逆命题与逆定理线段垂直平分线

19.4逆命题与逆定理4.线段垂直平分线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?回顾思考已知:如图,AC=BC,MN⊥AB于点C,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN老师期望:你能说出规范的证明过程吗?证明:因为MN⊥AB(已知)

所以∠PCA=PCB=90°(垂直的定义)

在⊿PCA和⊿PCB中,因为

AC=BC,(已知)∠PCA=PCB,(已证)PC=PC,(公共边)

所以△PCA≌△PCB(SAS)

因此PA=PB(全等三角形的对应边相等).ACBPMN于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

过程再现过程再现

基础闯关如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0.EDABC760′反过来:

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上吗?ABP已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上..思考分析?定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.NABPMPA=PB点P在线段AB的垂直平分线MN上定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

已知:如图,在ΔABC中,AB、BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线吗？为什么？BACMNEFO·开启智慧这点o是三角形的

心外从这里我们可以看到,要想证明三角形三条垂直平分线交于一点,只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了.练习1．如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB．提示：连结AB,作AB的垂直平分线，交直线L于P,点P就是所求的点。2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：AB＋CD＝AD＋BC．证明：∵AE＝CE，BD⊥AC∴BA=BCDA=DC(线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等)∴BA+DA=BC+DC

3．如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：点D在AC的垂直平分线上．证明：∵BD＋AD＝BC∴AD=BC-BD=CD∴点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)·

楚州区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC生活中的数学角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点