2.2.2事件的相互独立性(一)2013.5.23

2.2.2事件的相互独立性（一）高二数学选修2-32021/5/91①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P(Ā)=1复习回顾2021/5/92(4).条件概率设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A).(5).条件概率计算公式:复习回顾注意条件：必须P(A)>02021/5/93问题探究：下面看一例在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。

我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？2021/5/94思考与探究思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。答:事件A的发生会影响事件B发生的概率2021/5/95思考与探究思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？设A为事件“第一位同学没有中奖”。事件A的发生不会影响事件B发生的概率。2021/5/961、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是相互独立的注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。相互独立2021/5/972、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B

这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概率为：

2021/5/98试一试判断事件A,B是否为互斥,互独事件?1.篮球比赛“罚球二次”

.事件A表示“第1球罚中”,

事件B表示“第2球罚中”.2.篮球比赛“1+1罚球”

.事件A表示“第1球罚中”,

事件B表示“第2球罚中”.3.袋中有4个白球,3个黑球,从袋中依此取2球.

事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球”

(不放回抽取)4.袋中有4个白球,3个黑球,从袋中依此取2球.

事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白球”.(放回抽取)A与B为互独事件A与B不是互独事件A与B为互独事件A与B为非互独也非互斥事件2021/5/99

练2、判断下列各对事件的关系（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；互斥相互独立相互独立2021/5/910(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.①②③(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:2.相互独立事件的性质：例证①2021/5/911即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)=P(A)P(B)应用公式的前提：1.事件之间相互独立2.这些事件同时发生.3.相互独立事件同时发生的概率公式等于每个事件发生的概率的积.即：2021/5/912例题热身:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系①A、B、C同时发生概率；②A、B、C都不发生的概率；③A、B、C中恰有一个发生的概率；④

A、B、C中恰有两个发生的概率；⑤A、B、C中至少有一个发生的概率；2021/5/913例1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。2021/5/914例题解析解:(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为

P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.00252021/5/915（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：例题解析2021/5/916（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件

与两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为例题解析2021/5/917例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：变式:“至多有一次抽到中奖号码”。2021/5/918[题后感悟]

(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件：各个事件相互独立；同时发生．2021/5/919例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰由1人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率解：(1)记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙射击1次,击中目标”为事件B.答：两人都击中目标的概率是0.36且A与B相互独立，又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到P(A•B)=P(A)•P(B)=0.6×0.6＝0.362021/5/920例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率？解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中,乙未击中（事件）答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.

根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是

另一种是甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。BA•

根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与

互斥，2021/5/921例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（3）至少有一人击中目标的概率.解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是解法2：两人都未击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.2021/5/922巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品的概率是多少？

解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独立，所以抽到合格品的概率为答：抽到合格品的概率是2021/5/9231.条件概率计算公式:回顾性质：(1)若Ａ、B互斥，则P（B|A）=______（2）若Ａ、B独立，则P（B|A）=______0P(B)P(AB)=P(A)P(B)2021/5/924辨一辨2021/5/925例3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.2021/5/926

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。所以这段事件内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973解：分别记这段时间内开关能够闭合为事件A,B,C.

根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是2021/5/927巩固练习1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？2021/5/928巩固练习2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.2×0.3＝0.06P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.442021/5/9293.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.

求:(1)两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.分析:设事件A为“第1次射击中靶”.B为“第2次射击中靶”.

又∵A与B是互斥事件.⑴“两次都中靶”是指“事件A发生且事件B发生”即A·B∴P(A·B）=P（A）·P（B）=（2）“至少有一次中靶”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)

即A·B+A·B+A·B.∴求P(A·B+A·B+A·B)（3）“至多有一次中靶”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)

即A·B+A·B+A·B.∴求P(A·B+A·B+A·B)（4）“目标被击中”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)

即A·B+A·B+A·B.∴求P(A·B+A·B+A·B)2021/5/930解题步骤：1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A,“YY”记为B.2.理清题意,判断各事件之间的关系(等可能;互斥;

互独;对立).

关键词如“至多”

“至少”“同时”“恰有”.

求“至多”“至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.

“所求事件”

分几类

(考虑加法公式,转化为互斥事件)

还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为互独事件)4.根据公式解答2021/5/9311.射击时,甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.

则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______2.甲袋中有5球(3红,2白),乙袋中有3球(2红,1白).

从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___1415353.甲,乙二人单独解一道题,若甲,乙能解对该题的概率分别是m,n.则此题被解对的概率是_______m+n-mn4.有一谜语,甲,乙,丙猜对的概率分别是1