ⅱ的像方焦距都是正的，且Δ和d也是正的。显然，只要用d来代替厚透镜中两个单球面镜间的距离（厚透镜的厚度）δ

，并考虑到I和Ⅱ之间的介质的折射率n=1，那么对这一复合光具组来说，其焦距的大小和主点的位置可由（3－43）式、（3—45）式和（3—46）式得到，即：（3-50）（3-51）（3-52）上式中，p从H1量起，p'从H2'量起，而f从H量起，f'

从H'量起，如图3－31所示。

若考虑到式中d=Δ+f1'-f2，以及在空气中的f1'=-f1，f2'=-f2，则以上三式还可以写成如下形式：第一百四十六页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一由（3-50）式变形可得：在空气中f2=-f2'，故上式可变为：第一百四十七页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一若两光具组接触，则d=0，因而有：光焦度可以证明复合光具组物像间的关系也可以用高斯公式和牛顿公式（证明略）第一百四十八页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一F1H1H’1F’1F2F’2H2H’2H’F’d-f’p’也可以这样确定复合光具组的焦距公式和主点的位置：如图：可由图上的几何关系求出像方焦点和主点的位置，利用光路可逆，让光从右向左传播，求出物方焦点和主点的位置，第一百四十九页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一

理想光具组的放大率基点和基面的性质

1）理想光具组的横向放大率

n1=n2

n1与n2任意第一百五十页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一2）理想光具组的角放大率第一百五十一页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一3）基点和基面的性质A.主点和主平面的性质①位于物方主点H的一个物点必成像于像方主点H′，两个主点是相互共轭的。

第一百五十二页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一②光具组的两主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等。∵

若物点是在物方主平面上，即：则：像点位于像方主平面上，即：

∴入射到物方主平面上某一点M的任意一条光线，将从像方主平面上对应点M′（在主轴上面或下面同一高度处）射出光具组。第一百五十三页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一B.节点和节平面的性质①节点K和K′处光线的特征是

=+1

∵x是从F量起，x′是从F′量起；∴在f′>0的情况下，K在F的右边，与F相距f′；而K′在F′的左边，与F′相距

f。（把K当作物、K′当作像来量取）

第一百五十四页，共一百七十三页，编辑于2023年，星期一②节平面上一对共轭直线的横向放大率：＝+1

——节（主）平面的特征，

若：n＝n′，有：，而＝+1，∴＝＋1。由上可知，这也是主平面的特征。故：光具组的两边为同一介质时，节平面和主平面重合，物像两方焦距的绝对值相等。（例如置