(北京专用)高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理

第三节平面向量的数量(shùliàng)积与平面向量应用举例第一页，共35页。总纲(zǒnggāng)目录教材(jiàocái)研读1.平面(píngmiàn)向量的数量积考点突破2.向量的数量积的性质3.向量的数量积的运算律考点二平面向量数量积的应用考点一平面向量数量积的运算4.平面向量的数量积的坐标表示考点三平面向量与三角函数的综合问题第二页，共35页。教材(jiàocái)研读1.平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量a,b,过O点作 =a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做(jiàozuò)向量a与b的夹角.当①

θ=90°

时,a与b垂直,记作a⊥b;当②

θ=0°

时,a与b同向;当③

θ=180°

时,a与b反向.第三页，共35页。(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量|a|·|b|·cosθ叫做(jiàozuò)a和b

的数量积(或内积),记作a·b=④|a|·|b|·cosθ

.(3)规定0·a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a与b的夹角,则|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做b在a

的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而

不是向量.(5)a·b的几何意义a·b等于a的长度(chángdù)|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.第四页，共35页。2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔⑤

a·b=0

.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|.当a与b反向(fǎnxiànɡ)时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.(4)cosθ=⑥

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.第五页，共35页。3.向量(xiàngliàng)的数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.第六页，共35页。4.平面(píngmiàn)向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=⑦

x1x2+y1y2

.(2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑧

.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=⑨

,这就是平面(píngmiàn)内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则a⊥b⇔⑩

x1x2+y1y2=0

.第七页，共35页。1.(2017北京东城一模,5)已知向量(xiàngliàng)a,b满足2a+b=0,a·b=-2,则(3a+b)·(a-b)=

 ()A.1

B.3

C.4

D.5B答案(dáàn)

B∵2a+b=0,∴a与b的夹角为π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.第八页，共35页。2.已知向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°,|a|=|b|=1,则|a-b|= ()A.3

B. 

C.2- 

D.1D答案(dáàn)

D|a-b|2=a2-2a·b+b2=2-2×1×1×cos60°=1,∴|a-b|=1,故选D.第九页，共35页。3.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m

·n<0”的 ()A.充分而不必要条件(bìyàotiáojiàn)

B.必要而不充分条件C.充分必要条件(bìyàotiáojiàn)

D.既不充分也不必要条件(bìyàotiáojiàn)A答案

A由存在负数λ,使得(shǐde)m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,

则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故

必要性不成立.故选A.第十页，共35页。4.已知等边△ABC的边长为3,D是BC边上(biānshànɡ)一点,若BD=1,则 · 的值是6

.答案(dáàn)6解析(jiěxī)由题意知 · = ·( + )= + · =9+3×2×cos π=6.第十一页，共35页。5.在平面向量(xiàngliàng)a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果a·b=5,那么y=1

;如果|a+

b|=|a-b|,那么y=- 

.答案(dáàn)1;- 解析(jiěxī)因为a·b=1×2+3y=5,所以y=1.因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,即1×2+3y=0,所以y=- .第十二页，共35页。6.(2017北京(běijīnɡ)海淀期中)已知正方形ABCD的边长为1,E是线段CD的中点,

则 · =

.答案(dáàn)

 解析(jiěxī)由题意可得 · =0,AD=AB=1,∴ · = ·( - )= -  · - =1-0- = .第十三页，共35页。考点一平面(píngmiàn)向量数量积的运算考点(kǎodiǎn)突破典例1(1)(2017北京(běijīnɡ)石景山一模,7)如图,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 · = ,则 · 的值是 ()

A.2- 

B.1

C. 

D.2(2)(2017北京(běijīnɡ)海淀二模,13)在四边形ABCD中,AB=2.若 = ( + ),则 · =2

.C第十四页，共35页。答案(dáàn)(1)C(2)2解析(1)解法一:以A为原点,AB所在(suǒzài)直线为x轴,AD所在(suǒzài)直线为y轴建立

平面直角坐标系,则A(0,0),B( ,0),E( ,1),设F(x,2),则 =(x,2),又 =( ,0),∴ · = x= ,∴x=1,∴F(1,2),易知 =( ,1), =(1- ,2),∴ · = ×(1- )+2= .解法二:∵ · =| || |cos∠BAF= ,| |= ,∴| |cos∠BAF=1,即| |=1,∴| |= -1,∴ · =( + )·( + )= · + · + · + · = · + · 第十五页，共35页。= ×( -1)×(-1)+1×2×1= .(2)由题意(tíyì)可知 · = ·( + )= · = · =  · = | |2=2.第十六页，共35页。方法技巧向量(xiàngliàng)数量积的两种计算方法(1)当已知向量(xiàngliàng)的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)当已知向量(xiàngliàng)的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b

=x1x2+y1y2.第十七页，共35页。1-1

(2018北京朝阳高三期中,6)如图,在直角(zhíjiǎo)梯形ABCD中,AB∥CD,AD

⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则 · = ()A. 

