矩阵的初等变换初等矩阵

矩阵的初等变换初等矩阵第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日等价关系的性质：凡具有上述三条性质的关系称为等价关系．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价二、矩阵的的等价关系第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．三、行阶梯矩阵及行最简矩阵第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例如第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第6节矩阵的初等变换一、初等矩阵的概念二、初等矩阵的应用三、小结第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.一、初等矩阵的概念第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵二、初等矩阵的应用第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日利用初等变换求逆阵的方法：第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日解例１第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日即初等行变换第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例２解第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日列变换列变换第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日三、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日思考题第三十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,而得.而这4次初等