河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

沈丘县长安高级中学2022-2023学年度上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知点在圆：外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.下列条件中，一定使空间四点、、、共面的是（）A. B.C. D.4.直线：被圆：所截得的弦长为（）A. B.4 C. D.5.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或 B. C.或 D.6.点关于直线：的对称点的坐标为（）A. B. C. D.7.已知直线：，：，且，则（）A.或 B. C. D.8.设、，向量，，且，，则（）A. B. C.3 D.49.若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离是（）A.4 B.6 C.8 D.1010.点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（）A.2 B.3 C.4 D.11.设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆：上有且只有一个点满足.则的取值可以是（）A.1 B.3 C.1或3 D.4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知，两点，若直线：与线段恒有交点，则的取值范围是_________.14.直线：被圆：截得的弦长最短，则实数_________.15.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，是的中点，则异面直线，间的距离为_________.16.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________.三、解答题：共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.17.（10分）菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点.（1）求边所在直线的方程；（2）求对角线所在直线的方程.18.（12分）已知圆过点，，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值.19.（12分）如图所示，在直三棱柱中，，，，.（1）求证：；（2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由.20.（12分）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.21.（12分）已知一条曲线在轴右边，上任一点到点的距离减去它到轴距离的差都是，为该曲线上一点，且，.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程.22.（12分）已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知定点，直线：满足且与椭圆相交于不同的两点，，始终满足，证明：直线过一定点，并求出定点的坐标.沈丘县长安高级中学2022-2023学年度上学期期中考试高二数学试卷参考答案题号123456789101112答案BADABADCAADC1.直线变形为，所以，设倾斜角为，则，因为，所以.2.由题意，表示圆，故，即或，点在圆：外，故，即，故实数的取值范围为或，即.3.对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，，所以点与、、三点共面.4.由题意圆心，圆的半径为3，故到：的距离为，故所求弦长为.5.由题意，解得.6.设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为.7.直线：，：，且，故，解得.8.因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.9.解：因为抛物线的方程为，所以，解得，所以准线方程为，又因为点到焦点的距离为8，所以点到准线的距离为8，设点到轴的距离为，则有，所以.10.如下图所示，连接，∵为的中点，且，可得，由椭圆方程可知，，根据椭圆定义有，∴.11.依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，求得；∴.12.解：设，由，得，整理得，又圆：上有且仅有一点满足，所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2，圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得.13.把，两点分别代入直线：中，计算，，由图可知，直线：与线段恒有交点时，，∴的取值范围是.14.1直线的方程可化为，由，得，所以直线过定点，因为，即点在圆内.当时，取最小值，由，得，∴.15.以为原点，，，的方向为，，轴建立空间直角坐标系，易知，，，，，，设同时垂直于，，由，令，得，又，则异面直线，间的距离为.16.8因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，则，，所以，，即四边形面积等于8.17.（1）解：由菱形的性质可知，则，所以，边所在直线的方程为，即.（2）解：线段的中点为，，由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，因此，对角线所在直线的方程为，即.18.（1）设圆的半径为，圆心，由题意得，解得，∴圆的方程为.（2）∵点在圆上，且，∴直线过圆心，∴，解得.19.（1）因为，，，所以，如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，，即.（2）若存在点使平面，则，，，，，，因为平面，所以存在实数、，使成立，则，解得，故在上存在点使平面，此时点为中点.（方法二：不建立空间直角坐标系，直接利用判定定理和性质定理进行证明.）20.（1）证明：作的中点，连接，，因为是正三角形，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，，，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为.21.（1）设点是曲线上任意一点，那么点满足.化简得曲线的方程为.设，依题意，由抛物线定义，即，所以，又由，得，解得（舍去）.所以曲线的方程为.（2）由（1）得，设直