B.- 

C.1

D.-1

答案(dáàn)

D∵AB∥CD,AD⊥DC,∴AD⊥AB,∴ · =0,∴ · =( + )· = · =- ×2=-1,故选D.D第十八页，共35页。典例2

平面向量a与b的夹角是 ,且|a|=1,|b|=2,如果(rúguǒ) =a+b, =a-3b,D是BC的中点,那么| |=()A. 

B.2 

C.3

D.6考点二平面向量数量积的应用命题(mìngtí)方向一模的问题A第十九页，共35页。答案(dáàn)

A解析因为D为BC的中点,所以(suǒyǐ) = ( + ).又因为 =a+b, =a-3b,所以(suǒyǐ) =a-b,所以(suǒyǐ)| |2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=12+22-2×1×2×cos =5-2=3.因此| |= .故选A.第二十页，共35页。典例3已知非零向量(xiàngliàng)m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>= ,若n⊥(tm+n),则实数t的值为 ()A.4

B.-4C. 

D.- 命题方向二垂直(chuízhí)问题B第二十一页，共35页。答案(dáàn)

B解析(jiěxī)∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即tm·n+|n|2=0,∴t|m||n|cos<m,n>+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos<m,n>= ,∴t× |n|2× +|n|2=0,∵n为非零向量,∴ t+1=0,解得t=-4.第二十二页，共35页。典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足(mǎnzú)a·(a+b)=0,2|a|=|b|,

则向量a,b的夹角为

.(2)已知向量a,b满足(mǎnzú)(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为

.命题(mìngtí)方向三夹角问题第二十三页，共35页。答案(dáàn)(1) (2) 解析(jiěxī)(1)设a与b的夹角为θ,因为a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0⇒|a|·|a|+|a|·|b|

cosθ=0,又因为2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,所以1+2cosθ=0,所以cosθ=- ,从而θ= .(2)由(a+2b)·(a-b)=-6,得a2-2b2+a·b=-6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b=1,设向量(xiàngliàng)a与b

的夹角为θ,则cosθ= = ,又0≤θ≤π,故θ= .第二十四页，共35页。方法(fāngfǎ)技巧平面向量数量积的应用类型及求解策略(1)求两向量的夹角:cosθ= ,要注意θ∈[0,π].(2)两向量垂直的应用:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法(fāngfǎ)有①a2=a·a=|a|2或|a|= .②|a±b|= = .③若a=(x,y),则|a|= .第二十五页，共35页。2-1

(2014北京,10,5分)已知向量(xiàngliàng)a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),

则|λ|=

.答案(dáàn)

 解析(jiěxī)∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|= ,∴|λ|= .第二十六页，共35页。2-2已知平面向量a,b满足(mǎnzú)a=(1,-1),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=

.答案(dáàn)

 解析(jiěxī)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,即a2-b2=0,∴|a|=|b|.又∵a=(1,-1),∴|b|=|a|= = .第二十七页，共35页。典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈

R,函数f(x)=a·(b-c).(1)求函数f(x)的单调递减(dìjiǎn)区间;(2)若f = ,求sinα的值.考点三平面向量与三角函数(sānjiǎhánshù)的综合问题第二十八页，共35页。解析(1)因为(yīnwèi)b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),则f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x= sin .当2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,即kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z时,函数f(x)为减函数,所以函数f(x)的单调递减区间是 ,k∈Z.第二十九页，共35页。(2)由(1)知f(x)= sin ,因为(yīnwèi)f = ,所以 sin = ,所以sin = .又sin2 +cos2 =1,所以cos =± .又sinα=sin =sin cos +cos sin .所以当cos = 时,sinα= × + × = ;第三十页，共35页。当cos

=-

时,sinα=

×

+

×

=

.综上,sinα的值为

或

.第三十一页，共35页。方法技巧求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路(1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算