《菱形的性质》 省赛获奖

菱形的性质

两组对边分别平行平行四边形矩形

前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时，成为什么图形？有一个角是直角菱形有一组邻边相等(矩形，由角变化得到)

如果从边的角度，将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这个特殊的四边形叫什么呢？(菱形)四边形情景创设有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．

平行四边形

邻边相等菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？想一想如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？2000多年前……

一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹——越王勾践剑生活感受菱形就在我们身边三菱汽车标志欣赏

小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？剪一剪ADOCB我们已经知道矩形和菱形是特殊的平行四边形，因此矩形菱形都是中心对称图形，想一想

矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？矩形是轴对称图形，对称轴有两条.菱形是轴对称图形，对称轴有两条.

由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到：菱形的性质1：菱形的四条边都相等.ABDC菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质：菱形是轴对称图形，

对称轴有两条，是菱形两条对角线所在的直线.菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，OD=OB∴AC⊥BD∴∠9=∠10又∵AO=AO∴△AOD≌△AOB∵△AOD≌△AOB∴∠1=∠2

∴AC平分∠DAB

同理：∠5=∠6，∠7=∠8

∴

BD平分∠ADC和∠ABC∴∠9=∠10=90°已知:四边形ABCD是菱形求证:AC⊥BD，

AC平分∠DAB和∠DCB

BD平分∠ADC和∠ABC证明：菱形的性质2：

O6又∵∠9+∠10=180°CBDA10124357986同理：∠3=∠4∴

AC平分∠DCBO已知:四边形ABCD是菱形求证:AC⊥BD，

AC平分∠DAB和∠DCB

BD平分∠ADC和∠ABC证明2：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，(菱形的定义)

∴AC⊥BD

，AC平分∠DAB

(为什么？)同理：AC平分∠DCB

OD=OB

(平行四边形的对角线互相平分)

BD平分∠ADC和∠ABCDCBOA菱形的性质ADCBO边角对角线对称性菱形的两组对边平行且相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补

菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线.12435768例1：如图19.2.5，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明ΔABC是等边三角形.解：在菱形ABCD中，∵∠B+∠BAD=180˚∠BAD=2∠B∴∠B=60˚

在菱形ABCD中，∵AB=BC(菱形的四条边都相等)∠B=60˚∴ΔABC是等边三角形ABCDADCBO∵四边形ABCD是菱形，说说理由∴AD∥BC，AB∥CD(

)AB=BC=CD=DA(

)OA=OC，OB=OD

(

)AC⊥BD

(

)∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=∠ADC=∠ABC(

)你都掌握了吗？练一练【菱形的面积公式】

菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗？菱形ABCDOES菱形=BC·

AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗？

议一议【菱形的面积公式】

菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗？菱形ABCDOES菱形=BC·AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗？

ABCD=S△ABD+S△BCD=AC×BD

S菱形

菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半议一议

大显身手6、

如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，BO=8m，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.ABCDO

在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD

，且AC=18，BD=10.问四边形ABCD的面积是多少？试一试

ABCD=S△ABD+S△BCDS

=BD·AO+BD·CO=·BD·(AO+CO)=BD·AC=×10×18=90解：DAOBC你有什么

发现？例题讲解ABCD例1

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形.(1)在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180º(两直线平行同旁内角互补).又因为∠BAD=2∠B，所以∠B=60º.(2)在菱形ABCD中，解：AB=BC(菱形的四条边都相等).所以在△ABC中，∠BAC=∠BCA(等边对等角).又因为∠B+∠BAC+∠BCA=180º(三角形内角和定理)，所以∠BAC=∠BCA=∠B=60º.所以AB=BC=AC(等角对等边).即ABC是等边三角形.AD∥BC，例2如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．

解:(1)

在菱形ABCD中，又在△ABC中，AB＝BC，∠BAO＝∠BAD＝

×120°＝60°所以∠BCA＝∠BAC＝60°(等边对等角)，∠ABC＝180°－∠BCA－∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故AC＝AB＝2(cm)．2121(菱形的每一条对角线平分一组对角)．ADCBO所以AB=BC=AC(等角对等边)(2)在菱形ABCD中，.所以BD＝2BO＝(cm)．例2如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．ADCBOAC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，所以△AOB为直角三角形.例3如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.ABCDOEABCDOE∵四边形ABCD是菱形，解：∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边相等)又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即ΔADC和ΔABC都为等边三角形，∴∠ACD=∠ACB=60°.∴∠BCD=120°.①活学活用如图，我家正在装修一扇房门，想在菱形ABCD处安装一块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1元，请问要得到哪些数据，便可知道这扇房门上的玻璃总共要花多少钱？BACDO课堂小结1个定义2个公式3个特性：有一组邻