太原理工微积分与数学模型10年修改版第七章理工大高数

第六节幂级数二幂级数及其收敛性三幂级数的运算及其性质一函数项级数的概念1.定义设是定义在上的函数,则由其构成的表达式：称为定义在区间上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数。例如级数：一、函数项级数的概念2.收敛点与收敛域(2)函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域。(1)如果,数项级数收敛，则称为级数的收敛点,否则称为发散点。(3)余项（x在收敛域上)3.和函数(2)函数项级数的部分和(1)在收敛域上,函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数。注：函数项级数在某点

的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题。4.函数项级数举例例1

求的和函数。解：例2

求收敛域。解：的定义域为故收敛域为例3

求级数收敛域。解：由比值判别法当即或时，原级数绝对收敛；当即时，原级数发散；当或当时，级数收敛；当时，级数发散；故级数的收敛域为2.收敛性当时,收敛；当时,发散。例如级数收敛域发散域1.定义1形如的级数称为幂级数。当时,其中为幂级数系数。二、幂级数及其收敛性定理1(阿贝尔定理)如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛；如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散。证明收敛,使得当时,等比级数收敛，

收敛,即级数绝对收敛。

几何意义收敛区域发散区域发散区域假设当时发散,而有一点适合使级数收敛。由(1)结论,则级数当时应收敛，这与所设矛盾。推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛；当时,幂级数发散；

当与时,幂级数可能收敛也可能发散。问题如何求幂级数的收敛半径?定义2正数R称为幂级数的收敛半径。开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。从而决定了收敛域为以下四个区间之一:规定收敛域(1)幂级数只在处收敛，收敛域(2)幂级数对一切都收敛，定理2如果幂级数的所有系数

,(或

)设(1)当时,(2)当时,(3)

当时,证明：对级数应用达朗贝尔判别法如果存在由比值审敛法,当时,级数收敛，从而级数绝对收敛；当时,级数发散，并且从某个n开始从而级数发散，收敛半径定理证毕。从而级数绝对收敛，收敛半径如果有级数收敛级数必发散如果(否则由定理1知将有点使收敛)收敛半径例4

求下列幂级数的收敛域。解：当时,级数为该级数发散；当时,级数为该级数收敛；故收敛域是级数只在处收敛。故收敛域是例5

求幂级数

的收敛域。解:级数缺少奇次幂的项,对级数用比值判别法当即时,原级数发散；当级数为,收敛；故原级数的收敛域为当即时,原级数收敛；例6

求幂级数

的收敛域。解:原级数化为令当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为

的收敛域为1.代数运算性质(1)

加（减）法（其中）设和的收敛半径分别为三、幂级数的运算及其性质(2)

乘法(其中注：相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多。(3)

除法在收敛域内2.和函数的分析运算性质

幂级数的和函数在收敛区间内连续,在端点收敛,则在单侧连续。(2)

幂级数的和函数在收敛区间

内可积,且对可逐项积分。

),(RR-收敛半径不变。即收敛半径不变。即(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导,且对可逐项求导任意次。例7

求下列幂级数的和函数。解：易求得的收敛域为设显然又时,收敛。即两边积分得易求得的收敛域为设两边求导得易求得的收敛域为设两式相减,得例8

求的收敛域及和函数。解:易求得